§1集合的含义与表示(二)
自主学习
1．体验由实例分析探究集合中元素的
特性的过程，了解集合的含义以及集合
中元素的特性，培养自己的抽象、概括
能力．
2．掌握“属于”关系的意义，知道常
用数集及其记法，初步体会集合语言和
符号语言表示数学内容的简洁性和准
确性．
1．元素与集合的概念
一般地，指定的某些对象的全体称为集合，集合中的每个对象叫作这个集合的元素．
2．集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性．
3．集合相等：只有构成两个集合的元素是一样的，才说这两个集合是相等的．4．元素与集合的关系
(1)如果a在集合A中，就说a属于集合A，记作a∈A.
(2)如果a不在集合A中，就说a不属于集合A，记作a∉A.
5．实数集、有理数集、整数集、非负
整数集、正整数集分别用字母R、Q、
Z、N、N＋来表示．
对点讲练
集合的概念
【例1】考查下列每组对象能否构成一个集合：
(1)著名的数学家；
(2)某校2007年在校的所有高个子同学；
(3)不超过20的非负数；
(4)方程x2－9＝0在实数范围内的解；
(5)直角坐标平面内第一象限的一些点；
(6)3的近似值的全体．
解(1)“著名的数学家”无明确的标
准，对于某个人是否“著名”无法客观
地判断，因此“著名的数学家”不能构
成一个集合；类似地，(2)也不能构成集
合；(3)任给一个实数x，可以明确地判
断是不是“不超过20的非负数”，即
“0≤x≤20”与“x>20或x<0”，两者
必居其一，且仅居其一，故“不超过20
的非负数”能构成集合；类似地，(4)
也能构成集合；(5)“一些点”无明确的
标准，对于某个点是否在“一些点”中
无法确定，因此“直角坐标平面内第一
象限的一些点”不能构成集合；
(6)“3的近似值”不明确精确到什么
程度，因此很难判断一个数如“2”是不
是它的近似值，所以(6)不能构成集合．
规律方法判断指定的对象能不能形
成集合，关键在于能否到一个明确标
准，对于任何一个对象，都能确定它是
不是给定集合的元素，同时还要注意集
合中元素的互异性、无序性．
变式迁移1 下列给出的对象中，能构成集合的是()
A．高个子的人B．很大的数
C．聪明的人  D. 小于3的实数
答案  D
集合中元素的特性
【例2】已知集合A是由a－2,2a2＋5a,12三个元素组成的，且－3∈A，求a.
点拨考查元素与集合的关系，体会分类讨论思想的应用．
解∵－3∈A，则－3＝a－2或－3＝2a2＋5a，
∴a＝－1或a＝－
3
2.则当a＝－1时，a
－2＝－3,2a2＋5a＝－3，不符合集合中
元素的互异性，故a＝－1应舍去．
当a＝－
3
2时，a－2＝－
7
2，2a
2＋5a＝－3，
∴a＝－
3
2.
规律方法对于解决集合中元素含有
参数的问题一定要全面思考，特别关注
元素在集合中的互异性．分类讨论的思
想是中学数学中的一种重要的数学思
想，我们一定要在以后的学习中熟练掌
握．
变式迁移2 已知集合A是由0，m，m2
－3m＋2三个元素组成的集合，且2∈
A，求实数m的值．
解∵2∈A，∴m＝2或m2－3m＋2＝2.
若m＝2，则m2－3m＋2＝0，
不符合集合中元素的互异性，舍去．
若m2－3m＋2＝2，求得m＝0或3.
m＝0不合题意，舍去．经验证m＝3符合题意，
∴m只能取3.
元素与集合的关系
【例3】若所有形如3a＋2b(a∈Z，b
∈Z)的数组成集合A，判断6－22是
不是集合A中的元素．
点拨解答本题首先要理解∈与D/∈
的含义，然后要弄清所给集合是由一些
怎样的数构成的，6－22能否化成此形
式，进而去判断6－22是不是集合A
中的元素．
解因为在3a＋2b(a∈Z，b∈Z)中，
令a＝2，b＝－2，
即可得到6－22，
所以6－22是集合A中的元素．
规律方法判断一个元素是不是某个
集合的元素，就是判断这个元素是否具
有这个集合的元素的共同特征．像此类
题，主要看能否将所给对象的表达式转
化为集合中元素所具有的形式．
变式迁移3 集合A是由形如m＋3n(m
∈Z，n∈Z)的数构成的，判断1
2－3
是不是集合A中的元素．
解∵
1
2－3
＝2＋3＝2＋3×1，而
2,1∈Z，
∴2＋3∈A，
即
1
2－3
∈A.
1．充分利用集合中元素的三大特性是解决集合问题的基础．
2．两集合中的元素相同则两集合就相同，与它们元素的排列顺序无关．
3．解集合问题特别是涉及求字母的值
或范围，把所得结果代入原题检验是不
可缺少的步骤．特别是互异性，最易被
忽视，必须在学习中引起足够重视．
课时作业
一、选择题
1．下列几组对象可以构成集合的是()
A．充分接近π的实数的全体
B．善良的人
C．某校高一所有聪明的同学
D．某单位所有身高在1.7 m以上的人
答案  D
2．下列四个说法中正确的个数是()
①集合N中最小数为1；
②若a∈N，则－a∉N；
③若a∈N，b∈N，则a＋b的最小值为2；
④所有小的正数组成一个集合．
A．0B．1C．2 D．3
答案  A
3．由a2,2－a,4组成一个集合A，A中含有3个元素，则实数a的取值可以是() A．1 B．－2 C．6 D．2
答案  C
解析验证，看每个选项是否符合元素的互异性．
4．已知集合S的三个元素a、b、c是△ABC的三边长，那么△ABC一定不是()
A．锐角三角形B．直角三角形
C．钝角三角形D．等腰三角形
答案  D
解析由元素的互异性知a，b，c均不相等．
5．已知x、y、z为非零实数，代数式
x
|x|
＋
y
|y|＋
z
|z|＋
|xyz|
xyz的值所组成的集合是M，则下列判断正确的是()
A．0∉M B．2∈M C．－4∉M D．4∈M
答案  D
解析分类讨论：x、y、z中三个为正，
两个为正，一个为正，全为负，此时代
数式的值分别为4,0,0，－4，∴4∈M.
二、填空题
6．用“∈”或“∉”填空
(1)－3______N；(2)3.14______Q；(3)
1
3 ______Z；
(4)－
1
2______R；(5)1______N
*；
(6)0________N.
答案(1)∉(2)∈(3)∉(4)∈(5)∈(6)∈
7．集合A＝{1,2,3,5}，当x∈A时，若
x－1∉A，x＋1∉A，则称x为A的一个
“孤立元素”，则A中孤立元素的个数
为________．
答案  1
解析当x＝1时，x－1＝0∉A，x＋1＝2∈A；
当x＝2时，x－1＝1∈A，x＋1＝3∈A；
当x＝3时，x－1＝2∈A，x＋1＝4∉A；
当x＝5时，x－1＝4∉A，x＋1＝6∉A；
综上可知，A中只有一个孤立元素5.
8．由下列对象组成的集体属于集合的是________(填序号)．
①不超过π的正整数；
②高一数学课本中所有的难题；
③中国的大城市；
④平方后等于自身的数；
⑤某校高一(2)班中考试成绩在500分以上的学生．
答案①④⑤
三、解答题
9．已知集合M＝{－2,3x2＋3x－4，x2＋x－4}，若2∈M，求x.
解当3x2＋3x－4＝2时，即x2＋x－2＝0，
则x＝－2或x＝1.
经检验，x＝－2，x＝1均不合题意．
当x2＋x－4＝2时，即x2＋x－6＝0，
则x＝－3或2.
经检验，x＝－3或x＝2均合题意．
∴x＝－3或x＝2.
10．设P、Q为两个非空实数集合，P
中含有0,2,5三个元素，Q中含有1,2,6
三个元素，定义集合P＋Q中的元素是
a＋b，其中a∈P，b∈Q，则P＋Q中
元素的个数是多少？
解∵当a＝0时，b依次取1,2,6，得a ＋b的值分别为1,2,6；
当a＝2时，b依次取1,2,6，得a＋b的值分别为3,4,8；
当a＝5时，b依次取1,2,6，得a＋b的值分别为6,7,11.
由集合元素的互异性知P＋Q中元素为1,2,3,4,6,7,8,11共8个．
探究驿站
11．设A为实数集，且满足条件：若a
∈A，则1
1－a
∈A (a≠1)．
求证：(1)若2∈A，则A中必还有另外两个元素；
(2)集合A不可能是单元素集．证明(1)若a∈A，则
1
1－a
∈A.
又∵2∈A，∴
1
1－2
＝－1∈A.
∵－1∈A，∴
1
1－(－1)
＝
1
2∈A.
∵
1
2∈A，∴
1
1－
1
2
＝2∈A.
∴A中另外两个元素为－1，
1
2.
(2)若A为单元素集，则a＝
1
1－a
，
即a2－a＋1＝0，方程无解．
∴a≠
1
1－a
数学数组的定义是什么，∴A不可能为单元素集．

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