三、新定义与新运算〔一〕
    1.规定a☉b =,那么2☉(5☉3)之值为      .
2.规定“※〞为一种运算,对任意两数a,b,有a※b,假设6※x,那么x=      .
3.设a,b,c,d是自然数,定义.那么
3, 4, 1, 2    .
    4.[A]表示自然数A的约数的个数.例如,4有1,2,4三个约数,可以表示成[4]=3.计算:=        .
    5.规定新运算※:a※b=3a-2b.假设x※(4※1)=7,那么x=        .
    6.两个整数a和b,a除以b的余数记为a☆b.例如,13☆5=3,5☆13=5,12☆4=0.根据这样定义的运算,(26☆9)☆4=        .
7.对于数a,b,c,d规定.如果,
那么x=      .
8.规定:6※2=6+66=72,2※3=2+22+222=246,1※4=1+11+111+1111=1234.
7※5=    .
    9.规定:符号“△〞为选择两数中较大数,“☉〞为选择两数中较小数.例如:3△5=5,3☉5=3.那么,[(7☉3)△5]×[5☉(3△7)]=        .
    10.假设式子表示经过计算后,a的值变为原来a与b的值的积,而式子表示经过计算后,b的值为原来a与b的值的差.设开场时a=2,b=2,依次进展计算,,,,那么计算完毕时,a与b的和是        .
    11.设a,b,c,d是自然数,对每两个数组(a,b),(c,d),我们定义运算※如下: (a,b)※(c,d)= (a+c,b+d);又定义运算△如下: (a,b)△(c,d)= (ac+bd,ad+bc).试计算((1,2) ※(3,6))△((5,4)※(1,3)).
    12.羊和狼在一起时,狼要吃掉羊,所以关于羊与狼,我们规定一种运算,用符号△表示羊△羊=
羊;羊△狼=狼;狼△羊=狼;狼△狼=狼.运算意思是羊与羊在一起还是羊,狼与狼在一起还是狼,但是狼与羊在一起便只剩下狼了.
      小朋友总是希望羊能战胜狼,所以我们规定另一种运算,用符号☆表示为羊☆羊=羊;羊☆狼=羊;狼☆羊=羊;狼☆狼=狼.运算意思是羊与羊在一起还是羊,狼与狼在一起还是狼,由于羊能战胜狼,当狼与羊在一起时,它便被羊赶走而只剩下羊了.
      对羊或狼,可用上面规定的运算作混合运算,混合运算的法那么是从左到右,括号内先算.运算的结果是羊,或是狼.求下式的结果:
      羊△(狼☆羊)☆羊△(狼△狼).
    13.表示成;
  表示成.
  试求以下的值:
  (1)        ;  (2);  (3);
  (4)如果x, y分别表示假设干个2的数的乘积,试证明:.
    14.两个不等的自然数a和b,较大的数除以较小的数,余数记为a☉b,比方5☉2=1,7☉25=4,6☉8=2.
(1)求1991☉2000,(5☉19)☉19,(19☉5)☉5;
(2)11☉x=2,而x小于20,求x;
(3)(19☉x)☉19=5,而x小于50,求x.
                  三、新定义与新运算〔一〕(答案〕
第[1]道题答案：
    .
5☉3=,
    2☉(5☉3)=2☉.
第[2]道题答案：
数学数组的定义是什么
    8.
依题意,6※,因此,所以x=8.
第[3]道题答案：
    280.
    原式.
第[4]道题答案：
    5.
因为有个约数,所以[18]=6,
同样可知[22]=4,[7]=2.
原式.
第[5]道题答案：
    9.
因为4※1=,所以x※(4※1)= x※10=3x-20.故3x-20=7,解得x=9.
第[6]道题答案：
    0.
,26☆9=8,又,故(26☆9)☆4=8☆4=0.
第[7]道题答案：
    6.
因为,所以,故.
第[8]道题答案：
    86415.
7※5=7+77+777+7777+77777=86415.
第[9]道题答案：
    25.
原式=[3△5]×[5☉7]=5×5=25.
第[10]道题答案：
    14.
    第1次计算后,;第2次计算后,;第3次计算后,;第4次计算后,.此时.
第[11]道题答案：
    (1,2)※(3,6)=(1+3,2+6)=(4,8),(5,4)※(1,3)=(5+1,4+3)=(6,7).
    原式=(4,8)△(6,7)=(4×6+8×7,4×7+8×6)=(80,76).
第[12]道题答案：
    原式=羊△羊☆羊△狼=羊☆羊△狼=羊△狼=狼.
第[13]道题答案：
    (1);
    (2);
    (3)因为,所以;
    (4)令那么.
        .
第[14]道题答案：
    (1)1991☉2000=9;
      由5☉19=4,得(5☉19)☉19=4☉19=3;
      由19☉5=4,得(19☉5)☉5=4☉5=1.
    (2)我们不知道11和x哪个大(注意,x≠11),即哪个作除数,哪个作被除数,这样就要分两种情况讨论.
        1) x<11,这时x除11余2, x整除11-2=9.又x≥3(因为x应大于余数2),所以x=3或9.
        2) x>11,这时11除x余2,这说明x是11的倍数加2,但x<20,所以x=11+2=13.
        因此(2)的解为x=3,9,13.
    (3)这个方程比(2)又要复杂一些,但我们可以用同样的方法来解.
        用y表示19☉x,不管19作除数还是被除数,19☉x都比19小,所以y应小于19.
        方程y☉19=5,说明y除19余5,所以y整除19-5=14,由于y≥6,所以y=7,14.
        当y=7时,分两种情况解19☉x=7.
        1)x<19,此时x除19余7,x整除19-7=12.由于x≥8,所以x=12.
        2) x>19,此时19除x余7, x是19的倍数加7,由于x<50,所以x=19+7=26或=45.

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