数学是一门艺术性的语言
吴宗敏
没有一个数学家可以回答“数学是什么”，这正是数学一个尚未解决的根本性问题。
“数学是关于数和形的一门精确的学问”，这是经典的数学定义。当集合论已经成为小学数学课本内容的今天。广义的定义至少应该改成“数学是关于对象和关系的一门精确的学问”。但这只是关于基础数学的一个较为贴切的定义。如果考虑到应用数学。还应该拓展成“数学(特别是应用数学)是关于对象和关系的一门逐步精确的学问”。在实际应用中，除了一个苹果加一个苹果等于两个苹果这类小学习题之外．精确的解一般不可能得到。即使有解，苹果的品种、大小可能更为重要。实际生活中即使像精确地画出一条直线这样最基本的问题，也不可能做出来。所以数学家兼思想家罗素曾经说：“一切问题。都是逼近问题。”哲学上也认为“没有绝对真理．只有相对真理”。数学家特别是应用数学家。他们做的无非是希望到一种方法。可以逐渐精确地描述已知乃至未知的世界，而这样的方法或理论一定是与时俱进的。
按美国数学会分类．数学大约有100余个分支。笔者熟悉的至多只有7～8个分支。而要回答“
数学是什么”，属于数学总论范畴。是个完全陌生的领域。数学总论研究亦如浩瀚的大海。写这篇文章最多只能算是海边戏水．只是想与大家一起分享戏水的愉悦心情。希望可以感染一些人对大海的向往。
数学语言的特征
数学数组的定义是什么“数学是一门人、社会、自然对话的艺术语言”，讲究“严、简、谐、续”，严格地说是“严谨，简明，和谐，自我完善、可持续发展”。注意这里是“讲究”，就是还没有达到。严谨是数学语言的特征。为了达到严谨通常采用抽象手段，即采用符号作为本语言的文字。而符号之间的关系是可以量化的。中文文字也可以认为是符号语言。由方块字符号组成。数学是量化的语言．数学语言中不能说：“我没有看见一个人”．必须讲清如果看见的不是一个人，到底看见几个人。有些无法量化的东西还可以用概率对可能性进行量化。
简明是数学语言的另一个特征。三段论是数学语言的代表：前提(公理、大前提)，条件(小前提)，结论。数学希望将整个数学语言系统化，尽量将前提最小化。条件最弱化。而使得结论最大化。数学家欧拉曾经说过：一切问题都是求最大最小问题。甚至上帝也是按趋利原则创造世界的，连光线走的都是最短路径。
和谐就是美，就是艺术。数学语言描述复杂事物时，总是将其分解，逐步地提炼出和谐的部分。其代表就是利用函数空间的基进行展开。如多项式展开。傅里叶级数展开等。用函数、映照、算子表现它们的关系。应用数学中的数学建模。就是寻函数间的和谐的微分算子关系。事实上．要想越来越精确地描述事物之间的关系，其模型必定越来越复杂。
数学不是一门封闭的学问，它在不断地自我完善，是可持续发展的。研究的对象：整数、有理数、实数、域、集合的发展如此．研究的方法与思想更是如此。
除了上述四个特征以外。数学抽象的根本目的是：有了这些对象描述与关系以外，在这样的数学架构上还能推导出什么?不单是描述世界，而是基于理性推导出人们还不曾经历的世界。通俗地讲“数学想了解上帝创造世界的秘诀，从而预测甚至创造今后的世界”。近代科学成功的秘密正在于此。数学就是寻对于科学现象进行独立于任何物理解释的定量的描述，而不单是以实用为出发点的理性力量。
当今数学的最大难题是什么?首先想到的一定是一系列的著名猜想，可是这些世纪难题只是数学内部的问题。当今数学真正的最大难题是判断“本句话是错的”的准确性。不管是中文还是数学语言，从语言学的角度。这是一句陈述句，没有句法、语法错误，而从数学的严谨
性，这样的语言在数学中出现是不能被允许的。
可悲的是，为了架构整个数学大厦．这样的语言不可避免地也会在数学语言中出现，这被称为“第三次数学危机”或者“集合论的悖论”。
语言影响思维方式
语言的最大功能是对话交流的工具。进一步地，语言可以提高对话交流的能力，提高论证能力。更为重要的是“语言同时将影响甚至决定掌握这类语言人们的思维方法”。数学语言在描述、论证方面的优点已经广为人知．而数学语言影响甚至决定人们的思维方法研究是一门新兴的学科，将会蓬勃发展。
一般认为．中文由于是象形文字而比较浪漫，拉丁语系由于采用更加抽象的符号比较严谨。所以古典中国画写意，泼墨、挥毫作画，可能酒喝得越多，画作得越好。画作亦以山水见长，可以配上“飞流直下三千尺，疑是银河落九天”的题跋，可以画出“踏花归来马蹄香”的意境。而西方古典绘画讲究真实、比例、透视，长于人物，用彩、光线表达情调。达芬奇曾经说过：“欣赏我的画的没有一个不是数学家。”西方古典绘画的本质是射影几何。
后现代主义绘画也没有脱离数学语言的发展．是函数变换以后，换一个角度表现特征。不同语言的特质影响了人们的行为方式，中国人可能会“好读书、不求甚解”，而德国人的时间观念有如“火车时刻表”。
讲到语言就会联系到翻译，近代科学的历史就是数学语言越来越多地被应用到或者翻译到各类学科，用数学语言思考具体学科。说到翻译，应该注意两点：首先，语言间的翻译不是一一对应的，设想两种语言的单词间的翻译可以用矩阵表示，而这个矩阵不是单位阵。一个词可能对应不同的同义词、近义词，矩阵中的元素说明不同语言两词间的近似程度。其次，语言间意译的质量与语言本身的完备性有关。以打招呼为例，中国人常教外国人用“你好”打招呼，而他们在使用时往往说成“你好吗”，这与他们本身语言的习惯有关。可见翻译、语言比较是一门大学问。外国人说“你好吗”，我们知道什么意思。如果是一个中国人对你打招呼用“你好吗”，你可能会回答“什么意思，我有什么不好的”。打招呼可以说“你好”、“干嘛呢”、“”吃了吗、“嘿”、“怎么又是你啊，你这小鬼”，甚至点一下头，眨一下眼睛。这些都只是现象，本质是他想与对方加深关系的意愿的程度表达，也就是说可以量化，可以用数学语言表达。小说家或者电影导演就是运用了这种量化的数学语言．在描写一对恋人的各次碰面时会采用不同的打招呼方式及身体语言来反映他们两人关系的发展程
度以及感情的反复曲折。
讲翻译不得不讲数学名词的中文翻译。数学中用英语写成data的词，中文翻译在大陆与台湾地区就不同。大陆翻译成“数据”，台湾翻译成“资料”。对于approximation，大陆翻译成“逼近”。台湾翻译成“近似”。可见第一个词台湾翻译得比较好。有发展的余地。第二个词大陆翻译得比较好。逼近，是一个过程，而不是一个简单近似。在给学生讲逼近论时经常举这样的例子：“在马路上看见一个美女，多看她几眼、甚至跟了她几步，那叫近似。继续与她搭话、给她送花、送戒指，如若她还不理你，就自杀，不达目的誓不罢体，这叫逼近，要体现一个‘逼’字。”
语言还和辩论联系在一起。数学语言可以辩论吗?当然可以。数学家的工作就是整天用数学语言自己与自己辩论。当然其最后目的是与他人辩论，与自然辩论。一般精彩的辩论往往是抓住别人的小辫子，甚至挖一个陷阱等着别人跳，而数学语言辩论的特质是：让我们一起来剪去双方的小辫子。不能给数学家分配成正方或反方．而是随时准备坚持真理，随时准备修正错误。历史上运用数学的著名辩论莫过于“上帝存在性的证明”。关于经济是市场的好还是计划的好。政治是集中控制型的好还是民主影响型的好．也都有过运用数学语言的精彩证明或辩论。下面是这类辩论的一个片段。
正方：大到宇宙。小到原子无不以几条简单的数学公式运行。充分证明了有一种理性力量——上帝的存在。他为世界制定了规律与运行原则。甚至牛顿都认为由于“上帝的第一次推
动”。世界开始运转了。
反方：牛顿也运用数学证明了万有引力。或者说，每种事物都有它的作用。既然世界已经按上帝制定的规律永远这样运行了．那么还要上帝干什么?上帝还能干什么?上帝在第一次推动以后的作用是什么?
正方：数学也证明了，永动机是不存在的。上帝还要对世界这个钟表，不断地上发条。特别是上帝要拯救人类的灵魂，以修正运动中出现的偏差。反方：那么这证明了上帝制定的规律不是完美的?是可能失控的?人类的灵魂可以改变上帝最初创造世界的意志?
辩论主持人：如果世界是上帝创造的．那么上帝在创造世界时肯定运用了数学。同时我们也发现上帝创造的世界不是完美的。所以学习数学非常重要，数学是另一个上帝，可以通过演绎推导描述我们尚未看见的未来世界。运用数学至少可以协助上帝改造世界，或者提醒上帝，什么时候该上发条。
语言的基本功能是描述事物。数学描述事物采用的一个基本手段是调和分析。或者说和谐展现。从筒到繁，循序渐进。数学的本质就是从杂乱中发现和谐，从复杂现象中发现简单规律。譬如：声音的傅里叶级数展开。什么叫音美，用较少的傅里叶级数项可以展开的音就美，这时它的声波函数图像也美。到卡拉OK或者录音室唱歌，唱出来就是好听．因为调音师可以归并你声音的傅里叶级数项，使之成为一条美的曲线。
数学描述事物的手段也可以说是特征分解、主成份分析。有个故事说：一个生物学家、一个物理学家和一个数学家在草原上看见一黑的羊，生物学家说：“啊。草原上的羊都是黑的。”物理学家说：“不对，你应该说草原上我们看到的羊都是黑的。”数学家说：“你也不够准确．应该说我们看得到的羊的那半边是黑的。”讲故事的人说的就是数学语言，也就是上面说的特征分析、主成份分析。他抓住了三位科学家的某些主成份——重要特征，可惜不够全面。笼统地说生物学家比较宏观．数学家不是不懂得宏观，但同时尽可能地掌握微观。
事实上。目前数学、物理、生物对于这样的问题都采用相同的方法——假设检验。而习惯于数学语言思想的数学家还会进一步地给出猜想和推论。猜想：冬天可能不下雪；推论：
如果下雪．那么这个草原上没有狼。请读者也用数学思想方法想一想．为什么数学家还会有这样的猜想与推论。假设检验的本质是：不知道这些结论对不对，但是先把它列出来．然后来分析其可能性——用概率定量化。数学不仅是简单归纳，也不仅是严格归纳，而是严格归纳以后的演绎。是基于演绎推理的系统下的已知及未知世界的描述：有并且确切有什么?关系如何?从而可以推断出什么?可能还会有什么?进一步可以推断出什么?
数学是科学的世界语
数学语言的本质是：科学地描述，然后演绎，从而推理解释。只是观察加冥思苦想得出的解释缺乏科学性，科学的解释必须建立在科学的描述上。进一步地。科学的描述还可以推导出根本不能观察得到的物理世界的新结论。单个现象或实验几乎没有什么价值，价值在于把它们联系起来的结论。为了不受思想惯性的影响．数学家及全体科学家有意将实际问题抽象得面目非。再通过变换、映照转换到另外更复杂的空间中去分析问题。而这个变换往往是理想化、标准化、简单化及思想高度化。许多平面几何的难题，在立体几何中解决就容易得多，而在解析几何、微分几何中根本就不能称之为问题了。
数学的理性体现在于“大处着眼、小处着手”。首先利用抽象的方法以期达到普遍性，获得了
结构性的普遍理论以后．再在应用时注意个体特质。点与向量在数学中都可以用三维数组或者欧几里得坐标表示，向量可以有加法及数乘等运算，而对点作这样的运算是没有实际意义的。数学处理点的问题时先统一到向量空间，如果A、B是两个点的坐标，那么A12、B12都没有意义。但是A／2+B／2却变成了有意义的中点。如果不引入向量数乘及加法，就很难写出中点的坐标。解决数论问题用解析数论的方法(离散问题连续化)、解微分方程利用变分原理(将线性问题变成两次最优问题)都是将问题变成一个看起来更为复杂的问题。走路到麦加朝圣比较困难，数学家说：“让我们先造飞机吧。”社会上有许多人致力于用简单方法解世界数学难题，这就如同你能够走路到麦加朝圣回来。数学家说“不错”，但是他们更加感兴趣的是火车提速、造出超音速飞机。数学家对解决数学难题过程中出现的新的数学方法及思想的兴趣大大甚于解决问题本身。因为乘火车及飞机除了去麦加，还可以去耶路撒冷、罗马，去西安以及世界任何地方。

版权声明：本站内容均来自互联网，仅供演示用，请勿用于商业和其他非法用途。如果侵犯了您的权益请与我们联系QQ:729038198，我们将在24小时内删除。