2012年中国数学奥林匹克(CMO)试题
第一天
1. 如图1，在圆内接中，为最大角，不含点的弧上两点、分别为弧、的中点。记过点、且与相切的圆为，过点、且与相切的圆为，与交于点、。证明：平分。
2. 给定质数。设是一个的矩阵，满足。
允许对一个矩阵作如下操作：选取一行或一列，将该行或该列的每个数同时加上1或同时减去1.若可以通过有限多次上述操作将中元素全变为0，则称是一个“好矩阵”。求好矩阵的个数。
3.证明：对于任意实数，总存在满足下列条件的严格递增的正整数数列：
（1） 对每个正整数，有；
（2） 当且仅当整数时，存在正整数以及使得
.
第二天
4.设是给定的正实数为给定的正整数。对满足
的非负实数，求的最大值。
5.设为无平方因子的正偶数，为整数，为质数，满足
.
证明：可以表示为，其中，为互不相同的正整数。
6.求满足下面条件的最小正整数：对集合的任意一个元子集，都存在中的三个互不相同的元素、、，使得、、均在集合中。
参考答案
第一天
1. 如图2，联结、、、。
分别记、、为、、，、分别为延长线、延长线上的任意一点。
由已知条件易得。结合、、、、五点共圆得
，
。
由、分别切、于点得，
及
故
在与中，分别运用正弦定理并结合，得
，故，又因为、均为钝角，所以，、均为锐角，于是，，
故。
2. 由加减法的交换律和结合律可以将针对同一行或同一列的操作合并进行，并且无需考虑各操作间的次序。
假设所有操作的最终结果是对第行每个数减去，对第列每个数减去，其中可以是任意整数。
由题设知对所有的成立。
由于表中各数互不相同，则互不相同，互不相同。不妨设，这是因为交换与的值相当于交换第行和第行，既不改变题设也不改变结论。同样，不妨设。于是，假设数表的每一行从左到右是递增的，每一列从上到下也是递增的。
由上面的讨论知或，不妨设。否则，将整个数表关于主对角线作对称，不改变题设也不改变结论。
下面用反证法证明：全在第一行中。
假设在第一行中，不在第一行中。于，。将连续的个整数称为一个“块”，只需证明：表格的第一行恰由若干个块构成，即前个数为一个块，之后的个数又是一个块，等等。
如若不然，设前组个数均为块，但之后的个数不成为块（或之后不足个数），由此知对构成块。从而，表格的前列共可分成个的子表格，每个子表格中的个数构成块。
现假设，故。从而必定在前列中。这样含在某个前面所说的的块中，但、都不在该块中，矛盾。
于是，第一行恰由若干个块构成。
特别地，有。但，而是质数，这导致矛盾。
于是，数表的第一行恰为，而第行必定为
因此，好矩阵在交换行，交换列，以及关于主对角线作对称下总可转化为唯一的形式。
所以，好矩阵的个数等于
3. 递推地构造正整数序列如下：取整数，以及。对，取整数。下面证明这一序列满足条件。
由定义知对均成立，且对任意正整数有。
于是，这一序列是严格递增的正整数序列且满足条件（1）。
对任意正整数有及。
最后只需说明：0不能表示成的形式，其中，。
当时，。
当时，。
这样便验证了所构造的序列满足所有条件。
第二天
   
4. 解法1 由数学数组的定义是什么，则
当时，上式等号成立，故的最大值为。
解法2  对归纳证明下述理一般的命题。
命题 对满足 的非负实数（是任意固定的非负实数），
的最大值在时取到。
事实上，由的对称性，不妨设。注意到，在非负实数集上是单调递增的。则
当时，，等号在时成立。
假设结论在时成立，考虑的情形。
对用归纳假设有
其中为关于的二次函数，其二次项系数为，一次项系数为。
因此，对称轴为
显然，上式不等号左边右边，所以，当时，取得最大值。
因此，取得最大值时，。
由数学归纳法，命题得证。
5. 由于是偶数，故。又，故。
不妨假设取，则
由条件知是整数，、是不同的正整数。
下面只需证明：，并且、
由均值不等式有，故
由此知
若，则，即
由于是偶数，故为偶数，这样被4整除，这与无平方因子矛盾。
若，则
由于是偶数，故为奇数，这同样导致被4整除，矛盾。
综上，选取的、、满足条件。
命题获证。
6. 设，令
则，且为偶数.①
反之，若存在、、满足性质①，则取有、、，且
于是，题述条件等价于对任意的元子集，均有、、，满足性质①。
若，则，且集合中不含有满足性质①的三个元素。因此

版权声明：本站内容均来自互联网，仅供演示用，请勿用于商业和其他非法用途。如果侵犯了您的权益请与我们联系QQ:729038198，我们将在24小时内删除。