微积分讲义
1、内容
经济应用数学基础，财经类，1学年，第一学期周5学时，第二学期周4学时。微分学，积分学
2、要求：
（1）搞清基本概念
函数→极限→连续→导数→微分→不定
定积分→
⎩
⎨
⎧
微分方程应用
无穷级数应用
对象  基础  性质 核心  主要内容    主要内容
（2）掌握基本运算： 极限，导数，积分
（3）重视实际运用：求围积，求极值
3、方法：多思考、多理解、多练习
初等数学：“常量”的数学，高等数学：“变量”的数学
第一章  函数
第一节  集合
一、集合的概念
1．集合
集合是具有某个共同属性的一些对象的全体，简称集，一般用大写字母A、B、C……表示。构成集合的每一个对象称为该集合的元素。 用小写字母a、b、c……表示
如果x是集合A的元素，记作x∈A，读作“x属于A”;
如果x不是集合A的元素，记作x∉A，读作“x不属于A”。
N表示全体自然数构成的集合；
Z表示全体整数构成的集合；
Q表示全体有理数构成的集合；
R表示全体实数构成的集合。
集合具有（1）确定性  考虑：中年人集合
（2）互异性 考虑：{1，2，3，1}集合有几个元素
（3）无序性  考虑：{1，2，3}与{3，1，2}相同不相同
2．集合的表示法
(1)列举法： A = {0，2，8}。
(2)描述法：用A = {x|x具有性质P}表示。 如：A = {x|x2–3x+2=0}
(3)图示法：简单的一个平面区域代表一个集合（文氏图）
3．集合的类型
(1)有限集：所包含的元素的个数只有有限个的集合称为有限集，如A={1，2}是有限集。
(2)无限集：所包含的元素的个数是无限个的集合称为无限集，如B={x|x>0}是无限集。  可列集、不可列集
(3)空集：不含有任何元素的集合称为空集，记作Φ。
注意：0，{0}，Φ，{Φ}（含有一个元素空集的非空集合）
(4)子集
若有两个集合A 与B，如果集合 A  的任何一个元素都是集合 B  的元素，则称集合
A 是
B 的子集，记作 ，读作 A  包含于 B  或 B 包含 A。
显然有， 。
A A A ⊂Φ⊂，若集合 A  和集合
B  含有相同的元素，则两个集合相等，记作 A = B。 B A B A B A ⊃⊂⇔=且
二、集合的运算
1、集合的并：
由集合A 与集合B B 的并。记作A∪B，
读作A 与B 的并，
2、集合的交：
由集合A 和集合B 的所有公共元素构成的集合，称为集合A 与B 的交。记作
A∩B，读作A 与B 之交，
A∩B=Φ什么意思？两个集合是分离的，没有公共元素  3、差集：属于A 而不属于B 的所有元素构成的集合，称为A 与A-B，
A-B={x|x ∈A 且x ∉B} 4、补集：
全集：由所研究的所有事物构成的集合 补集：全集U 中所有不属于A 构成的集合称为A 的补集，补集记为或−
A A ′。  A ′={x|x ∈U 且x ∉A}
三、集合的运算律
集合运算满足交换律、结合律、分配律、对偶律等一系列性质。
四、集合的笛卡尔乘积（有序集合）
(x,y )——二元有序数组，一般地，(x,y)≠(y,x) (x,y,z )——三元有序数组
定义：设有集合A 和集合B ，当x ∈A，y ∈B，称所有有序数组(x,y)所组成的集合为集合A 与B 的笛卡儿乘积，记为A×B=
A×B={(x,y)| x ∈A，y ∈B} 例1  }3,2{},4,3,2,1{==B A  )}3,4(),2,4(),3,3(),2,3(),3,2(),2,2(),3,1(),2,1{(=×B A  )}3,3(),2,3(),3,2(),2,2{(=×B B 例2 }20|{≤≤=x x A ，}10|{≤≤=x y B  }10,20|),{(≤≤≤≤=×y x y x B A  矩形区域 例3 坐标平面R ×R={(x,y)| x ∈R ，y ∈R}——笛卡儿直角坐标系平面
推广：坐标空间：R ×R ×R={(x,y,z)| x ∈R ，y ∈R  ,z ∈R }
五、区间和邻域
1、实数与实轴
实数充满整个数轴而没有空隙，也就是实数不仅具有稠密性，且具有连续性。实数与数轴上的点之间建立了一一对应关系。
⎩⎨
⎧对应关系与数轴上的某一区间的某一实数集一对应关系（数与形）
实数与数轴上的点是一A
2、绝对值
，几何意义：⎩
⎨⎧<−≥=00||x x x x
x x 点与原点之间的距离
a x a a a x <<−⇔><)0(,||
b x b x b b x >−<⇔>>或)0(,||  |：|a x −x 点与的距离
a 1|3|=−x ：或 2=x 4=x 1|3|<−x ： 42<<x 4|5|<−x ：
91<<x 3、区间（与数集对应）interval 设a ∈R ，b ∈R ，且a<b,
（1）开区间，在数轴上则是以a，b 为端点但不包含端点a 和b 的一条线段。  }|{),(b x a x b a <<=
（2）闭区间}|{],[b x a x b a ≤≤=，在数轴上则是以a，b 为端点，且包含端点a 和b 的一条线段。
（3）半开半闭区间}|{],(b x a x b a ≤<=，在数轴上则表示以a，b 为端点且包含左端点a 的一条线段。类似的有}|{),[b x a x b a <≤=。
上述端点为有限值的区间称为有限区间，有限区间可求区间长度b-a 。
（4）5种无穷区间：
}|{),(a x x a >=+∞ }|{),[a x x a ≥=+∞ }|{),(b x x b <=−∞ }|{],(b x x b ≤=−∞
R R x x =∈=+∞−∞}|{],(
注意 ∞ 是一个记号，不是一个数，因此与 ∞ 相伴的肯定是圆括弧。 区间统称：区间I  （不分开闭，有限还是无限）
4、邻域 ——特殊的开区间
：以点2为中心，区间长度为2×3的开区间3|2|<−x )32,32(+−
3|2|<+x ：以点-2为中心，区间长度为2×3的开区间)32,32(+−−−
δ<−||0x x ：以点为中心，区间长度为0x δ2的开区间),(00δδ+−x x  ⇔ x 0-δ<x < x 0+δ
（1）点的0x δ邻域，是指以为中心，长度为0x δ2的开区间),(00δδ+−x x ，即0,||0><−δδx x 。点称为该邻域的中心，0x δ称为该邻域的半径，在数轴上的表示为：
例如：2的3邻域就是
即（-1,5）。注意：2的3邻域与3的2邻域是
不同的。
（2）点的空心邻域=0x )()(}||0|{000δδδ+∪−=<−<x x x x x
2|1|0<−<x
作业：P39 2、6、8、10、13、14、22、25
第二节  函数
一、函数概念
定义： 若是一个非空实数集合，有一个对应规则，使每一个，都有唯一的实数D f D x ∈y 与之对应，则称为定义在上的函数，或称f D y 是x 的函数，记为，
)(x f y =D x
∈x ：自变量，y ：因变量，：对应规则或函数关系 f 通常称D 为函数 f 的定义域，记为
因变量y的变化范围称为函数f的值域，记为
数学数组的定义是什么R f  。即
。  注意：定义域值域两个数集，一个对应法则
(1)函数定义的两个要素：对应法则（或称依存关系） f 和定义域
D f  。一个函
数由对应法则f与自变量的取值范围D所确定。因此，两个函数相等是指这两个函数的 f 和
D f  都相等。
例如 不是函数关系（定义域不能为空）
)2arcsin(2x y +
=与
由于定义域不相等，他们就不是同一个函数。
y=2x 与y=2v 是相同的函数（函数表示法的无关特性） (2)定义域是允许自变量取值的范围
使函数式有意义（分母不为零，偶次根号下非负，中
等
使实际问题有意义（对实际问题而言，如价格不能小于零）
例：自由落体运动22
1
gt s =，g 为常数，),0[+∞∈t
(3)函数的值域是由定义域和对应规则所确定的。
(4)对应规则f 只对自变量起作用
f(x)=x 2,f(x 2+1)=(x 2+1)2,f(f(x))=(f(x))2=x 4
2、函数的图像（函数的几何意义：平面点集)}(,|),{(x f y D x y x f =∈ ）
在平面上取定一个直角坐标系
，用x轴上的点表示自变量的值，用y轴上的点表示函数值，这样，在D f 内的每一个x及相应的函数值f(x)就确定了该平面直角坐标系中的一个点P(x ，y)，当x在D f 内变动时，点P便在坐标平面上移动，所有这些点的集合
就是函数
的图像，通常为平
面上的一条曲线。
把函数曲线投影到x轴，便在x轴上得到函数的定义域
D f  。
有一些特别的函数是不能用几何图形表示的。
3．函数的表示法
（1）解析法（公式法） y=x 与y=33x ，函数表达式不唯一！ （2）表格法 （3）图示法
（4）分段函数，即分段用几个式子来表示一个函数。
例如
⎩⎨⎧∈−∈==]
2,1(2]1,0[)(x x x x
x f y 符号函数
⎪⎩
⎪
⎨⎧<−=>=0
10001)sgn(x x x x （5）隐函数（与显函数对应）xy=1，Ax+By+C=0，
02cos ln =−+x x y e xy 由方程F(x,y)=0所确定的y 与x 的函数关系称为隐函数。隐函数不一定能够显化例如
。 ——多值函数 222r y x =+4、建立函数关系的实例P
作业P42 28（6）（7）30、37、38、45

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