OI笔记]后缀数组学习笔记--后缀数组解题方法总结
2010-04-15 07:37
后缀数组是处理字符串的有力工具。后缀数组是后缀树的一个非常精巧的替代品，它比后缀树容易编程实现，能够实现后缀树的很多功能而时间复杂度也并不逊，而且它比后缀树所占用的内存空间小很多。可以说，后缀数组比后缀树要更为实用。自从拜读了罗穗骞大牛的WC2009论文《后缀数组——处理字符串的有力工具》后，经过若干星期的努力（中间有因某些原因而缓下来），终于把论文上面的练习题全部完成了，现在写写自己对后缀数组的理解和感悟。在看本笔记时，请不要忘记了，这是笔记，而教材是《后缀数组——处理字符串的有力工具》。
一：后缀数组的实现
1、定义：Suffix Array数组（SA数组）用于保存从小到大排好序之后的后缀。RANK名次数组用来保存后缀]在所有后缀中是第几小的后缀。简单来说，SA数组表示的是“排第几的是谁”，RANK数组表示的是“你的排名是多少”。
2、求SA数组以及RANK数组的方法：详细的请转到罗穗骞大牛的论文，我的学习笔记重点不是要介绍这个。
3、对DA（倍增算法）的一些个人理解：由于我只学习了倍增算法，所以我只能谈谈我对它的理解。DC3算法我没有去研究....
DA算法我是根据罗穗骞的模板写的，根据自己的理解做了些许的小优化。我们现在来看看罗穗骞大牛的模板：
int wa[maxn],wb[maxn],wv[maxn],ws[maxn];
int cmp(int *r,int a,int b,int l)
{return r[a]==r[b]&&r[a+l]==r[b+l];}
void da(int *r,int *sa,int n,int m)
{
int i,j,p,*x=wa,*y=wb,*t;
for(i=0;i<m;i++) ws[i]=0;
for(i=0;i<n;i++) ws[x[i]=r[i]]++;
for(i=1;i<m;i++) ws[i]+=ws[i-1];
for(i=n-1;i>=0;i--) sa[--ws[x[i]]]=i;
for(j=1,p=1;p<n;j*=2,m=p)
{
令数组全部的值为0for(p=0,i=n-j;i<n;i++) y[p++]=i;
for(i=0;i<n;i++) if(sa[i]>=j) y[p++]=sa[i]-j;
for(i=0;i<n;i++) wv[i]=x[y[i]];
for(i=0;i<m;i++) ws[i]=0;
for(i=0;i<n;i++) ws[wv[i]]++;
for(i=1;i<m;i++) ws[i]+=ws[i-1];
for(i=n-1;i>=0;i--) sa[--ws[wv[i]]]=y[i];
for(t=x,x=y,y=t,p=1,x[sa[0]]=0,i=1;i<n;i++)
x[sa[i]]=cmp(y,sa[i-1],sa[i],j)?p-1:p++;
}
return;
}
其实，我个人认为，对于这个算法以及代码，无需过分深入地理解，只需记忆即可，理解只是为了帮助记忆罢了。先解释变量：n为字符串长度，m为字符的取值范围，r为字符串。后面的j为每次排序时子串的长度。
for(i=0;i<m;i++) ws[i]=0;
for(i=0;i<n;i++) ws[x[i]=r[i]]++;
for(i=1;i<m;i++) ws[i]+=ws[i-1];
for(i=n-1;i>=0;i--) sa[--ws[x[i]]]=i;
这四行代码，进行的是对R中长度为1的子串进行基数排序。x数组在后面需要用到，所以先复制r数组的值。特别需要注意的是，第四行的for语句，初始化语句为i=n-1，如果写得不太熟练，很容易习惯性地写成i=0，我一开始就是。理解这是基数排序的最好方法，个例子，自己推推....
for(p=0,i=n-j;i<n;i++) y[p++]=i;
for(i=0;i<n;i++) if(sa[i]>=j) y[p++]=sa[i]-j;
这两行代码，利用了上一次基数排序的结果，对待排序的子串的第二关键字进行了一次高效地基数排序。我们可以结合下面的图来理解：
不难发现，除了第一次基数排序以外，之后的每次双关键字排序，设此次排序子串长度为j，则从第n-j位开始的子串，其第二关键字均为0，所以得到第一个for语句：
for(p=0,i=n-j;i<n;i++) y[p++]=i；使用pascal的朋友们注意了，这里之所以是n-j位，是因为c++的字符串是从第0位开始表示的。这里，p暂时成为了一个计数变量。第二个语句的意义，分析上图也不难理解，这里留给朋友们你们自行思考啦。（不如说我懒...）
for(i=0;i<n;i++) wv[i]=x[y[i]];
for(i=0;i<m;i++) ws[i]=0;
for(i=0;i<n;i++) ws[wv[i]]++;
for(i=1;i<m;i++) ws[i]+=ws[i-1];
for(i=n-1;i>=0;i--) sa[--ws[wv[i]]]=y[i];
与一开始的4个for语句意义相同，基数排序。至于为什么wv[i]=x[y[i]]，这个我想了蛮久没想通...硬记算了- -哪位朋友理解的希望能告诉我一声...
for(t=x,x=y,y=t,p=1,x[sa[0]]=0,i=1;i<n;i++)
x[sa[i]]=cmp(y,sa[i-1],sa[i],j)?p-1:p++;
这个for语句中的初始化语句里，完成了x数组和y数组的交换，用了指针的交换节约时间，
简化代码。这里需要注意的是p和i的初始值都是1，不是0.其实如果记得后面的语句，不难看出它们的初始值不能为0，因为后面有i-1和p-1嘛。这个for语句的意义要结合cmp函数来理解。反正，你知道这里p的值表示的是此时关键字不同的串的数量就对了。当p=n的时候，说明所有串都已经排好序了（它们的排名都唯一确定）。所以，一开始的循环语句中，循环条件是（p<n）。
另外，在使用倍增算法前，需要保证r数组的值均大于0。然后要在原字符串后添加一个0号字符，具体原因参见罗穗骞的论文。这时候，若原串的长度为n，则实际要进行后缀数组构建的r数组的长度应该为n+1.所以调用da函数时，对应的n应为n+1.
二、后缀数组的应用--height数组
在介绍后缀数组的应用前，先介绍后缀数组的一个重要附属数组：height数组。
1、height 数组：定义height[i]=suffix(sa[i-1])和suffix(sa[i])的最长公
共前缀，也就是排名相邻的两个后缀的最长公共前缀。
height数组是应用后缀数组解题是的核心，基本上使用后缀数组解决的题目都是依赖height 数组完成的。
2、height数组的求法：具体的求法参见罗穗骞的论文。对于height数组的求法，我并没有去深刻理解，单纯地记忆了而已...有兴趣的朋友可以去钻研钻研再和我交流交流
这里给出代码：
int rank[maxn],height[maxn];
void calheight(int *r,int *sa,int n)
{
int i,j,k=0;
for(i=1;i<=n;i++) rank[sa[i]]=i;
for(i=0;i<n;height[rank[i++]]=k)
for(k?k--:0,j=sa[rank[i]-1];r[i+k]==r[j+k];k++);
return;
}
3、一些注意事项：height数组的值应该是从height[1]开始的，而且height[1]应该是等于0的。原因是，因为我们在字符串后面添加了一个0号字符，所以它必然是最小的一个后缀。而字符串中的其他字符都应该是大于0的（前面有提到，使用倍增算法前需要确保这点），所以排名第二的字符串和0号字符的公共前缀（即height[1]）应当为0.在调用calheight函数时，要注意height数组的范围应该是[1..n]。所以调用时应该是calheight(r,sa,n)而不是calheight(r,sa,n+1)。要理解清楚这里的n的含义是什么。
calheight过程中，对rank数组求值的for语句的初始语句是i=1而不是i=0的原因，和上面说的类似，因为sa[0]总是等于那个已经失去作用的0号字符，所以没必要求出其rank值。当然你错写成for (i=0..)，也不会有什么问题。
三、后缀数组解题总结：
1、求单个子串的不重复子串个数。SPOJ 694、SPOJ 705.
这个问题是一个特殊求值问题。要认识到这样一个事实：一个字符串中的所有子串都必然是它的后缀的前缀。（这句话稍微有点绕...）对于每一个sa[i]后缀，它的起始位置sa[i]，那么它最多能得到该后缀
长度个子串（n-sa[i]个），而其中有height[i]个是与前一个后缀相同的，所以它能产生的实际后缀个数便是n-sa[i]-height[i]。遍历一次所有的后缀，将它产生的后缀数加起来便是答案。
代码及题解：hi.baidu/fhnstephen/blog/item/68f919f849748668024f56fb.html
2、后缀的最长公共前缀。（记为lcp（x，y））
这是height数组的最基本性质之一。具体的可以参看罗穗骞的论文。后缀i和后缀j的最长公共前缀的长度为它们在sa数组中所在排位之间的height值中的最小值。这个描述可能有点乱，正规的说，令x=rank[i],y=rank[j]，x<y，那么
lcp(i,j)=min(height[x+1],height[x+2]...height[y])。lcp(i,i)=n-sa[i]。解决这个问题，用RMQ的ST算法即可（我只会这个，或者用最近公共祖先那个转化的做法）。
3、最长重复子串（可重叠）
要看到，任何一个重复子串，都必然是某两个后缀的最长公共前缀。因为，两个后缀的公共前缀，它出现在这两个后缀中，并且起始位置时不同的，所以这个公共前缀必然重复出现两次以上（可重叠）。而任何两个后缀的最长公共前缀为某一段height值中的最小值，所以最大为height值中的最大值（即某个lcp(sa[i],sa[i+1]））。所以只要算出height数组，然后输出最大值就可以了。
一道题目和代码：
hi.baidu/fhnstephen/blog/item/4ed09dffdec0a78eb801a0ba.html
4、最长重复不重叠子串 PKU1743
这个问题和3的唯一区别在于能否重叠。加上不能重叠这个限制后，直接求解比较困难，所以我们选择二分枚举答案，将问题转换为判定性问题。假设当时枚举的长度为k，那么要怎样判断是否存在长度为k的重复不重叠子串呢？
首先，根据height数组，将后缀分成若干组，使得每组后缀中，后缀之间的height值不小于k。这样分组之后，不难看出，如果某组后缀数量大于1，那么它们之中存在一个公共前缀，其长度为它们之间的height值的最小值。而我们分组之后，每组后缀之间height值的最小值大于等于k。所以，后缀数大于1的分组中，有可能存在满足题目限制条件的长度不小于k的

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