2020年高联二试模拟题_数论
数论
【基本问题】
1.证明：对于每个正整数n，存在大于1且两两互素的正整数k1, k2, …, k n，使得k1k2…k n– 1为两
个连续正整数的乘积.
2.设正整数n > 4，证明：对任意n个不超过2n的正整数a1, a2, …, a n，都有
min 1≤i<="" p="">
2
] + 1).
3.令a (a > 1)是一个给定的正整数. 数列a1, a2, …, a n, …满足：
a1 = 1, a2 = a, a n+2 = aa n+1–a n (n≥1).
证明：存在无穷多个素数，使得它们当中的每一个都是数列{a n}n≥1中某一项的因子.
4.已知无穷等差数列{a n}各项均为正整数，且数列{S(a n)}单调不减（S(a)是正整数a在十进制下的各
位数字之和）. 证明：数列{a n}是常数数列.
5.用S(m)与P(m)分别表示正整数m在十进制下的各位数字之和与各位数字之积. 证明：对于任意正
整数n，都存在正整数a1, a2, …, a n，满足：S(a1) < S(a2) < …< S(a n)且S(a i) = P(a i+1) (i = 1, 2, …, n)，其中a n+1 = a1.
6.已知n为大于2的正整数，整数a1, a2, …, a n和b1, b2, …, b n都是模n的完全剩余系，证明：a1b1,
a2b2, …, a n b n不是模n的完全剩余系.
7.已知正整数n > 2，证明：对于任意n个正整数a1, a2, …, a n，均有
∏(j?i) 1≤i<="" j?a="" p="" |="" ∏(a="">
1≤i<j≤n< bdsfid="84" p=""></j≤n<>
.
8.称一个有理数r为“指数型”的，若存在互质的正整数p, q和大于1的正整数k，使得r = p k
q
令数组全部的值为0
. 已知三个正有理数a, b, c满足abc = 1，且存在正整数x, y, z，使得a x + b y + c z也是正整数. 证明：a, b, c都是指数型的.
9.设P(x)是一个整系数多项式，已知m个非零整数a1, a2, …, a m，满足：对任意整数n，P(n)至少
被a1, a2, …, a m中的一个整除. 证明：存在一个a i (1≤i≤m)，使得对任意整数n，P(n)均被a i整除.
10.称一个正整数m为“有趣的”，若存在100个非负整数a1, a2, …, a100（不必互异），使得m = 2a1
+ 2a2+ …+ 2a100. 试求最小的正整数n，满足：n的任意正整数倍都不是“有趣的”.
11.设S = {n∈N+ | 存在正整数d (n2 + 1≤d≤n2 + 2n)，使得d | n4}. 证明：集合S中没有被7除余3
或4的数.
12.黑板上有n (n≥3)个互不相等的正整数，证明：可以从中选出两个数，使得这n个数中的任何一个
数的3倍都不是这两个数之和的倍数.
【进阶问题】
13. 设正整数m > 1001，N = m 1001 + 1. 将N , N – m , N – 2m , … , m + 1, 1按从大到小的顺序从左到右写
在黑板上，每次操作定义为删掉最左边的数，同时删掉它的全部正约数. 试求最后删掉的数.
14. 设n 为正整数，用g (n )表示n 的全体正约数之和. 证明：存在无穷多个正整数n ，使得n | 2g (n ) – 1.
15. 设正整数n ≥2，证明：
对于任意n 个正整数a 1, a 2, … , a n ，总存在正整数b 1, b 2, … , b n ，同时满足下列条件：
(1) a i ≤b i (i = 1, 2, … , n )；(2) b 1, b 2, … , b n 除以n 的余数互不相同；
(3) b 1 + b 2 + … + b n ≤n ·( n?12 + [ a 1+a 2+?+a n n
] ).
（其中，[x ]表示不大于x 的最大整数）
16. 给定正整数n (n ≥2)，设集合A n = { 2n – 2k | k ∈Z, 0≤k < n }. 试求最大的正整数M ，使得M 不能
表示成A n 中的若干个元素之和（可以相同）.
17. 设n , k 为正整数. 现有k 个整数a 1, a 2, … , a k (n ≥a 1 > a 2 > … > a k > 0)，满足：其中任意两个数的
最小公倍数都不超过n ，证明：对于任意的正整数i (1≤i ≤k )，有ia i ≤n .
18. 称实数数列a 0, a 1, a 2, … 为“好的”，若同时满足下列条件： (1) a 0为正整数；(2) 对任意非负整数i ，有a i +1 = 2a i + 1或a i +1 = a i a i +2 ； (3) 存在正整数k ，使得a k = 1154.
试求最小的正整数n ，使得存在一个好的数列a 0, a 1, a 2, … ，满足a n = 1154.
19. 设正整数n ≥2，称一个n 元有序正整数数组(a 1, a 2, … , a n )为“有趣的”，若存在一个正整数k ，
使得(a 1 + a 2)(a 2 + a 3)…(a n –1 + a n )(a n + a 1) = 22k –1.（数组中的元素可以相同）
(1) 试求正整数n 的所有可能值，使得存在一个有趣的n 元数组；
(2) 证明：对于任意的正奇数m ，存在正整数n (n ≥2)及一个有趣的n 元数组，使得该数组中包含m .
20. 证明：对任意正整数n 和k ，都存在k 个正整数m 1, m 2, … , m k ，使得
1 + 2k ?1n = (1 + 1
m 1)(1 + 1m 2)…(1 + 1m k ). 21. 已知集合A = { 1 + 1k | k = 1, 2, 3, … }.
(1) 证明：对于任意正整数x (x ≥2)，x 都可以表示为集合A 中的若干元素之积（这些元素可以相同）.
(2) 对于任意正整数x (x ≥2)，将其表示为集合A 中的若干元素之积，用f (x )表示所用元素个数的最小值（相同的元素按出现的次数计算）.
证明：存在无穷多对正整数(x , y ) (x , y ≥2)，满足f (xy ) < f (x ) + f (y ).
22. 对任意的正整数n ，选出满足下列条件的正整数数列a 1, a 2, … ：
(1) 对于任意的正整数i ，有a i = a i +n ；(2) 对于任意的正整数i ，有n ? a i ；
(3) 对于任意的正整数i ，有a i | a i+a i .
问：对哪些正整数n (n > 1)，只有数列a 1, a 2, … 中的项全相等时才能满足这些条件？
23. (1) 证明：对于区间(0, 12)中的任意实数t ，存在一个正整数n ，满足：
在任意n 元正整数集合S 中，总可以到两个不同的元素x , y ，使得存在一个非负整数m ，满足|x – my |≤ty .
(2) 对于区间(0, 12)中的任意实数t ，是否存在一个正整数的无穷集合S ，满足：
对于S 中的任意两个不同元素x , y ，不等式|x – my | > ty 对任意正整数m 恒成立.
24. 若正整数n = p 1α1p 2α2?p k αk ，其中p 1, p 2, … , p k 为互不相同的素数，α1, α2, … , αk 均为正整数，则称p 1α1, p 2α2, … , p k αk 中的最大值为n 的最大素数幂因子. 设n 1,
n 2, … , n 10000为10000个互不相同的正整数，并且这10000个数的最大素数幂因子均相等，证明：存在整数a 1, a 2, … , a 10000，使得10000个等差数列{a i + n i , a i + 2n i , a i + 3n i , … } (1≤i ≤10000)两两不相交.
【挑战问题】
25. 定义rad(n )如下：rad(1) = 1，而对大于1的正整数n ，rad(n )等于n 的所有不同素因子的乘积. 数列
a 1, a 2, … 定义如下：a 1∈N +，a n +1 = a n + rad(a n ) (n ≥1). 证明：对任意正整数m (m ≥3)，数列a 1, a 2, … 中都存在连续m 项，它们构成一个等差数列.
26. 求所有的正整数组(a , m , n )，满足：a > 1, m < n ，且a m – 1的质因子集合与a n – 1的质因子集合相
同.
27. 设c 是一个正整数，数列a 1, a 2, … , a n , … 按如下方式定义：
a 1 = c , a n +1 = a n 2 + a n + c 3 (n ≥1).
求正整数c 的所有可能值，使得存在正整数k 和m (m ≥2)，满足a k 2 + c 3是某个正整数的m 次幂.
28. 设c 为正整数，定义数列{a n }n ≥1为：a 1 = c ，a n +1 = a n 3 – 4c ·a n 2 + 5c 2·a n + c (n ≥1).
证明：对任意正整数n (n ≥2)，都存在一个素数p ，使得p | a n 且p ? a 1a 2…a n –1.
29. 设Q 是有理数集，Z 是整数集. 在坐标平面上，对正整数m ，定义点集：A m = {(x , y ) | x , y ∈Q , xy
≠0, xy m ∈Z }. 对线段MN ，定义f m (MN )为线段MN 上属于集合A m 的点的个数.
求最小的实数λ，使得对坐标平面上的任意直线l ，均存在与l 有关的实数β(l )，满足：对直线l 上任意两点M , N ，都有f 56(MN )≤λf 55(MN ) + β(l ).
30. 已知a 1 < a 2 < … < a n 是n 个两两互素的正整数，其中a 1是素数且a 1≥n + 2. 在数轴
上的区间I = [0,
a 1a 2…a n ]中，称一个整数为“好数”，若它至少可以被a 1, a 2, … , a n 中的一个整除. 于是得到一个好数数列0 = x 0 < x 1 < … < x m = a 1a 2…a n ，所有好数把区间I 分成了m 个小区间[x i , x i +1] (0≤k ≤m –1). 证明：这m 个小区间长度的平方和为a 1的倍数.

版权声明：本站内容均来自互联网，仅供演示用，请勿用于商业和其他非法用途。如果侵犯了您的权益请与我们联系QQ:729038198，我们将在24小时内删除。