电光与控制Electronics Optics&Control Vol.28No.5 May2021
第28卷第5期
2021年5月
引用格式：徐宝珍，宋公飞，王超，等•机械臂自适应非奇异快速终端滑模控制[J]•电光与控制,2021,28(5)：46-50.XU B Z,SONG G F,WANG C,et al.Adaptive non-singular fast terminal sliding mode control of manipulator[J].Electronics Optics&Control,2021,28(5)：46-50.
机械臂自适应非奇异快速终端滑模控制
徐宝珍1，宋公飞33，王超1，曹广旭"
(1.南京信息工程大学自动化学院，南京210044；2.化工a程先进控制和优化技术教育部重点实验室，上海200237；
3.江苏省大气环境与装备技术协同创新中心，南京210044；
4.中国电子科技集团公司第二十八研究所，南京210044)
摘要：针对刚性机械臂有限时间鲁棒控制问题，提出了一种新的自适应非奇异快速终端滑模控制方法。该方法将非奇异快速终端滑模控制与自适应律相结合，使用非奇异快速终端滑模面加快机械臂轨迹跟踪误差的收敛速度，解决了终端滑模中的奇异问题；通过双曲正切函数代替符号函数减小控制输入的抖振；利用自适应律对未知的外部扰动和系统的不确定性进行估计，实现了在集总扰动未知情况下的轨迹跟踪。构造Lyapunov函数，证明机械臂系统能够在有限时间内稳定收敛。最后二自由度机械臂仿真实验结果验证了所设计控制器的有效性和鲁棒性。
关键词：终端滑模控制；机械臂；轨迹跟踪；自适应律；有限时间收敛
中图分类号：TP242文献标志码：A doi:10.3969/j.issn.1671-637X.2021.05.011
Adaptive Non-或ngular Fast Terminal Sliding Mode
Control of Manipulator
XU Baozhen1,SONG Gongfei1'2,3,WANG Chao1,CAO Guangxu4
(1.School of Automation,Nanjing University of Information Science&Technology,Nanjing210044,China;
2.Key Laboratory of Advanced Control and Optimization for Chemical Processes,Shanghai200237,China；
3.Collaborative Innovation Center of Atmospheric Environment and Equipment Technology,Nanjing210044,China;
4.The28th Research Institute of China Electronics Technology Group Corporation,Nanjing210044,China)
Abstract:For the finite-time robust control of a rigid robot manipulator,a new adaptive non-singular fast terminal sliding mode control method is proposed.This method combines non-singular fast terminal sliding mode control with adaptive law.Firstly,the non-singular fast terminal sliding surface is selected,which is used to accelerate the convergence rate of trajectory tracking error of manipulator and solve singular problems in terminal sliding surface.Then,hyperbolic tangent function replaces sign function to reduce chaHeiing of control input.Moreover,the adaptive law estimates the unknown external disturbance and uncertainties,so as to achieve trajectory tracking with unknown lumped disturbance・It is proved that the robot manipulator system can converge stably in finite time by establishing the Lyapunov function.Finally, the simulation results of a two-DOF robot manipulator are presented to illustrate the effectiveness and robustness of the proposed control method.
Key words:terminal sliding mode control；robot manipulator；trajectory tracking；adaptive law；finitetime convergence
0引言
随着材料、电子和机械工业的快速发展，高性能机
收稿日期：2020-11-06修回日期：2021-04-26
基金项目：国家自然科学基金面上项目(61973170)；中央高校基本科研业务费专项资金资助项目(2020ACOCP02)
作者简介：徐宝珍(1997-)，女，江西宜春人，硕士生，研究方向为机器人轨迹跟踪控制。
通讯作者：宋公飞(1987一)，男，gfsong@nuist.edu o 器人系统被越来越多地应用于生产和生活⑴。因此，如何设计高性能的控制器一直是机械臂研究领域中的热门话题叫
在机械臂的工作空间中，外部扰动和系统的不确定性是未知的。针对刚性机械臂轨迹跟踪的问题，文献［3］利用RBF神经网络补偿系统不确定性，采用终端滑模面加快系统收敛速度，但未能解决终端滑模的奇异问题；文献［4］采用鲁棒自适应控制律估计不确定
第5期徐宝珍等：机械臂自适应非奇异快速终端滑模控制47
参数，提高机械臂的轨迹跟踪精度，但未能使轨迹跟踪
误差在有效时间内收敛；文献[5]设计了基于积分滑模
面的有限时间稳定的滑模控制方法，但运用子机械臂轨
迹跟踪的任务空间时利用到了机械臂的加速度，这在现
实应用中是不可接受的。
为了提高二自由度机械臂的控制性能，加快轨迹跟
踪误差的收敛速度，本文选取非奇异快速终端滑模面,
结合自适应律估计参数，设计出一种新的自适应非奇异
快速终端滑模控制器，加快了系统的收敛速度，使得轨
迹跟踪误差和参数估计误差在有限时间内趋近于零。
1自适应非奇异快速终端滑模控制器
1.1刚性"自由度机械臂动态模型
机械臂系统数学模型为
M(q)q+C(q,q)q+G(q)=T+r d(1)式中-q,q,^R n分别为机械臂系统的关节位置、速度和加速度矢量;M(q)e R""为对称正定惯性矩阵;C(g, q)er x"为哥氏力和离心力矩阵;G(Q wR"为重力矢量为外部扰动;tw R"为控制器输入矢量；丘"，均表示空间。
引理1[<，]全局有限时间稳定的Lyapunov函数定理。
对于一个非线性系统，假设存在一个连续的正定函数和两个正常数T/eR"和a e(O,1)(D 为定义域)，以至于正定函数V(t)在原点的邻域WQ DQR n内满足
F(t)+7]V a(t)«0(2)则系统为有限时间稳定。即系统状态能在有限时间内收敛到平衡点，且收敛时间满足
T<*y厂J)。⑶
1.2非奇异快速终端滑模控制器
定义系统跟踪误差为
f=q_qa
■e=q-q d0⑷
图1所示为滑模状态。
图中M被称为终止点，状态轨迹趋于滑模面s=0；B被称为起始点，指系统的状态轨迹从此点离开滑模面s=0；C被称为通常点，指系统的状态轨迹运行至s=0并穿过此面、系统状态轨迹与滑模面s=0相交的点[力。
为设计控制器控制机械臂系统轨迹跟踪2刃，设计如下非奇异快速终端滑模面问
$二$+ae+0|£|""sgn(€)(5)式中：a,0为正常数；为正奇数，且a>b o
Fig.1Sliding mode status
对式(5)求导可得
s=e+ae+/3|e|°/4_1e。(6)根据选取的非奇异快速终端滑模面，设计如下控制器
T=f+T”⑺式中弧为当系统到达滑模面S=§=0时得到的等效控制器，并且此时的外部扰动为零；鲁棒控制器T”为鲁棒控制部分，主要用于消除模型不确定性和外部扰动对机器人轨迹跟踪系统控制品质的影响。
设计等效控制器为
T eq=M(q)q d+C(q,q)q+G(q)-
M(q)((ae+j8y|e K^'sgnCe)e)(8)设计鲁棒控制器为
丁”=-M(g)[&s+%2Sgn(s)](9)式中，何，他>0，为鲁棒控制器增益。
非奇异快速终端滑模控制器设计为
T=r ai+T u=M(q')q d+C(q,q')q+G(q')-
M(q)((ae+)8y|e|"/，，_1sgn(e)e)-
M{q)[AjS+fc2sgn(s)]0(10)稳定性分析。设计正定Lyapunov函数V o=-^-s T s,
对卩。求导
V o=s T s=s T(e+ae+/3~^~\e I"74'sgn(e)e)= "(-k t s-k2s>gn(s))W-k2s>gn(s)s^
-A：2|s|^-A：2||s||(11)因此E=学W-阿2%，可得
曲w
-d%
(12)设・为系统的收敛时间,％(0)为初始状态，此时％仃”)= 0。对式(12)
两边积分
48电光与控制第28卷
05(0)V Z/f2r0可计算出收敛时间为(13)
(20)
•e1入入1入A
V=s T s+^(b o-b o)b o+^(b1-b1)b1+
(⑷
可知，机械臂系统轨迹跟踪误差能在有限时间内趋于零。
1.3自适应非奇异快速终端滑模控制器
在考虑系统参数不确定和外部扰动情况下的刚性机械臂的动态模型可表示为
M0(q')q+C Q(q,q')q+G(i(q')=T+r d+p(15)式中:M°(g)^R"x",C0(q,q)wR“：Gg wR"均为机械臂的标称模型;p为系统参数的不确定项，且p=AM(g)"+^C(q,q)q+^G(q)0
假设U ll<^0+bjq||+b2||q||2,fe0, bt,b2为未知的正常数，日(g,2,d)=M o l(q)(r d+p)为机械臂系统的集总扰动。
根据1.2节中设计的非奇异快速终端滑模控制，通过自适应律对集总扰动的未知参数进行估计，设计自适应非奇异快速终端滑模控制器。
等效控制器
r eq=M0(q)q d+C0(q,q')q+G0(q)-
M0(q)(ae+/3-^-\e\°/h^sgn(e)e)(16)鲁棒控制器
T u=~M0(q)[A:s+(b0+b l||9||+b2^q||2)sgn(s)]
(17)式中必＞0，为鲁棒控制器增益为参数估值。
自适应非奇异终端滑模控制设计为
T=T^+T u=M0(q)q d+C0(q,q)q+G0(q)-M°(g)(a$+/3y I e|"/4_1sgn(e)e)-陆(2)[肚+(必+人l|g||+b2||4||2)sgn(s)](18)参数自适应律为
-
k=r,bll
烏严(19)
.^^hii uii2
式中，八，厂2，几为正常数。
2稳定性分析
选取如下正定Lyapunov函数
V=~YS T S+*#必一心)2+*#$1-®)2+
[入入
Y~(.b2-b2)b2(21) 0W||H(q,q,q)||||s||~(.b0+b1h||+b2||?||2)-
Ils H-ch||(22)式中:c为正定常数,c=(%+®||g||+b2||«||2)-H(q, q,q)>0，可得》W0，由Lyapunov稳定性理论可知，系统最终能够趋于稳定。
令卩。=ys T s,=乞可知
"o="+了o A+A A+乙A W-c||s||+(%-心)心+
(b t b t+(b2-b2)b2(23)存在正定常数c，使得応(t)W-c||s||W-Qc%，因此
V1/2(0)
可计算出收敛时间t"丄亠丄，系统跟踪误差和参
C
数的估计误差能够在有限时间内收敛至零。
为减小控制器中符号函数sgn(s)带来的抖振，利用双曲正切函数tanh(s/卩)代替鲁棒控制器中的符号函数"丁啊+丁”=甌＞(9)乙+C()(g,$+Go(g)-
(ae+0千|e广他论)e)-M0(q)[ks+
(b0+b t||9||+b2^q||2)tanh(s/^＞)](24)式中,9为边界层厚度“2」。
3仿真实验
图2为二自由度机械臂仿真示意图。
Fig.2Schematic diagram o£a robotic arm
with two degrees of freedom
图中:“，乙为连杆长度;OTj,m2为连杆质量;％, q2为双关节机械臂的关节角。
对于二自由度关节型机器人系统，有
■M u(q)陆2($)]rC n(q,q)C12(q,q)-
%(q)M22(q')\[q^\-C21(q,q)C22
(q,q)i
第5期徐宝珍等：机械臂自适应非奇异快速终端滑模控制49
+rGi(«)=[T1]
02
+I g2(«)
式中：
M n(q)=(m,+?n2)r,+m2t^+2m2r l r2cos q2+j{
M l2(q)=M2i(q)=m2r^+m2r l r2cos q2
M^iq)=m2j^+J2
C"(q,Q)=-2m2rj2^n q2-q2
[Ci2(?,d)=-^2r i r2sin^2*02
C2i(?,d)=mjFjFjsin q2・q x
。々(山)=0
G(?)二(®+/n2)gr1cos q x+m2gr2cos(q i+q2)
O2(q)=m2gr2cos(q l+込)
(26)式中J丿2为惯性力。
二自由度机械臂系统的相关参数曲二1.5kg,7^= 0.5kg,r,=1m,r2=0.8m,®=1.8kg,®=°・8kg,^= 5kg-m J2=5kg•m2,g=9.8m/s2o其中，羁为标称质量。
给定期望轨迹分别为如=1・35-寻宀洛严q J2=L25+e_,+-^-e4,o初始状态(0)=1.5rad，么(0)=0rad/s,g2(0)=2rad,^2(0)=0rad/s o外部扰动：兀二Ei九]丁=[2血/2cos i]T c初始参数：6o(O)= 6,(0)=62(o)=0；^=r2=i；a：=2oo,^= 0.l,a=20,j8=16；a=15,6=7o
图3~图5分别为双关节的机械臂的位置跟踪仿真、位置跟踪误差图、集总扰动参数估计值。
(b)关节2
图3机械臂关节的位置跟踪
Fig.3Position tracking of robotic arm joints 仿真结果表明，本文设计的自适应非奇异快速终端滑模控制器输入使得系统机械臂关节位置能够在有限时间内跟踪目标位置，系统的集总扰动参数通过自适应律估值最终趋于稳定值。
为验证本文提出的自适应非奇异快速终端滑模控制器的收敛性能，与文献［13］提出的控制器进行对比，在上述相同初始条件下，图6所示为机械臂关节的位置跟踪对比，图7所示为机械臂关节位置跟踪误差对比。
00.20.40.60.8 1.0
t/s
(b)e2
图4机械臂关节的位置跟踪误差
Fig.4Position tracking error of robotic arm joints
xicr*
W b2
图5参数估计值
Fig.5Parameter estimation
从图6、图7可看出，本文所提控制器使得机械臂关节跟踪误差在0.2s左右趋近于0，而文献［13］所提控制器使得机械臂系统在1-5s左右才能跟踪目标轨迹。
2.5
—
—目标轨迹
-＞（）—
—本文所提控制器
1.5
文献［13］所提控制器
1.0
t/s
(b)关节2
图6机械臂关节的位置跟踪对比
Fig.6Comparison of position tracking of
the robotic arm
joints
50电光与控制第28卷
(b)e2
图7机械臂关节的位置跟踪误差对比
Fig.7Comparison of position tracking error of
the robotic arm jointsadaptive
用以下指标比较两种控制器跟踪响应特性〔⑷:
误差绝对值的积分(IAE)
A ae=f|e(i)浊(27)
Jo
误差平方的积分(ISE)
A se=f e2(t)dt(28)
Jo
其中为仿真时间;e(t)为每个采样点的跟踪误差。
表1所示为跟踪误差情况。
表1跟踪误差情况
Table1Tracking errors
控制器关节IAE ISE
本文113.80210.535 27.703 3.246
文献[13]187.34451.135 243.58014.030
由表1可以明显看出，本文所提控制器相比文献[13]所提控制器的跟踪误差更小、性能更好。
4总结
本文提出了一种新的自适应非奇异快速终端滑模控制用来控制机械臂系统，实现了在系统不确定和扰动未知情况下的轨迹跟踪，自适应律是基于鲁棒非奇异快速终端滑模概念的优点而推导岀来的，可以在有限时间内将系统状态驱动到原点。双曲正切函数可以代替符号函数减小系统的抖振。此外，本文算法的设计只需要位置和速度测量，这使得它更适用于实际机械臂。
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