计算机组成原理14-定点数的乘法与除法运算
⽬录
⼀、乘法运算
在计算机中，乘法运算是⼀种很重要的运算，有的机器由硬件乘法器直接完成乘法运算，有的机器内没有乘法器，但可以按机器作乘法运算的⽅法，⽤软件编程实现。因此，学习乘法运算⽅法不仅有助于乘法器的设计，也有助于乘法编程。
下⾯从分析笔算乘法⼊⼿，介绍机器中⽤到的⼏种乘法运算⽅法。
1、分析笔算乘法
设A=0.1101，B=0.1011，求A×B。
笔算乘法时乘积的符号由两数符号⼼算⽽得：正正得正；其数值部分的运算如下：
所以 A×B=+0.10001111
可见，这⾥包含着被乘数4的多次左移，以及四个位积的相加运算。
若计算机完全模仿笔算乘法步骤，将会有两⼤困难：
其⼀，将四个位积⼀次相加，机器难以实现；
其⼆，乘积位数增长了⼀倍，这将造成器材的浪费和运算时间的增加。
为此，对笔算乘法做些改进。
2、笔算乘法的改进
将A·B = A·0.1011
= 0.1A+0.001·A+0.0001·A
= 0.1A+0.00·A+0.001(A+0.1A）
= 0.1A+0.01[0·A+0.1(A+0.1A)]
= 0.1{A+0.1[0·A+0.1(A+0.1A)]}
= 2^-1{A+2^-1 [0·A+2^-1 (A+2^-1A)]}
= 2^-1{A+2^-1 [0·A+2^-1 (A+2^-1(A+0))]}
由上式可见，两数相乘的过程，可视作加法和移位(乘2^-1相当于做⼀位右移)两种运算，这对计算机来说是⾮常容易实现的。
从初始值为0开始，对上式作分步运算，则：
第⼀步：被乘数加零 A+0=0.1101+0.0000=0.1101
第⼆步：右移⼀位，得新的部分积 2^-1 (A+0)＝0.01101
第三步：被乘数加部分积 A+2^-1(A+0)=0.1101+0.01101=1.00111
第四步：右移⼀位，得新的部分积 2^-1 A+2^-1 (A+0)=0.100111
第五步：0·A +2^-1 [A+2^-1 (A+0)] =0.100111
第六步：2^-1{0·A+2^-1 [A+2^-1 (A+0)]}=0.0100111
第七步：A+2^-1{0·A+2^-1 [A+2^-1 (A+0)]}=1.0001111
第⼋步：2^-1 {A+2^-1[0·A+2^-1 (A+2^-1 (A+0))]}=0.10001111
上述运算过程可归纳为：
①乘法运算可⽤移位和加法来实现，当两个四位数相乘，总共需做四次加法和四次移位。
②由乘数的末位值确定被乘数是否与原部分积相加，然后右移⼀位，形成新的部分积；同时，乘数也右移⼀位，由次低位作新的末
位，空出最⾼位放部分积的最低位。
③每次做加法时，被乘数仅仅与原部分积的⾼位相加，其低位被移⾄乘数所空出的⾼位位置。
计算机很容易实现这种运算规则。⽤⼀个寄存器存放被乘数，⼀个寄存器存放乘积的⾼位，⼜⽤⼀个寄存器存放乘数及乘积的低位，再配上加法器及其他相应电路，就可组成乘法器。⼜因加法只在部分积的⾼位进⾏，故不但节省了器材，⽽且还缩短了运算时间。
3、原码⼀位乘法
由于原码表⽰与真值极为相似，只差⼀个符号，⽽乘积的符号⼜可通过两数符号的逻辑异或求得，因此，上述讨论的结果可以直接⽤于原码⼀位乘，只需加上符号位处理即可。
上图是⼀个32位乘法器的结构框图，其中32位被乘数放在R2中，运算开始时32位乘数放在R1中，运算结束时64位乘积的⾼位放在R0中，低位放在R1中，R0和R1串联移位。
完成这个定点原码⼀位乘法的运算规则可以⽤如下图所⽰的逻辑流程图表⽰。
在该乘法过程中，每次操作是根据乘数的⼀位进⾏操作，对于32位数的乘法，需要循环32次完成⼀个乘法操作，因此称为⼀位乘法。
booth算法乘法例题讲解例：⽤原码的乘法⽅法进⾏2×3的四位乘法。
解：在乘法开始之前，R0和R1中的初始值为0000和0011，R2中的值为0010。
在乘法的第⼀个循环中，判断R1的最低位为1，所以进⼊步骤1a，将R0的值加上R2的值，结果0010送⼈R0，然后进⼊第⼆步，将R0和R1右移⼀位，R0、Rl的结果为0001 0001，见下表的循环1，表中⿊体字的数据位是乘法过程中判断的R1最低位。
第⼆个循环过程中，判断R1的最低位为1，仍进⼊步骤la，加0010，结果为0011，然后在第⼆步中将R0和R1右移⼀位，结果为0001 1000，见下表的循环2。
第三次循环中，因R1的最低位为0，进⼊步骤lb，R0不变，第⼆步移位后结果为00001100，见下表的循环3。
第四次循环时，仍因R1最低位为0，只作移位，结果为00000110，这就是乘法的结果6，见下表的循环4。
4、原码两位乘法
原码两位乘与原码⼀位乘⼀样，符号位的运算和数值部分是分开进⾏的，但原码两位乘是⽤两位乘数的状态来决定新的部分积如何形成，因此可提⾼运算速度。
两位乘数共有4种状态，对应这4种状态可得下表。
表中倍被乘数可通过将被乘数左移⼀位实现，⽽3倍被乘数的获得可以分两步来完成，利⽤3=4-1，第⼀步先完成减1倍被乘数的操作，第⼆步完成加4倍被乘数的操作。⽽加4倍被乘数的操作实际上是由⽐“11”⾼的两位乘数代替完成的，可以看作是在⾼两位乘数上
加“1”。这个“1”可暂时存在Cj触发器中。机器完成置“1” Cj即意味着对⾼两位乘数加1，也即要求⾼两位乘数代替本两位乘
数“11”来完成加4倍被乘数的操作。
虽然两位乘法可提⾼乘法速度，但它仍基于重复相加和移位的思想，⽽且随着乘数位数的增加，重复次数增多，仍然影响乘法速度的进⼀步提⾼。采⽤并⾏阵列乘法器可⼤⼤提⾼乘法速度。
原码乘法实现⽐较容易，但由于机器都采⽤补码作加减运算，倘若做乘法前再将补码转换成原码，相乘之后⼜要将负积的原码变为补码形式，这样增添了许多操作步骤，反⽽使运算复杂。为此，有不少机器直接⽤补码相乘，机器⾥配置实现补码乘法的乘法器，避免了码制的转换，提⾼了机器效率。
5、补码⼀位乘法
⼀种⽐较好的带符号数乘法的⽅法是布斯(Booth)算法。它采⽤相加和相减的操作计算补码数据的乘积。
Booth算法对乘数从低位开始判断，根据两个数据位的情况决定进⾏加法、减法还是仅仅移位操作。
判断的两个数据位为当前位及其右边的位(初始时需要增加⼀个辅助位0)，移位操作是向右移动。
⽐如：
第⼀次判断被乘数0110中的最低位0以及右边的位(辅助位0)，得00；所以只进⾏移位操作；
第⼆次判断0110中的低两位，得10，所以作减法操作并移位，这个减法操作相当于减去2a的值；
第三次判断被乘数的中间两位，得11，于是只作移位操作；
第四次判断0110中的最⾼两位，得01，于是作加法操作和移位，这个加法相当于加上8a的值，因为a的值已经左移了三次。
⼀般⽽⾔，设y=y0,y1y2…yn为被乘数，x为乘数，yi是a中的第i位(当前位)。根据yj与yi+1的值，Booth算法表⽰如下表所⽰，其操作流程如下图所⽰。在Booth算法中，操作的⽅式取决于表达式(yi+1-yi)的值，这个表达式的值所代表的操作为：
0 ⽆操作
+1 加x
-1 减x
Booth算法操作表⽰
实现32位Booth乘法算法的流程图
乘法过程中，被乘数相对于乘积的左移操作可表⽰为乘以2，每次循环中的运算可表⽰为对于x(y(i+1)-yi)2^(31-i)项的加法运算
(i=31，30，…，1，0)。这样，Booth算法所计算的结果 可表⽰为：
例：⽤Booth算法计算2×(-3)。
解：[2]补=0010， [-3]补=1101，在乘法开始之前，R0和R1中的初始值为0000和1101，R2中的值为0010。
在乘法的第⼀个循环中，判断R1的最低位和辅助位为10，所以进⼊步骤1c，将R0的值减去R2的值，结果1110送⼈R0，然后进⼈第⼆步，将R0和Rl右移⼀位，R0和R1的结果为11110110，辅助位为1。
在第⼆个循环中，⾸先判断Rl的最低位和辅助位为01，所以进⼊步骤1b，作加法，R0+R2=1111+001
0，结果0001送⼊R0，这时R0R1的内容为0001 0110，在第⼆步右移后变为0000 1011，辅助位为0。
在第三次循环中，判断位为10，进⼊步骤lc，R0减去R2，结果1110送⼊R0，R1不变；步骤2移位后R0和R1的内容为1111 01011，辅助位为1。
第四次循环时，因两个判断位为11，所以不作加减运算，向右移位后的结果为1111 1010，这就是运算结果(-6)。
这个乘法的过程描述如下表所⽰，表中乘积⼀栏表⽰的是R0、R1的内容以及⼀个辅助位P，⿊体字表⽰对两个判断位的判断。
⽤Booth补码⼀位乘法计算2 ×(-3)的过程
6、补码两位乘
补码两位乘运算规则是根据补码⼀位乘的规则，把⽐较yiy(i+1)的状态应执⾏的操作和⽐较y(i-1)yi 的状态应执⾏的操作合并成⼀步，便可得出补码两位乘的运算⽅法。
补码两位乘法运算规则如下
由上表可见，操作中出现加2[x]补和加2[-x]补，故除右移两位的操作外，还有被乘数左移⼀位的操作；⽽加2[x]补和加2[-x]补，都可能因溢出⽽侵占双符号位，故部分积和被乘数采⽤三位符号位。
例：[x]补=0.0101，[y]补=1.0101 求： [x· y]补。
解：求解过程如下表所⽰。其中乘数取两位符号位即11.0101，[-x]补=1.1011取三符号位为111.1011。
故[x· y]补=1.11001001
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