开平方根


1. 开平方根
我们平时经常会有一些数据运算的操作，需要调用sqrt，exp，abs等函数，那么时候你有没有想过：这个些函数系统是如何实现的？就拿最常用的sqrt函数来说吧，系统怎么来实现这个经常调用的函数呢？
虽然有可能你平时没有想过这个问题，不过正所谓是“临阵磨，不快也光”，你“眉头一皱，计上心来”，这个不是太简单了嘛，用二分的方法，在一个区间中，每次拿中间数的平方来试验，如果大了，就再试左区间的中间数；如果小了，就再拿右区间的中间数来试。比如求sqrt(16)的结果，你先试（0+16）/2=8，8*8=64，64比16大，然后就向左移，试（0+8）/2=4，4*4=16刚好，你得到了正确的结果sqrt(16)=4。然后你三下五除二就把程序写出来了：
//用二分法
float SqrtByBisection(float n)
{
    //小于0的按照你需要的处理
    if(n < 0)
        return n;
    float mid,last;
    float low,up;
    low=0,up=n;
    mid=(low+up)/2;
    do
    {
        if(mid*mid>n)
            up=mid;
        else
            low=mid;
        last=mid;
        mid=(up+low)/2;
    }
    //精度控制
    while(abs(mid-last) > eps);
    return mid;
}
然后看看和系统函数性能和精度的差别（其中时间单位不是秒也不是毫秒，而是CPU Tick，不管单位是什么，统一了就有可比性）。二分法和系统的方法结果上完全相同，但是性能上整整差了几百倍。为什么会有这么大的区别呢？难道系统有什么更好的办法？难道。。。。哦，对了，回忆下我们曾经的高数课，曾经老师教过我们“牛顿迭代法快速寻平方根”，或者这种方法可以帮助我们，具体步骤如下。
求出根号a的近似值：首先随便猜一个近似值x，然后不断令x等于x和a/x的平均数，迭代个六七次后x的值就已经相当精确了。例如，我想求根号2等于多少。假如我猜测的结果为4，虽然错的离谱，但你可以看到使用牛顿迭代法后这个值很快就趋近于根号2了：
(      4  + 2/4        ) / 2 = 2.25
(    2.25 + 2/2.25    ) / 2 = 1.56944..
( 1.56944..+ 2/1.56944..) / 2 = 1.42189..
( 1.42189..+ 2/1.42189..) / 2 = 1.41423..
....
这种算法的原理很简单，我们仅仅是不断用(x,f(x))的切线来逼近方程x^2-a=0的根。根号a实际上就是x^2-a=0的一个正实根，这个函数的导数是2x。也就是说，函数上任一点(x,f(x))处的切线斜率是2x。那么，x-f(x)/(2x)就是一个比x更接近的近似值。代入 f(x)=x^2-a得到x-(x^2-a)/(2x)，也就是(x+a/x)/2。
相关的代码如下：
float SqrtByNewton(float x)
{
    // 最终
    float val = x;
    // 保存上一个计算的值
    float last;
    do
    {
        last = val;
        val =(val + x/val) / 2;
    }
    while(abs(val-last) > eps);
    return val;
}
牛顿迭代法性能提高了很多，可是和系统函数相比，还是有这么大差距，这是为什么呀？想啊想啊，想了很久仍然百思不得其解。突然有一天，我在网上看到一个神奇的方法，于是就有了今天的这篇文章，废话不多说，看代码先：
float InvSqrt(float x)
嵌入式系统是什么意思{
    float xhalf = 0.5f*x;
    int i = *(int*)&x; // get bits for floating VALUE
    i = 0x5f375a86- (i>>1); // gives initial guess y0
    x = *(float*)&i; // convert bits BACK to float
    x = x*(1.5f-xhalf*x*x); // Newton step, repeating increases accuracy

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