你应该知道的浮点数基础知识
本⽂从⼀个有趣⽽⼜令⼈意外的实验展开，介绍⼀些关于浮点数你应该知道的基础知识
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⼀个有趣的实验
本⽂从⼀个有趣⽽诡异的实验开始。最早这个例⼦博主是从中看到的。为了提⾼可读性，博主这⾥做了改写，简化成了以下两段代码：
#include <iostream>
#include <string>
using namespace std;
int main() {
const float x=1.1;
const float z=1.123;
float y=x;
for(int j=0;j<90000000;j++)
{
y*=x;
y/=z;
y+=0.1f;
y-=0.1f;
}
return 0;
}
#include <iostream>
#include <string>
using namespace std;
int main() {
const float x=1.1;
const float z=1.123;
float y=x;
for(int j=0;j<90000000;j++)
{
y*=x;
y/=z;
y+=0;
y-=0;
}
return 0;
}
上⾯两段代码的唯⼀差别就是第⼀段代码中y+=0.1f，⽽第⼆段代码中是y+=0。由于y会先加后减同样⼀个数值，照理说这两段代码的作⽤和效率应该是完全⼀样的，当然也是没有任何逻辑意义的。假设现在我告诉你：其中⼀段代码的效率要⽐另⼀段慢7倍。想必读者会认为⼀定
是y+=0.1f的那段慢，毕竟它和y+=0相⽐看上去要多⼀些运算。但是，实验结果，却出乎意料，y+=0的那段代码⽐y+=0.1f⾜⾜慢了7倍。{: } 。世界观被颠覆了有⽊有？博主是在⾃⼰的Macbook Pro上进⾏的测试，有兴趣的读者也可以在⾃⼰的笔记本上试试。（只要是⽀持SSE2指令集的CPU都会有相似的结果）。
shell> g++ code1.c -o test1
shell> g++ code2.c -o test2
shell> time ./test1
real    0m1.490s
user    0m1.483s
sys    0m0.003s
shell> time ./test2
real    0m9.895s
user    0m9.871s
sys    0m0.009s
当然中的投票最⾼的回答解释的⾮常好，但博主第⼀次看的时候是⼀头雾⽔，因为⼤部分基础知识已经还给⼤学⽼师了。所以，本着知其然还要知其所以然的态度，博主做了⼀个详尽的分析和思路整理过程。也希望读者能够从0开始解释这个诡异现象的原因。
复习浮点数的⼆进制转换
现在让我们复习⼤学计算机基础课程。如果你熟练掌握了浮点数向⼆进制表达式转换的⽅法，那么你可以跳过这节。
我们先来看下浮点数⼆进制表达的三个组成部分。
三个主要成分是：
Sign（1bit）：表⽰浮点数是正数还是负数。0表⽰正数，1表⽰负数
Exponent（8bits）：指数部分。类似于科学技术法中的M*10^N中的N，只不过这⾥是以2为底数⽽不是10。需要注意的是，这部分中是以2^7-1即127，也即01111111代表2^0，转换时需要根据127作偏移调整。
Mantissa（23bits）：基数部分。浮点数具体数值的实际表⽰。
下⾯我们来看个实际例⼦来解释下转换过程。
Step 1 改写整数部分
以数值5.2为例。先不考虑指数部分，我们先单纯的将⼗进制数改写成⼆进制。
整数部分很简单，5.即101.。
Step 2 改写⼩数部分
⼩数部分我们相当于拆成是2^-1⼀直到2^-N的和。例如：
0.2 = 0.125+0.0625+0.007825+0.00390625即2^-3+2^-4+2^-7+2^-8....，也即.00110011001100110011
Step 3 规格化
现在我们已经有了这么⼀串⼆进制101.00110011001100110011。然后我们要将它规格化，也叫Normalize。其实原理很简单就是保证⼩数点前只有⼀个bit。于是我们就得到了以下表⽰：1.0100110011001100110011 * 2^2。到此为⽌我们已经把改写⼯作完成，接下来就是要把bit填充到三个组成部分中去了。
Step 4 填充
指数部分（Exponent）：之前说过需要以127作为偏移量调整。因此2的2次⽅，指数部分偏移成2+127即129，表⽰成10000001填⼊。
整数部分（Mantissa）：除了简单的填⼊外，需要特别解释的地⽅是1.010011中的整数部分1在填充时被舍去了。因为规格化后的数值整部部分总是为1。那⼤家可能有疑问了，省略整数部分后岂不是1.010011和0.010011就混淆了么？其实并不会，如果你仔细看下后者：会发现他并不是⼀个规格化的⼆进制，可以改写成1.0011 * 2^-2。所以省略⼩数点前的⼀个bit不会造成任何两个浮点数的混淆。
具体填充后的结果见下图
练习：如果想考验⾃⼰是否充分理解这节内容的话，可以随便写⼀个浮点数尝试转换。通过可以验证答案。
什么是Denormalized Number
浮点数的基数什么意思了解完浮点数的表达以后，不难看出浮点数的精度和指数范围有很⼤关系。最低不能低过2^-7-1最⾼不能⾼过2^8-1（其中剔除了指数部分全0喝全1的特殊情况）。那么当我们要表⽰⼀个例如：1.00001111*2^-7这样的超⼩数值的时候就⽆法⽤规格化数值表⽰，只能⽤0来代替。那么，这样做有什么问题呢？最容易理解的⼀种副作⽤就是：当多次做低精度浮点数舍弃的时候，就会出现除数为0的exception，导致异常。
于是乎就出现了Denormalized Number（后称⾮规格化浮点）。他和规格浮点的区别在于，规格浮点约定⼩数点前⼀位默认是1。⽽⾮规格浮点约定⼩数点前⼀位可以为0，这样⼩数精度就相当于多了最多2^22范围。
但是，精度的提升是有代价的。由于CPU硬件只⽀持，或者默认对⼀个32bit的⼆进制使⽤规格化解码。因此需要⽀持32bit⾮规格数值的转码和计算的话，需要额外的编码标识，也就是需要额外的硬件或者软件层⾯的⽀持。以下是wiki上的两端摘抄，说明了⾮规格化计算的效率⾮常低。> ⼀般来说，由软件对⾮规格化浮点数进⾏处理将带来极⼤的性能损失，⽽由硬件处理的情况会稍好⼀些，但在多数现代处理器上这样的操作仍是缓慢的。极端情况下，规格化浮点数操作可能⽐硬件⽀持的⾮规格化浮点数操作快100倍。
For example when using NVIDIA's CUDA platform, on gaming cards, calculations with double precision take 3 to 24 times
longer to complete than calculations using single precision.
如果要解释为什么有如此⼤的性能损耗，那就要需要涉及电路设计了，超出了博主的知识范围。当然万能的wiki也是有的，有兴趣的读者可以⾃⾏查阅。
回到实验
总上⾯的分析中我们得出了以下结论：
浮点数表⽰范围有限，精度受限于指数和底数部分的长度，超过精度的⼩数部分将会被舍弃（underflow）
为了表⽰更⾼精度的浮点数，出现了⾮规格化浮点数，但是他的计算成本⾮常⾼。
于是我们就可以发现通过⼏⼗上百次的循环后，y中存放的数值⽆限接近于零。CPU将他表⽰为精度更⾼的⾮规格化浮点。⽽当y+0.1f时为了保留跟重要的底数部分，之后⽆限接近0（也即y之前存的数值）被舍弃，当y-0.1f后，y⼜退化为了规格化浮点数。并且之后的每
次y*x和y/z时，CPU都执⾏的是规划化浮点运算。
⽽当y+0，由于加上0值后的y仍然可以被表⽰为⾮规格化浮点，因此整个循环的四次运算中CPU都会使⽤⾮规格浮点计算，效率就⼤⼤降低了。
其他
当然，也有在程序内部也是有办法控制⾮规范化浮点的使⽤的。在相关程序的上下⽂中加上fesetenv(FE_DFL_DISABLE_SSE_DENORMS_ENV)；就可以迫使CPU放弃使⽤⾮规范化浮点计算，
提⾼性能。我们⽤这种办法修改上⾯实验中的代码后，y+=0的效率就和y+=0.1f就⼀样了。甚⾄还⽐y+=0.1f更快了些，世界观⼜端正了不是么:) 修改后的代码如下
#include <iostream>
#include <string>
#include <fenv.h>
using namespace std;
int main() {
fesetenv(FE_DFL_DISABLE_SSE_DENORMS_ENV);
const float x=1.1;
const float z=1.123;
float y=x;
for(int j=0;j<90000000;j++)
{
y*=x;
y/=z;
y+=0;
y-=0;
}
return 0;
}
Reference

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