从如何判断浮点数是否等于0说起——浮点数的机器级表⽰
题⽬中针对的0，对于浮点类型，具体指的是0.0，⾃然对于指针类型就是NULL，对于整型就是0，⼀些常见笔试⾯试题中常出现，不要较真，⼗分欢迎提出改进意见。
本⽂很⼤程度上收到林锐博⼠⼀些⽂章的启发，lz也是在⼤学期间读过，感觉收益良多，但是当时林锐也是说了结论，lz也只是知其然，⽽不知其所以然，为什么要那样写？为什么要这样⽤？往往⼀深究起来就稀⾥糊涂了，现在有幸还是继续读书，我发现了很多问题理解的还不透彻，亡⽺补牢。
⽐如：有int d;  int *d; bool d; double d；⼏个变量，经过⼀系列的计算之后，那么去判断这个四个变量是否等于0该怎么做？
很多菜鸟或者编程功底不扎实的就会出错，⼀些烂书，尤其国内的⼀部分⼤学教材，教授编程语⾔的书籍，⽐如谭xx的，都存在很多不规范的误导，甚⾄是错误，这样的地⽅简直太多了，并不是程序出了想要的正确结果，就算完事⼉了。
⼀些类似我这样的读过⼏本经典书籍，看过⼀些经典技术⼿册，码过若⼲⾏的代码等等，就会说这还不简单，会类似的写出：
1    void isZero(double d)
2    {
3        if (d >= -DBL_EPSILON && d <= DBL_EPSILON)
4        {
5            //d是0处理
6        }
7    }
8
9    void isZero(int d)
10    {浮点数的基数什么意思
11        if (0 == d)
12        {
13            //d是0处理
14        }
15    }
16
17    void isZero(int *d)
18    {
19        if (NULL == d)
20        {
21            //d是空指针处理
22        }
23    }
24
25    void isZero(bool d)
26    {
27        if (!d)
28        {
29            //d就认为是false 也就是0
30        }
31    }
没错，很多经典的教科书或者指南，⼀些技术类的讲义，都会这样教授。但是为什么要这样写？
可能⼀部分⼈就糊涂了，不知道咋回答，搞技术或者做学问不是诗词歌赋，结论经不起严谨的推敲就不能服众，不可以说，书上是这样写的，或者⽼师告诉我的，那样太low了。尤其是浮点数⽐较的问题，不只是0，类似的和其他的浮点数⽐较⼤⼩的问题也是⼀样的。
要解决这个疑惑，必须先理解计算机是如何表⽰和存储浮点数据的，期间参考了IEEE单双精度的规范⽂档，和MSDN的⼀些⽂档，以及《深⼊理解计算机操作系统》⼀书。
1、先看看双精度的伊布西龙（⾼等数学或者初等数学⾥的数学符号就是它，epsilon）的值是多少
printf("%.40lf", DBL_EPSILON);
折合为科学计数法：
2、再看⼀些例⼦
printf("%0.100f\n", 2.7);
printf("%0.100f\n", 0.2);
printf("%0.100f\n", sin(3.141592653589793 / 6));
这个计算结果不是0.5，⽽是：
printf("%0.100f\n", 0.0000001);
打印结果是：
这样的结果在不同机器或者编译器下，有可能不同，但是能说明⼀个问题，浮点数的⽐较，不能简单的使⽤==，⽽科学的做法是依靠EPISILON，这个⽐较⼩的正数（英⽂单词episilon的中⽂解释）。
EPSILON被规定为是最⼩误差，换句话说就是使得EPSILON+1.0不等于1.0的最⼩的正数，也就是如果正数d⼩于EPISILON，那么d和1.0相加，计算机就认为还是等于1.0，这个EPISILON是变和不变的临界值。
官⽅解释：
For EPSILON, you can use the constants FLT_EPSILON, which is defined for float as 1.192092896e-07F, or DBL_EPSILON, which is defined for double as 2.2204460492503131e-016. You need to include float.h for these constants. These constants are defined as the smallest positive number x, such that x+1.0 is not equal to 1.0. Because this is a very small number, you should employ user-defined tolerance for calculations involving very large numbers.
⼀般可以这样写，防⽌出错：
1    double dd = sin(3.141592653589793 / 6);
2    /*if (dd == 0.5)
3    {取决于不同的编译器或者机器平台……这样写，即使有时候是对的，但是就怕习惯，很容易出错。
4    }*/
5
6    if (fabs(dd - 0.5) < DBL_EPSILON)
7    {
8        //满⾜这个条件，我们就认为dd和0.5相等，否则不等
9        puts("ok");//打印了ok
10    }
为什么浮点数的表⽰是不精确的？（简单的分析，否则⾥⾯的东西太多了）
这得先说说IEEE（Institute of Electrical and Electronic Engineers ）754标准，此标准规定了标准浮点数的格式，⽬前，⼏乎所有计算机都⽀持该标准，这⼤⼤改善了科学应⽤程序的可移植性。下⾯看看
浮点数的表⽰格式：n是浮点数，s是符号位，m是尾数，e是阶数，回忆⾼中的指数表⽰。
IEEE标准754规定了三种浮点数格式：单精度、双精度、扩展精度。
前两者正好对应C、C++的float、double，其中，单精度是32位，S是符号位，占1位，E是阶码，占8位，M是尾数，占23位，双精度是64位，其中S占1位，E占11位，M占52位。拿intel架构下的32位机器说话，之前在说过处理器的两类存储⽅式，intel处理器是⼩端模式，为了简单说明，以单精度的20000.4为例⼦。
20000.4转换为单精度的2进制是多少？
此单精度浮点数是正数，那么尾数符号s=0，指数（阶数）e是8位，30到23位，尾数m（科学计数法的⼩数部分）23位长，22位到0位，共32位，如图
先看整数部分，20000先化为16进制（4e20）16，则⼆进制是（100 1110 0010 0000）2，⼀共15位。
再看⼩数部分，0.4化为⼆进制数，这⾥使⽤乘权值取整的计算⽅法，使⽤0.X循环乘2，每次取整数部分，但是我们发现，⽆论如何x2，都很难使得0.X为0.0，就相当于⼗进制的⽆限循环⼩数0.33333……⼀样，10进制数，⽆法精确的表达三分之⼀。也就是⼈们说的所谓的浮点数精度问题。因单精度浮点
数的尾数规定长23位，那现在乘下去，凑够24位为⽌，即再续9位是（1.011001100）2
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这⾥解释下为什么是1. ……  且尾数需要凑够24位，⽽不是23位？
尾数M，单精度23位、双精度52位，但只表⽰⼩数点之后的⼆进制位数，也就是假定M为 “” ，⼆进制是 “ . ” 。⽽IEEE标准规定，⼩数点左边还有⼀个隐含位，这个隐含位绝⼤多数情况下是1，当浮点数⾮常⾮常⾮常⼩的时候，⽐如⼩于 2^(-126) (单精度)的时候隐含位是0。这个尾数的隐含位等价于⼀位精度，于是M最后结果可能是"”或“”。也就是说尾数的这个隐含位占了⼀位精度！且尾数的隐含位这⼀位并不存放在内存⾥。
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则20000.4表⽰为⼆进制 = 100 1110 0010 0000 . 0110 0110 0
科学计数法为1.00 1110 0010 0000  0110 0110 0 x 2^14（此时尾数的隐含位是1，但是不放在内存）⼩数点左移了14位，单精度的阶码
按IEEE标准长度是8位，可以表⽰范围是-128 ~ 127，⼜因为指数可以为负的，为了便于表⽰和便于计算，那么IEEE的754标准就⼈为的规定，指数都先加上1023（双精度的阶码位数是11位，范围是-1024~1023）或者加上127。
那么单精度的浮点，阶码的⼗进制就是14+127=141，141的⼆进制=10001101，那么阶码就是10001101，符号位是0，合并为32位就是：0，10001101，00111000100000011001100
（1.00 1110 0010 0000  0110 0110 0尾数的⼩数点左边的1不存⼊内存）
简单的看，纵观整个过程，浮点数的表⽰在计算机⾥经常是不精确的！除⾮是0. ……5的情形。
因为乘不尽，且IEEE754标准规定了精度，实数由⼀个整数或定点数（即尾数）乘以某个基数（计算机中通常是2）的整数幂得到，这种表⽰⽅法类似于基数为10的科学记数法。
所以浮点数运算通常伴随着因为⽆法精确表⽰⽽进⾏的近似或舍⼊。但是这种设计的好处是可以在固定的长度上存储更⼤范围的数。
总之就是⼀句话：浮点数⽆法精确的表⽰所有⼆进制⼩数。好⽐：⽤10进制数不能精确表⽰某些三进制⼩数0.1(3)=0.33333333333……(10)，同理，⽤⼆进制⼩数也不能精确表⽰某些10进制⼩数。
有⼀个问题，为什么8位⼆进制的表达范围是-128到127？
必须知道：计算机⾥的⼀切数都是⽤补码来表⽰！⼤部分补码反码原码相关的知识在《计算机组成原理》课程都有讲授
我只说书上没有的，思考和复习了下，⼤概是这样的：
⼆进制直接表达0，有正0和负0的情况，⽐如原码的0000 0000和1000 0000。且计算机进⾏原码减法⽐较不爽。因为计算机⾥进位容易，借位⽐较复杂！具体怎么不爽这⾥不再考证。
那么最后⼈们决定使⽤补码来表达计算机⾥的⼀切数，这⾥不得不提⼀个概念——模：⼀个系统的计量范围，⽐如时钟的计量范围是12、 8位⼆进制数的计量范围是2^8.
对时钟：从中午12点调到下午3点，有两种⽅法，往前拨9个⼩时，或者往后拨3个⼩时，9+3=12，同理在计算机使⽤补码就是这个道理，可以使⽤补码代替原码，把减法化为加法。⽅便运算加减，且补码的0只有⼀种表达⽅式，⽐如四字节的补码（1000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000），可以规定为-0，也可以看成0x8000 0001 - 1的结果，因为补码没有正负0，那么⼈为规定是后者的含义！它就是四字节负数的最⼩的数。那么对⼀字节，如下：
+127=0111 1111（原码=反码=补码）
……
+1  = 0000 0001
0    = 0000 0000
……
-126= 1111 1110（原码）= 1000 0001（反码）=1000 0010（补码）
-127= 1111 1111（原码）= 1000 0000（反码）=1000 0001（补码），显然，还差⼀个数，1000 0000（补码），根据前⾯说的，它就是⼀字节负数最⼩的数了！
就是原码-128，针对补码1000 0000求原码，记住⽅法，和原码求补码是⼀样的，都是符号位不变，取反加1，则1000 0000（补码） = 1111 1111 + 1 = 1 1000 0000（原码），精度多了⼀位，则舍弃，为1000 0000（原码），和补码⼀样。
故取值范围是1000 0000到0000 0000到0111 1111，-128到0到+127，其他位数同理，有公式⽈：-2^(n-1)到+2^(n-1) - 1，其它可以套这个公式。
还有⼀个问题，浮点数⽤==⽐较怎么了？完全可以运⾏！
这个问题，其实已经呗讨论了很多年，浮点数的⽐较，千万不能钻⽜⾓尖，“我就⽤==⽐较，完全能运⾏啊！”，我靠，没⼈说这句代码是错的好么？
那么到低是对还是错的，关键还是看你想要什么？！你想要的结果和你所做的东西反映的结果，是不是保持了⼀致？！明⽩了这个，就明⽩==该不该⽤。
其实个⼈认为，林锐博⼠说的这是错误，感觉也不太准确，因为有钻⽜⾓尖的会想不通。
还有⼀个问题，了那么多，浮点数⽆法精确表达实数，那为啥epsilon的⼤⼩是那样的？
1 #define DBL_EPSILON      2.2204460492503131E-16
2 #define FLT_EPSILON    1.19209290E-07F
3 #define LDBL_EPSILON    1.084202172485504E-19
前⾯已经说了，数学上学的实数可以⽤数轴⽆穷尽的表⽰，但是计算机不⾏，在计算机中实数和浮点数还是不⼀样的，我个⼈理解。浮点数是属于有理数中某特定⼦集的数的数字表⽰，在计算机中⽤以近似表⽰任意某个实数。
在计算机中，整数和纯⼩数使⽤定点数表⽰，叫定点⼩数和定点正数，对混合有正数和⼩数的数，使⽤浮点数表⽰，所谓浮点，浮点数依靠⼩数点的浮动（因为有指数的存在）来动态表⽰实数。灵活扩⼤实数表达范围。但在计算过程中，难免丢失精度。
⾄于epsilon的⼤⼩，前⾯也贴出了官⽅定义，它就规定了，当x（假如x是双精度）落在了+- DBL_EPSILON之内，x + 1.0 = 1.0，就是这么规定的。x在此范围之内的话，都呗计算机认为是0.0 。
浮点数表达的有效位数（也就是俗称的精度）和表达范围不是⼀个意思
经常说什么单精度⼀般⼩数点精度是7-8位，双精度是15-16位，到低怎么来的呢？前⾯说了，单精度数尾数23位，加上默认的⼩数点前的1位1，2^(23+1) = 16777216。关键： 10^7 < 16777216 < 10^8，所以说单精度浮点数的有效位数是7-8位，这个7-8位说的是⼗进制下的，⽽我们前⾯说的尾数位数那是⼆进制下的，需要转换。
⼜看，双精度的尾数52位存储，2^(52+1) = 9007199254740992，那么有10^16 < 9007199254740992 < 10^17，所以双精度的有效位数是16-17位。
貌似实际编码中，⼤部分直接⽤double了，省的出错。
关键是要宏观的理解为什么不精确，具体怎么算倒是次要。总之应付笔试⾯试⾜够了。抛砖引⽟，如
有错误，欢迎指出。

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