IEEE754浮点数标准
IEEE 754 浮点数标准
本⽂是转载，阅读之后的补充如下，供⼤家参考：
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IEEE 754标准的主要起草者是加州⼤学伯克利分校数学系教授William Kahan，他帮Intel公司设计了8087浮点数处理器（FPU），并以此为基础形成了IEEE 754标准，Kahan教授也因此获得了1987年的图灵奖。⽬前，⼏乎所有计算机都采⽤IEEE 754标准表⽰浮点数。
在IEEE 754中，定义了两种浮点数格式：32位单精度和64位双精度。
IEEE 754浮点数格式
（单精度和双精度都有⼀个固定的1bit符号位，因此，浮点数不存在unsigned这个概念，都是有符号的）
IEEE 754 的规定：
32位单精度格式中包含1bit符号位s，8bit阶码e，23bit尾数f；
64位双精度格式中包含1bit符号位s，11bit阶码e和52bit尾数f；
基数隐含为2；（基数越⼤，浮点数能够表⽰的范围越⼤，但是精度越低，数变得更稀疏，选择2作为隐含的基数，就是为了精度，并通过双精度来提⾼表⽰范围）
尾数f⽤原码表⽰，第⼀位总是1，因⽽可在尾数中省略第⼀位的1，称为隐藏位，这样使得单精度格式的23bit尾数实际表⽰了24bit有效数字，双精度格式的52bit的尾数实际上表⽰了53bit有效数字。IEEE 754规定隐藏位1的位置在⼩数点之前。
阶码⽤移码表⽰，但偏置常数并不是通常n位移码所⽤的2^(n-1)，⽽是2^(n-1)-1；因此，单精度浮点数偏置常数为127，双精度浮点数偏置常数为1023。因为尾数f中有⼀位在⼩数点之前的1的隐藏位中，
所以，如果尾数换成⽤等值的纯⼩数表⽰的话，阶码就需要加1，相当于偏置常数为128和1024。这样做带来两个好处：
（1）尾数可表⽰的位数多了⼀位，因⽽使浮点数的精度更⾼；
（2）阶码的可表⽰范围更⼤，因⽽使浮点数范围更⼤。例如：对于单精度浮点数格式，其阶码为8位，当偏置常数⽤128时，最⼤机器码11111111对应的值是255-128=127，当偏置常数⽤127时，其对应的值为255-127=128。显然，偏置常数采⽤127时，阶码的范围更⼤。
推荐学习：
单精度浮点数（32位）的解释：
值的类型      符号      阶码      尾数      值
正零            0          0            0            0
负零            1          0            0            -0
正⽆穷⼤    0          255        0            ∞
负⽆穷⼤    1          255        0            -∞
⽆定义数    0/1      255        ≠0          NaN（Not a Number）
规格化
⾮零正数    0      0<e<255    f          2^(e-127)(1.f)
规格化
⾮零负数    1      0<e<255    f        -2^(e-127)(1.f)
⾮规格化
正数            0          0        f≠0      2^(-126)(0.f)
⾮规格化
负数              1          0      f≠0      -2^(-126)(0.f)
（阶码是0或255时，都表⽰特殊含义，因此最⼩阶码-126，加上偏置之后，是1。）
双精度浮点数（62位）的解释：
值的类型      符号      阶码      尾数      值
正零            0          0            0            0
负零            1          0            0            -0
正⽆穷⼤    0          2047        0            ∞
负⽆穷⼤    1          2047        0            -∞
⽆定义数    0/1      2047        ≠0          NaN（Not a Number）
规格化
⾮零正数    0      0<e<2047    f          2^(e-1023)(1.f)
规格化
⾮零负数    1      0<e<2047    f        -2^(e-1023)(1.f)
⾮规格化
正数            0          0        f≠0      2^(-1022)(0.f)
⾮规格化
浮点数的基数什么意思负数              1          0      f≠0      -2^(-1022)(0.f)
虽然零有+0和-0，⼀般情况下，两者是等效的。
浮点数的表⽰范围和⾮规划数：
从上⾯的知识可以看出，浮点数也是由范围的，双精度的范围⽐单精度呀⾼。
在计算机表⽰整数的概念⾥⾯，有⼀个溢出的概念，overflow。浮点数同样有益处的概念，不过浮点数的溢出稍微复杂⼀点，浮点数⼀共有4个溢出区域：正上溢，正下溢，负下溢，负上溢。
在IEEE 754标准中，⾮规格化数（⼩数点前固定是0）就是⽤来填补正下溢和负下溢这两个接近0的空间。
当计算结果⾮常⼩的时候，已经⼩于规格化数（⼩数点前固定是1）能够表⽰的最⼩值，这时的计算采
⽤“逐级下溢”的⽅式：
当运算结果的阶码太⼩，⽐最⼩能表⽰的阶码还⼩，即⼩于-126或⼩于-1022时，尾数右移，价码加1，如此循环直到尾数为0或阶码达到可表⽰的最⼩值（尾数不能为全0，实际看到的效果是，阶码是0，f不等于0，但是f⼀直在右移，左边0 的个数越来越多）。
浮点数的密度问题：
对于n为⼆进制编码，所能表⽰的不同的数据最多有2^n个，因此，浮点数虽然表⽰范围扩⼤了，但与定点数相⽐，并没有能够表⽰更多的数。实际上，只是这些数在数轴上朝正负两个⽅向在更⼤的范围内散开，在数轴上的分布变稀疏了。定点数分布是等距且紧密的，⽽浮点数分布是不等距且稀疏的，越远离原点越稀疏。
下⾯这段⽂字，很好的解释了浮点数的密度问题，以及⾮规格化数带来的范围变化：
浮点数的密度问题
双精度浮点数扩展：
IEEE 754规定，双精度扩展格式必须⾄少具有64位有效数字，并总共占⽤⾄少79位，但没有规定其具体的格式，处理器⼚家可以选择符合该规定的格式。
例如：Intel x86 FPU采⽤80位双精度扩展格式，包含4个字段：1个符号位，15位阶码（偏置常量为16383），⼀位显⽰⾸位有效位（explicit leading significant bit）和63位尾数。Intel采⽤的这种扩展浮点数格式与IEEE 754规定的格式有⼀个重要的区别，它没有隐藏位，有效位数共64位。Intel 安腾FPU采⽤82位扩展精度。
⼜如：SPARC和Power PC处理器中采⽤128位扩展双精度浮点数格式，包含⼀位符号位，15位阶码（偏置常量为16383），和112位尾数，采⽤隐藏位，所以有效位数为113位。
浮点数在C语⾔中的表⽰：
float表⽰单精度；
double表⽰双精度；
long double表⽰扩展双精度（长度和格式随编译器和处理器类型的不同⽽有所不同）。

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