导航卫星卷积码序列 ＭＡＰ 译码算法分析与改进
胡 毅１ 宋茂忠１，２
孟 斌２
１  南京航空航天大学电子信息工程学院 ，江 苏 南京 ，２１００１６ ２  中国航天科技集团公司卫星应用研究院 ，北 京 ，１０００８６
摘 要 ：在 对导航卫星卷积码序列应用 ＭＡＰ 算法译码时 ，计 算机会产生数值稳定性问题 ，输 出错误的译码误 码率 ，进 而对定位结果的有效性和定位精度产生重要影响。 针对该问题进行了具体分析 ，并 对算法进行了 改 进 ，给 出了一种基于最大状态度量的归一化 ＭＡＰ 译码 算 法 ，在 保 持 原 算 法 最 优 性 能 的 同 时 很 好 地 解 决 了 数 值稳定性问题。通过仿真进一步验证了这种改进算法的有效性。 关键词 ：导 航卫星卷积码 ；ＭＡＰ 译码算法 ；数 值稳定性 ；最 大状态度量 中图法分类号 ：Ｐ２２８〃４１
文献标志码 ：Ａ
卷积码是现代导航卫星广泛使用的一种差错
控制编码［１－４
］，如在 ＧＰＳ卫星现 代化中，Ｌ２Ｃ 信号 导航电文就使用限制长度为 ７、码 率为 １／２ 的 （２，
１，６
）前向纠错卷积 码［３－５
］。 其常规译码算法采用 的是 维 特 比 （Ｖｉｔｅｒｂｉ
）译 码，而 相 对 于 维 特 比 译 码，最 大 后 验 概 率 ＭＡＰ（ｍａｘｉｍｕｍ ａｐｏｓｔｅｒｉｏｒｉ
ｐｒｏｂａｂｉｌｉｔｙ
）译码则是一种性能最 优译码［６－７］。 但 另一 方 面，应 用 中 发 现，在对 较 长卷积码序列如
Ｌ２Ｃ 导航电文数据块（６００ｂｉｔ）应 用 ＭＡＰ 算法译
码时，会产生数值稳定性问题 ，进而对定位结果的
有效性和定位精度产生重要影响。对此给出了一 种改进的归 一 化 ＭＡＰ 译 码 算 法，很 好 地 解 决 了 该问题。
图 １  （２，１，３）
卷 积码编码器 （２，１，３）ＣｏｎｖｏｌｕｔｉｏｎａｌＣｏｄｅＥｎｃｏｄｅｒ Ｆｉｇ〃
１ ［７］： ｕｋ 的 ＭＡＰ 算法估计＾ｕｋ 为
∑ αｋ－１（ｐ）γｋ（ｐ，ｑ）βｋ（ｑ）燄 熿 Ｌ（ｕｋ）＝ｌｏｇ
（ｐ，ｑ）∈Ｓ１ （） １ ∑ αｋ－１（ｐ）γｋ（ｐ，ｑ）βｋ（ｑ） 燀（ｐ，ｑ）∈Ｓ
０
＾ｕｋ ＝
燅 １，Ｌ（ｕｋ）≥０
｛０，Ｌ（ｕｋ）＜０
（２
） ＭＡ
Ｐ 译码算法及其不足 １ 式中，ｐ、ｑ 分别为ｋ－１ 和 ｋ 时 刻 的 编 码 器 状 态， αｋ－１（ｐ）、β
ｋ（ｑ）和γｋ（ｐ，ｑ）分 别为前向和后向状态 度量及状态转移支路度量 ，其满足递推关系：
αｋ（ｑ）＝
为便于分析问题 ，给 出 １ 位输入 ２ 位输出，３
位移位寄存器的（２，１，３）前向纠错卷积码 ，如图 ∑α
ｋ－１
（ｐ）γｋ（ｐ，ｑ）
（３） １ 所 示。 图 中 ｕｋ 为 ｋ 时 刻 输 入 信 息 位，ｕｋ ∈
（ｐ，ｑ）∈Ｓ
｛
０，１｝，ｃｋ＝（ｃｋ （１）      （２）
，ｃｋ ）为 编码器对应的输出码字， ｋ（
ｐ）＝ γ
ｋ＋１
（ｐ，ｑ）β
ｋ＋１（ｑ） （４） （５
） ∑ （ｐ，ｑ
） β ｃ
（ｊ） ∈ ｛０，１｝，ｊ＝１，２。 假设编码器 输 出 序 列 为ｃ＝ （ｃ１，ｃ２，…，ｃＮ ）， ∈Ｓ ｋ γｋ（ｐ，ｑ）＝ Ｐｒ ｛ｕｋ ｝ｐ｛ｙｋ｜ｃｋ ｝
其中１≤ｋ≤Ｎ。上面的递推初始条件一般为 ： 对应的译码器接收序列为 ｙ＝（ｙ１，ｙ２，…，ｙＮ  ），ｙｋ
１，ｐ ＝０ １，ｑ ＝０ ＝（
ｙ
（１）      （２） ）。令编码器状态集为Ｓ，根据输入ｕｋ ｋ  ，ｙｋ ｛
｛
０，ｑ ≠０ ０（ ） ，βＮ （） （） ６ α ｐ  ＝ ｑ ＝ ０，ｐ ≠ ０ 的值可以 把 Ｓ 划 分 成Ｓ０  和Ｓ１  两
个 子 集，分 别 与 ｕｋ＝０和ｕｋ＝１ 相对应。 这样ｋ 时刻输入信息位
应用中发现，在对较长卷积码序列进行译 码
时，经 过多次状态转移后 ，αｋ （ｐ）、β
ｋ （ｑ）的 值就会 收稿日期 ：２０１３－０１－１５
项目来源  ：中国航天科技集团公司卫星应用研究院创新基金资助项目（２０１２１５１２）
。 第一作者 ：胡 毅 ，博 士生 ，现主要从事导航卫星信号处理方面的研究 。Ｅ－ｍａｉｌ：ｈｙ
ｓｔａｒｃｏｍ＠１６３〃ｃｏｍ
武 汉 大 学 学 报 · 信 息 科 学 版
２０１４年 ３月
２
６８ 变得越来越小，最后产生 溢出而变为 ０，从 而导致 式（１
）无法给出正确的判决结果 ，进而给出错误的 译码误码率。
表单大师升级容量
右边的数值会有所不同。
算法的改进及其应用性能分析
３ 算法数值不稳定性分析
２ 算法的改进
通过归一化，在不改变判决过程的情况下 ，可
使译码过程数值稳定 ，避免溢出的发生［
７
］。 ３〃１ 由于βｋ（ｑ）的分析过 程与αｋ （ｐ）类 似，因 此这
里只对αｋ（ｐ）
的情况进行分析 。 对于式 （３），令ｋ 时的状态转移为 （ｐ，ｑ）ｋ，同 时令γｋ＝γｋ（ｐ，ｑ）（１≤ｋ≤
Ｎ），则有： 归一 化 系 数 可 通 过
ｑ
α′ｋ（ｑ）＝ ｐ
β
′ｋ（ｐ） ∑ ∑ ＝１来获得［７］
，也 可 由α （ ）和β （
）的 最 大 ｋ－１  ｐ ｋ ｑ 来 确 定。 另 外，还 可 选 用 中 值 数 α ＝ ｅｘ ｐ
ｍｉｄ αｋ（ｐｋ）＝γ１γ２γ３ … ［
γ４γ５…γｋ－１γｋ  ］ ∑ ∑ ［８］
ｇ ｍａｘ）／２］
来 得 到 。 考 虑 到 计 算 的 ［（ｌｏｇα ｍｉｎ＋ｌｏα （ｐ，ｑ） （ ，） ４
∈Ｓ
ｐｑｋ
∈
Ｓ 简单性及减少舍入误差的影响 ，文中取状态度量
的最大值来得到归一化系数。令
（７
） 忽略前３项有限值，重点考虑后面的求和项 。令
αｋ－１ ＝ ｍａｘ｛αｋ－１（ｐ）｝，βｋ ＝ ｍａｘ｛ｋ（ｑ）｝ β …
［
γ４γ５…γｋ－１γｋ  ］ （８） Ｓｋ－３  ＝
∑
∑ ｐ∈Ｓ ｑ∈Ｓ 对于任一ｋ（１≤ｋ≤Ｎ）
下的所有可能状态，总 能 保证αｋ－１＞０，βｋ＞０。取 （ｐ，ｑ） （ ，） ４
∈Ｓ
ｐｑｋ
∈
Ｓ 并取γｔ＝ｍａｘ｛γ４，γ５，…，γｋ ｝，其 中 ４≤ｔ≤ｋ
，同 时 注意到（８）式每个求和项都有 ２支，分别与０、１输 入相对应，这样可得：
ｋ－１（ｐ） ｋ－１（ ）／ ｋ－１，βｋ（ｑ）＝βｋ（ｑ）／βｋ α′ α ′ ＝α ｐ 则根据式（１
）有： ｋ－
３
（９） Ｓｋ－３ ≤ （２γｔ ）
ｋ－１ ｋ（） α ｐ ｑ （α ） γｋ（ｐ，ｑ）β （β
） 熿
燄 ∑ 假设信道为无衰落零均值理想高斯白噪声信
道，即ｙｔ＝ｃｔ＋ｎｔ。
由 于 先 验 概 率 未 知，可 假 设 各 输入信息位等先验概率［８］
，从而有：
（ｐ，ｑ）∈Ｓ１java和golang优缺点
－１ ｋ （ ） Ｌ ｕｋ    ＝ｌｏｇ
＝ ｋ－１ β
ｋ（） α ｐ ｑ （
）γｋ（ｐ，ｑ）（ ）
∑ 燀（ｐ，ｑ）∈Ｓ０
燅 β
ｋ ｋ－１ γｔ ＝ｅｘｐ（－ ‖ｙｔ －ｃｔ‖２
／Ｎ０ ）
（１０
） 熿 ∑ α′ｋ－１（ｐ）γｋ（ｐ，ｑ）β′ｋ（ｑ）燄 式中，Ｎ０    为噪声功率谱密度。将ｎｔ  代入上式得： ２
（ｐ，ｑ）∈Ｓ１ （１４
） ｌｏｇ
（ ） （ ，） （） ∑
α′ｋ－１ ｐ γｋ ｐｑβ′ｋ ｑ 燅 ｎ（１） 烄  熿（ｔ ／ 槡Ｎ０／２） 燀 燄烌 γｔ ＝ｅｘｐ － １ （ｐ，ｑ）∈Ｓ （１１） ０
烅 烍
２ ２ 由于上面的处理过程是恒等变换 ，因 此不会
改变算法的最优性能。 据此可得改进后的 ＭＡＰ 译码算法的主要步骤为：
ｎ
（２） ＋ （ｔ ／ 槡Ｎ０／２）燅烎 烆 燀 由于ｎ（１）  （２） ｔ  、ｎｔ 相互独立且 ～Ｎ（０， ｎ
（ｉ）／ （ｔ 槡Ｎ０ ２） ／ １）分布，ｉ＝１，２，这样有： 初始化α０（ｐ）和βＮ （ｑ），并取ｋ＝
１； 步骤１ 步骤 ２ （１
） ２
（２
） ２
＝
＋
］～χ
２
（２） ２
χ
ｔ
（ ）及 式 （３） （ ）计 算 出 时 的γｋ （ ， ）、 １０ ～ ４ ｋ ｐ ｑ αｋ－１
（１２
） 将式（１２）代入式（１１），当 ２γｔ＜１，即 ２ｅｘｐ（－χｔ （ｐ）和βｋ
（）；２／ 分别计算出 ｐ 状态下的最大状态度
步骤３ ２）＜１时，
有： 量αｋ－１和ｑ 状态下的最大状态度量β２
（１３） ＞２ｌｎ２｝≈０〃５１，即 ＞２ｌｎ２ χｔ
将 得 到 的 αｋ－１ 和 βｋ 代 入 （１４）式 计 由χ （２）性质可知，Ｐｒ ｛χ
步骤４ ２ ２ 算出α′ｋ－１（ｐ）、β′ｋ（ｑ）及 Ｌ（ｕｋ ），然 后 再 按 照 式 （２） 进行译码判决；
步骤 ５ 令 ｋ＝ｋ＋１，重 复 上 面 的 步 骤 ２ 到
４，直到ｋ＝Ｎ。 ３〃２  改进算法导航电文译码性能分析 为考察算法的改进效果 ，对所给 （２，１，３）卷 积码进行了算法改进前后的 ＭｏｎｔｅＣａｒｌｏ仿真。 仿真条 件：采 用 等 先 验 概 率 ，信 号 采 用 ０→ －１、１→１映射 双极性信号，两 种 ＭＡＰ 算法中的
支路转移度量均按式（１０
）来计算。仿真按照接收 （１３）式会以很 大概率得到满足。 反之，由 式 （１３） 可得２γｔ＜１，且该结果不随ｋ 的变化而变化，这样 由式（９）和式（７）可 知，当输入码序列的长度越来 越大时，会 使αｋ （ｐｋ
）越 来 越 小，最 终 导 致 计 算 机 产生溢出而 变 为 ０。 同 时，由 式 （１０）～ 式 （１３）
可 知，２γｔ＜１ 成立的条件只与噪声 ‖ｎｔ‖２ 有关，
而 与信 号 无 关，这 样 当 信 号 有 衰 落 时，上 述 结 论 不
变。由此可知，在用 ＭＡＰ 算法译码时，
随 着码长 的增加，计算机就会产生数值稳 定性问题。 对于
其他卷积码也可以得到类似的结论 ，只 是式 （１３
）
第３９卷第３期胡毅等：导航卫星卷积码序列ＭＡＰ译码算法分析与改进２６９码序列信号ｙ有无衰落两种情况进行。为检验
算法的正确性，同时给出维特比软译码算法仿真
结果作为对比。
Ｅｂ
（Ｎ０）ｄＢ
号。在每个点，仿真２００次。由于导航电
文多普勒频移非常小，因此仿真中将其取为０。
图３（ａ）是在具有直达信号的莱斯平坦衰落
信道中ＭＡＰ改进算法译码结果，这是在室外或
具有较少遮挡物下的导航接收机典型工作场景。
从图中可以看出，随着直达信号与多径信号功率
比值Ｋ的增加，衰落对译码性能造成的影响得到
明显改善。
图３（ｂ）是在瑞利平坦衰落信道即没有直达
信号，并在不同码速率时改进的ＭＡＰ算法译码
结果，这是在室内或具有严重遮挡下的导航接收
机的工作场景。从图中可以看出，在信号有较大
衰落的情况下，改进的ＭＡＰ译码算法也能给出正
常的算法结果，但这时的误码率比无衰落时有明显
的增加，并且这种性能变差随着码速率Ｒ的增加
而恶化，这与接收机的实际工作特性相符。
信号无衰落时的算法性能仿真
３〃２〃１
这是一种理想情形，此时接收码序列可表示
为ｙｋ＝ｃｋ＋ｎｋ（ｋ＝１，２，…，Ｎ）。不同码序列长度
的译码仿真结果如图２所示，图中ＭＡＰ（Ｒ）表示
改进的归一化ＭＡＰ译码算法。仿真中编码器输java视频教程免费下载
入信号采用的是从ＧＰＳ软件接收机输出中提取
的Ｃ／Ａ码单子帧导航电文即３００ｂｉｔ数据信号，
和从中任意截取的２００个数据信号。在每个
Ｅｂ
（Ｎ０）ｄＢ点，（ａ）仿真１０００次，（ｂ）仿真６００次。
学python还是c++好
从图中可以看出，当码序列长度Ｎ较小时，
ＭＡＰ（Ｒ）和ＭＡＰ译码算法性能相同，如图２（ａ）
所示。但是，当输入码序列超过一定长度时，
ＭＡＰ算法由于溢出，输出了错误的译码误码率，
在仿真图中表现为一条误码率水平起伏或基本不
变的水平线，如图２（ｂ）所示。而此时ＭＡＰ（Ｒ）算
法由于采用了状态度量归一化，改变了数值变化
范围，因而仍能给出正确的算法结果。
信号有衰落时的算法性能仿真
３〃２〃２
此时接收码序列可表示为ｙｋ＝μｋｃｋ＋ｎｋ（ｋ＝
１，２，…，Ｎ），其中μｋ是ｋ时刻服从一定分布的信
号衰落复包络乘性系数，它直接反映了信号衰落
的程度，值越小，则衰落越大［９］。（ａ）对于莱斯图２无衰落时不同码序列长度的算法性能仿真
Ｆｉｇ〃２ＡｌｇｏｒｉｔｈｍＰｅｒｆｏｒｍａｎｃｅＳｉｍｕｌａｔｉｏｎｓｗｉｔｈ
ＤｉｆｆｅｒｅｎｔＣｏｄｅＬｅｎｇｔｈａｎｄｗｉｔｈｏｕｔＦａｄｉｎｇ
（Ｒｉｃｅ）平坦衰落信道，
μｋ可表示为
２
（ξ
ｋ
＋槡２Ｋ）＋δｋ２
，其中Ｋ为莱斯因数，常以ｄＢ
槡
２（Ｋ＋１）
为单位，ξｋ、δｋ相互独立且服从Ｎ（０，１）分布。
［
９］
（ｂ）对于具有多普勒频移的瑞利（Ｒａｙｌｅｉｇｈ）平坦
衰落信道，μｋ可表示其中ξｋ、δｋ可
下式近似得到［９］：
Ｍ
２
ｃｏｓ（ωｄｋｃｏｓαｎ＋φｎ）
槡Ｍｎ∑＝１
ξｋ＝
（１５）图３信号有衰落时的算法性能仿真
Ｍ
２
ｃｏｓ（ωｄｋｃｏｓαｎ＋φｎ）Ｆｉｇ〃３ＡｌｇｏｒｉｔｈｍＰｅｒｆｏｒｍａｎｃｅＳｉｍｕｌａｔｉｏｎｓ
ｗｉｔｈＳｉｇｎａｌＦａｄｉｎｇ
槡Ｍｎ∑＝１
ξｋ＝
式中，ωｄ为最大多普勒频移，αｎ
＝２πｆｄ＝
２πｎ－π＋θｎ，ｎ
＝１，２，…，Ｍ，θ和φｎ服从
ｎ
、φ
ｎ结语
４Ｍ４
［－π，π）上的均匀分布且相互统计独立，Ｍ为所
用正弦波数目。
两种衰落信道下的译码仿真结果如图３所
示。仿真中输入信号采用的是从软件接收机获取
的Ｃ／Ａ码一帧完整导航电文即１５００ｂｉｔ数据信
本文针对导航卫星卷积码序列ＭＡＰ译码算
法的不足进行了具体分析，并给出了一种改进的
归一化ＭＡＰ译码算法，同时对改进后的算法进
行了不同码长和不同信道条件下的译码性能仿
武汉大学学报·信息科学版２０１４年３月２７０
真。结果表明，改进后的ＭＡＰ译码算法对于不同情况下的卷积码序列都能保证数值稳定性，给出正确的算法结果，因而更适合于导航卫星卷积码ＭＡＰ译码的实际应用。
参考文献
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ＳａｔｅｌｌｉｔｅＣｏｎｖｏｌｕｔｉｏｎａｌＣｏｄｅｓＤｅｃｏｄｉｎｇ
ＨＵＹｉ１ＳＯＮＧＭａｏｚｈｏｎｇ１，２ＭＥＮＧＢｉｎ２
ＣｏｌｌｅｇｅｏｆＥｌｅｃｔｒｏｎｉｃＩｎｆｏｒｍａｔｉｏｎＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，ＮａｎｊｉｎｇＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙｏｆＡｅｒｏｎａｕｔｉｃｓ＆Ａｓｔｒｏｎａｕｔｉｃｓ，Ｎａｎｊｉｎｇ２１００１６，Ｃｈｉｎａ１
ＴｈｅＡｃａｄｅｍｙｏｆＳａｔｅｌｌｉｔｅＡｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ，ＣｈｉｎａＡｅｒｏｓｐａｃｅＳｃｉｅｎｃｅａｎｄＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙＣｏｒｐｏｒａｔｉｏｎ，Ｂｅｉｊｉｎｇ１０００８６，Ｃｈｉｎａ２position和location的区别
Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｃｏｍｐｕｔｅｒｓｍａｙｅｎｃｏｕｎｔｅｒｔｈｅｐｒｏｂｌｅｍｏｆｎｕｍｅｒｉｃａｌｉｎｓｔａｂｉｌｉｔｙａｎｄｏｕｔｐｕｔａｗｒｏｎｇｂｉｔｅｒｒｏｒ
authorizeattribute validatetoken
ｒａｔｅ（ＢＥＲ）ｗｈｅｎｄｅｃｏｄｉｎｇｎａｖｉｇａｔｉｏｎｓａｔｅｌｌｉｔｅｃｏｎｖｏｌｕｔｉｏｎａｌｃｏｄｅｓｗｉｔｈｔｈｅｍａｘｉｍｕｍａｐｏｓｔｅｒｉｏｒｉｐｒｏｂａｂｉｌｉｔｙ（ＭＡＰ）ａｌｇｏｒｉｔｈｍ〃Ｓｕｂｓｅｑｕｅｎｔｌｙ，ｔｈｉｓｗｉｌｌａｆｆｅｃｔｔｈｅｖａｌｉｄｉｔｙａｎｄｔｈｅａｃｃｕｒａｃｙｏｆｔｈｅｐｏｓｉ－ｔｉｏｎｉｎｇｒｅｓｕｌｔｓ〃Ｔｏａｄｄｒｅｓｓｔｈｉｓｐｒｏｂｌｅｍ，ｆｉｒｓｔａｄｅｔａｉｌｅｄａｎａｌｙｓｉｓｗａｓｅｘｅｃｕｔｅｄ〃Ｂａｓｅｄｏｎｔｈｉｓａｎａｌｙ－ｓｉｓ，ａｎｉｍｐｒｏｖｅｄＭＡＰａｌｇｏｒｉｔｈｍｎｏｒｍａｌｉｚｅｄｗｉｔｈｔｈｅｍａｘｉｍｕｍ
ｓｔａｔｅｍｅｔｒｉｃｉｓｐｒｏｐｏｓｅｄ，ｔｈｕｓｔｈｅｑｕｅｓｔｉｏｎｏｆｎｕｍｅｒｉｃａｌｉｎｓｔａｂｉｌｉｔｙｃａｎｂｅｓｏｌｖｅｄｗｈｉｌｅｓｔｉｌｌｍａｉｎｔａｉｎｉｎｇｔｈｅｏｒｉｇｉｎａｌａｌｇｏｒｉｔｈｍ’ｓｏｐｔｉｍａｌｐｅｒｆｏｒｍａｎｃｅ〃Ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎｓｆｕｒｔｈｅｒｖａｌｉｄａｔｅｔｈｅｅｆｆｅｃｔｉｖｅｎｅｓｓｏｆｔｈｉｓａｌｇｏｒｉｔｈｍ’ｓｉｍｐｒｏｖｅｍｅｎｔ〃Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｎａｖｉｇａｔｉｏｎｓａｔｅｌｌｉｔｅｃｏｎｖｏｌｕｔｉｏｎａｌｃｏｄｅｓ；ＭＡＰｄｅｃｏｄｉｎｇａｌｇｏｒｉｔｈｍ；ｎｕｍｅｒｉｃａｌｓｔａｂｉｌｉｔｙ；ｍａｘｉｍｕｍｓｔａｔｅｍｅｔｒｉｃ
Ｆｉｒｓｔａｕｔｈｏｒ：ＨＵＹｉ，ＰｈＤｃａｎｄｉｄａｔｅ，ｓｐｅｃｉａｌｉｚｅｓｉｎｎａｖｉｇａｔｉｏｎｓａｔｅｌｌｉｔｅｓｉｇｎａｌｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇ〃Ｅ－ｍａｉｌ：ｈｙｓｔａｒｃｏｍ＠１６３〃ｃｏｍ
Ｆｏｕｎｄａｔｉｏｎｓｕｐｐｏｒｔ：ＴｈｅＯｐｅｎＲｅｓｅａｒｃｈＦｕｎｄｏｆｔｈｅＡｃａｄｅｍｙｏｆＳａｔｅｌｌｉｔｅＡｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ，Ｎｏ〃２０１２１５１２〃

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