高考数学-对数函数图像和性质及经典例题
对数函数图像和性质及经典例题 第一部分：回顾基础知识点
对数函数的概念：函数0(log >=a x y a ，且)1≠a 叫做对数函数其中x 是自变量，函数的定义域是（0，+∞）． 对数函数的图象和性质
○
1 在同一坐标系中画出下列对数函数的图象； （1） x y 2log = （2） x y 2
1log =
（3） x y 3log = （4） x y 3
1log =
○
2 对数函数的性质如下：
图象特征
函数性质
1a >
1a 0<< 1a > 1a 0<<
函数图象都在y 轴右侧 函数的定义域为（0，＋∞） 图象关于原点和y 轴不对称 非奇非偶函数 向y 轴正负方向无限延伸 函数的值域为R
函数图象都过定点（1，1） 11=α
自左向右看， 图象逐渐上升
自左向右看， 图象逐渐下降 增函数 减函数
第一象限的图象纵坐标都大于0
第一象限的图象纵坐标都大于0 0log ,1>>x x a
0log ,10><<="" p="" x="">
第二象限的图象纵坐标都小于0
第二象限的图象纵坐标都小于0
0log ,10<<<="" p="" x="">
0log ,1<>x x a
○
3 底数a 是如何影响函数x y a
log =的．
规律：在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大．
第二部分：对数函数图像及性质应用
例1．如图，A ，B ，C 为函数x y 2
1log =的图象上的三点，它们的横坐标分别是t , t +2, t +4(t ≥1).
(1)设?ABC 的面积为S 。求S=f (t ) ； (2)判断函数S=f (t )的单调性； (3) 求S=f (t)的最大值
.
解：（1）过A,B,C,分别作AA 1,BB 1,CC 1垂直于x 轴，垂足为A 1,B 1,C 1， 则S=S 梯形AA 1B 1B +S 梯形BB 1C 1C －S 梯形AA 1C 1C .
)44
1(log )2(4log 2
3223
1t t t t t ++=++= （2）因为v =t t 42+在),1[+∞上是增函数,且v ≥5,
[)∞++=.541在v v 上是减函数，且1
S ??
=59,1log 3在u 上是增函数，
所以复合函数S=f (t ) [)+∞++
=,1)44
1(log 2
对数函数图像及性质3在t
t 上是减函数 （3）由（2）知t =1时，S 有最大值，最大值是f (1) 5log 25
9
log 33
-== 例2．已知函数f(x 2
-3)=lg 6
22
-x x ,
(1)f(x)的定义域； (2)判断f(x)的奇偶性； (3)求f(x)的反函数; (4)若f[)(x φ]=lgx,求
)3(φ的值。
解：（1）∵f(x 2
-3)=lg 3
)3(3
)3(22--+-x x ,
∴f(x)=lg
3
3
-+x x , 又由06
2
2
>-x x 得x 2-3>3,
∴ f(x)的定义域为（3，+∞）。 （2）∵f(x)的定义域不关于原点对称， ∴ f(x)为非奇非偶函数。 （3）由y=lg
,3
3
-+x x 得x=1
10)
110(3-+y
y , Θx>3,解得y>0,
∴f -1
(x)=)0(1
10)
110(3>-+x x
x (4) ∵f[)3(φ]=lg
3lg 3
)3(3
)3(=-+φφ,
∴
33
)3(3
)3(=-+φφ，
解得φ(3)=6。
例3.已知x>0,y ≥0,且x+2y=
21
,求g=log 2
1(8xy+4y 2+1)的最小值。 解：由已知x=21
-2y>0,
41
0<≤∴y ,
由g=log 2
1
(8xy+4y 2+1)
=log 2
1
(-12y 2+4y+1)
=log 21
[-12(y-61)2+34],
∴当y=61,g 的最小值为log 2
134
例4. 已知函数()log (1)x
a f x a =-（0a >且1a ≠）．
求证：（1）函数()f x 的图象在y 轴的一侧；

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