指数函数、对数函数、幂函数的图像与性质
（一）指数与指数函数
1．根式
（1）根式的概念
根式的概念
符号表示
备注
如果,那么叫做的次方根
当为奇数时,正数的次方根是一个正数,负数的次方根是一个负数
零的次方根是零
当为偶数时,正数的次方根有两个,它们互为相反数
负数没有偶次方根
n为奇数
n为偶数
（2）．两个重要公式
①              ；
②（注意必须使有意义）。
2．有理数指数幂
（1）幂的有关概念
①正数的正分数指数幂:;
②正数的负分数指数幂:
③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义.
注：分数指数幂与根式可以互化，通常利用分数指数幂进行根式的运算。
（2）有理数指数幂的性质
①aras=ar+s(a>0,r、s∈Q);
②(ar)s=ars(a>0,r、s∈Q);
③(ab)r=arbs(a>0,b>0,r∈Q);.
3．指数函数的图象与性质
y=ax
a>1
0<a<1
图象
定义域
R
值域
（0，+）
性质
（1）过定点（0，1）
（2）当x>0时，y>1;
x<0时,0<y<1
(2) 当x>0时，0<y<1;
x<0时, y>1
(3)在（-，+）上是增函数
（3）在（-，+）上是减函数
注：如图所示，是指数函数（1）y=ax,（2）y=bx,（3）,y=cx（4）,y=dx的图象，如何确定底数a,b,c,d与1之间的大小关系？
提示：在图中作直线x=1，与它们图象交点的纵坐标即为它们各自底数的值，即c1>d1>1>a1>b1,∴c>d>1>a>b。即无论在轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大。
（二）对数与对数函数
1、对数的概念
（1）对数的定义
如果，那么数叫做以为底，的对数，记作，其中叫做对数的底数，叫做真数。
（2）几种常见对数
对数形式
特点
记法
一般对数
底数为
常用对数
底数为10
自然对数
底数为e
2、对数的性质与运算法则
（1）对数的性质（）：①，②，③，④。
（2）对数的重要公式：
①换底公式：；
②。
（3）对数的运算法则：
如果，那么
①；
②；
③；
④。
3、对数函数的图象与性质
图象
性质
（1）定义域：（0,+）
（2）值域：R
（3）当x=1时，y=0即过定点（1，0）
（4）当时，；
当时，
（4）当时，；
当时，
（5）在（0,+）上为增函数
（5）在（0,+）上为减函数
注：确定图中各函数的底数a，b，c，d与1的大小关系
提示：作一直线y=1，该直线与四个函数图象交点的横坐标即为它们相应的底数。
∴0<c<d<1<a<b.
4、反函数
指数函数y=ax与对数函数y=logax互为反函数，它们的图象关于直线y=x对称。
（三）幂函数
1、幂函数的定义
形如y=xα（a∈R）的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数
注：幂函数与指数函数有本质区别在于自变量的位置不同，幂函数的自变量在底数位置，而指数函数的自变量在指数位置。
2、幂函数的图象
注：在上图第一象限中如何确定y=x3，y=x2，y=x，，y=x-1方法：可画出x=x0；
当x0>1时，按交点的高低，从高到低依次为y=x3，y=x2， y=x，， y=x-1；
当0<x0<1时，按交点的高低，从高到低依次为y=x-1， ，y=x， y=x2，y=x3 。
3、幂函数的性质
y=x
y=x2
y=x3
y=x-1
定义域
R
R
R
[0，）
值域
R
[0，）
R
[0，）
奇偶性
奇
偶
奇
非奇非偶
奇
单调性
增
x∈[0，）时，增；
x∈时，减
增
增
x∈(0,+)时，减；
x∈(-,0)时，减
定点
（1，1）
三：例题诠释，举一反三
知识点1：指数幂的化简与求值
例1.(2007育才A)
（1）计算：；
（2）化简：
变式：（2007执信A）化简下列各式（其中各字母均为正数）:
（1）
（2）
(3)
知识点2：指数函数的图象及应用
例2.(2009广附A)已知实数a、b满足等式，下列五个关系式： ①0＜b＜a;②a＜b＜0;③0＜a＜b;④b＜a＜0;⑤a=b. 其中不可能成立的关系式有          （  ）
A.1个            B.2个            C.3个                D.4个
变式：（2010华附A）若直线与函数且的图象有两个公共点，则a的取值范围是_______.
知识点3：指数函数的性质
例3.（2010省实B）已知定义域为的函数是奇函数。
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）判断函数的单调性;
（Ⅲ）若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围．
变式：（2010东莞B）设a＞0,f(x)=是R上的偶函数.
（1）求a的值；
（2）求证：f(x)在（0，+∞）上是增函数.
知识点4：对数式的化简与求值
例4.（2010云浮A）计算：（1）
（2）2(lg)2+lg·lg5+;
（3）lg-lg+lg. 
变式：（2010惠州A）化简求值.
（1）log2+log212-log242-1;
（2）(lg2)2+lg2·lg50+lg25;
（3）(log32+log92)·(log43+log83).
知识点5：对数函数的性质
例5.（2011深圳A）对于，给出下列四个不等式：
①  ②；
③              ④    其中成立的是（  ）
（A）①与③（B）①与④（C）②与③（D）②与④
变式：（2011韶关A）已知0＜a＜1,b＞1,ab＞1，则loga的大小关系是  （  ）
A.loga                                                B.
C.                          D.
例6.（2010广州B）对数函数图像及性质已知函数f(x)=logax(a＞0,a≠1)，如果对于任意x∈［3，+∞）都有|f(x)|≥1成立，试求a的取值范围.
变式：（2010广雅B）已知函数f（x）=log2(x2-ax-a)在区间（-∞, 1-］上是单调递减函数.求实数a的取值范围.
知识点6：幂函数的图象及应用
例7.(2009佛山B)已知点在幂函数的图象上，点，在幂函数的图象上．问当x为何值时有：（１）；（２）；（３）．

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