对数函数图像及性质知识
（一）指数与指数函数
1．根式
（ 1）根式的概念
（ 2）．两个重要公式
a
n 为奇数
① n  a n
a( a    0)
；
| a |
0)
n 为偶数
a(a
② (n  a ) n    a （注意 a 必须使 n    a 有意义）。    2．有理数指数幂              （ 1）幂的有关概念
m
①正数的正分数指数幂
:  n  n  m  ( 0,  、
，且
1);
a
a  a  m  n  N
n
m
1  1
②正数的负分数指数幂
:
a n
0, m 、 n
N , 且n  1)
m
(a
a n
n
a m
③0 的正分数指数幂等于    0,0 的负分数指数幂没有意义  .
注： 分数指数幂与根式可以互化，通常利用分数指数幂进行根式的运算。
（ 2）有理数指数幂的性质
① a r a s =a r+s (a>0,r 、 s ∈ Q);
② (a r )s =a rs (a>0,r 、s ∈ Q);
③ (ab)r =a r b s (a>0,b>0,r ∈ Q);. 3．指数函数的图象与性质
y=a x
a>1 0<a<1
图象
定义域R
值域（0，+  ）
性质（ 1）过定点（  0， 1）
（ 2）当 x>0 时， y>1;(2)  当 x>0 时， 0<y<1;
x<0 时 ,0<y<1x<0 时, y>1
(3) 在（ -  ，+）上是增函数（ 3）在（ -， +）上是减函数
注：如图所示，是指数函数（1） y=a x,（2） y=b x,（ 3）,y=c x（ 4） ,y=d x的图象，如何确
定底数  a,b,c,d 与 1 之间的大小关系？
提示：在图中作直线x=1 ，与它们图象交点的纵坐标即为它们各自底数的值，即
c1>d1>1>a1>b1,∴ c>d>1>a>b 。即无论在轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大。
（二）对数与对数函数
1、对数的概念
（1）对数的定义
如果a x N (a0且 a1) ，那么数  x 叫做以 a 为底，N的对数，记作x  log a N，其中 a 叫做对数的底数，N 叫做真数。
（2）几种常见对数
对数形式特点记法
一般对数
底数为 a a0，且a  1log a N
常用对数底数为  10
lg N
自然对数底数为  e ln N
2、对数的性质与运算法则
（1）对数的性质（a  0，且a  1）：① log a10，② log a a1，③a log a N N ，④log a a N N 。（2）对数的重要公式：
N
①换底公式：  log b
N
log
a b
(a,b 均为大于零且不等于 1,N
0) ；
log a
② log  a  b
1 。
log b  a
（3）对数的运算法则：
如果 a  0，且a    1 ， M
0, N  0 那么
①
log a  (MN )  log a  M
log a  N ；
② log a  M
log a  M  log a  N ；
N
③ log a  M n  nlog a  M ( n
R) ；
④ log a  m  b n
n
log a  b 。
m
3、对数函数的图象与性质
a  1
0  a  1
图  象
性
（ 1）定义域：（0,+
）
质
（ 2）值域： R
（ 3）当 x=1 时， y=0 即过定点（  1，0）
（ 4）当 0  x  1时， y  (
,0) ； （ 4）当 x    1 时， y  ( ,0) ； 当 x  1 时， y  (0,
)
当 0  x
1时， y
(0,
)
（ 5）在（ 0,+
）上为增函数
（ 5）在（ 0,+  ）上为减函数
注：确定图中各函数的底数
a ，
b ，
c ，
d 与 1 的大小关系
提示：作一直线  y=1，该直线与四个函数图象交点的横坐标即为它们相应的底数。
∴ 0<c<d<1<a<b. 4、反函数
指数函数  y=a x与对数函数  y=log a
y=x 对称。
x 互为反函数，它们的图象关于直线
（三）幂函数
1、幂函数的定义
形如 y=x α（ a∈R）的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α为常数
注：幂函数与指数函数有本质区别在于自变量的位置不同，幂函数的自变量在底数位置，而指数函数的自变量在指数位置。
2、幂函数的图象
1
注：在上图第一象限中如何确定y=x 3， y=x 2，y=x ，y  x2， y=x -1方法：可画出  x=x 0；
1
当 x0>1 时，按交点的高低，从高到低依次为y=x 3， y=x 2，  y=x ，y x2，y=x-1；
1
当 0<x 0<1 时，按交点的高低，从高到低依次为y=x -1，y x 2，y=x ，  y=x2， y=x 3。
3、幂函数的性质
y=xy=x 2y=x 31y=x -1
y x2
定义域R R R[0，）
R且 x0
x | x
值域R[0，）R[0，）R且
y0
y | y
奇偶性奇偶奇非奇非偶奇
单调性增x∈ [0，）时，增；增增x∈ (0,+)时，减；
x∈ (-,0) 时，减
x∈(,0]时，减
定点（1，1）
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