4.2.3 对数函数的性质与图像(一)
[合格基础练]
一、选择题
1．若某对数函数的图像过点(4,2)，则该对数函数的解析式为( )
A．y＝log2x B．y＝2log4x
C．y＝log2x或y＝2log4x D．不确定
2．函数f(x)＝的定义域是( )
A．[4，＋∞) B．(10，＋∞)
C．(4,10)∪(10，＋∞) D．[4,10)∪(10，＋∞)
3．函数f(x)＝log2(3x＋1)的值域为( )
A．(0，＋∞) B．[0，＋∞)
C．(1，＋∞) D．[1，＋∞)
4．函数y＝lg(x＋1)的图像大致是( )
A B C D
5．设a＝log3，b＝log5，c＝log7，则( )
A．c>b>a B．b>c>a
C．a>c>b D．a>b>c
二、填空题
6．函数f(x)＝loga(x＋3)＋(a>0，a≠1)的图像恒过定点P，且点P在函数y＝bx(b>0，b≠1)上，则b＝________.
7．如果函数f(x)＝(3－a)x，g(x)＝logax的增减性相同，则a的取值范围是________．
8．已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在[0，＋∞)上为增函数，f＝0，则不等式f(logx)＞0的解集为________．
三、解答题
9．已知函数f(x)＝loga(a>0，且a≠1)．
(1)求f(x)的定义域；
(2)判断函数的奇偶性．
10．设函数f(x)＝(log2x＋log24)(log2x＋log22)的定义域为.
(1)若t＝log2x，求t的取值范围；
(2)求y＝f(x)的最大值与最小值，并求出取最值时对应的x的值．
[等级过关练]
1.已知函数f(x)＝loga(2x＋b－1)(a>0，a≠1)的图像如图所示，则a，b满足的关系是( )
A．0<a－1<b<1
B．0<b<a－1<1
C．0<b－1<a<1
D．0<a－1<b－1<1
2．若函数f(x)＝对数函数图像及性质ax＋loga(x＋1)在[0,1]上的最大值和最小值之和为a，则a的值为( )
A. B. C．2 D．4
3．函数f(x)＝logax(a＞0且a≠1)在[2,3]上的最大值为1，则a＝________.
4．设函数f(x)＝若函数f(x)在(a，a＋1)上递增，则a的取值范围是
__________．
5．已知函数f(x)＝lg(ax2＋2x＋1)．
(1)若f(x)的定义域为R，求实数a的取值范围；
(2)若f(x)的值域为R，求实数a的取值范围．
【参考答案】
[合格基础练]
一、选择题
1．A [由对数函数的概念可设该函数的解析式为y＝logax，则loga4＝2，解得a＝2.故所求解析式为y＝log2x.]
2．D [由解得∴x≥4且x≠10，
∴函数f(x)的定义域为[4,10)∪(10，＋∞)．故选D.]
3．A [∵3x＞0，∴3x＋1＞1.∴log2(3x＋1)＞0.
∴函数f(x)的值域为(0，＋∞)．]
4．C [由底数大于1可排除A、B，y＝lg(x＋1)可看作是y＝lg x的图像向左平移1个单位．(或令x＝0得y＝0，而且函数为增函数)]
5．D [因为log3＝log32－1，log5＝log52－1，
log7＝log72－1，log32>log52>log72，故a>b>c.]
二、填空题
6． [f(x)＝loga(x＋3)＋恒过定点P，所以b－2＝，解得b＝.]
7．(1,2) [若f(x)，g(x)均为增函数，则即1＜a＜2.
若f(x)，g(x)均为减函数，则无解．]
8．∪(2，＋∞) [∵f(x)是R上的偶函数，∴它的图像关于y轴对称．
∵f(x)在[0，＋∞)上为增函数，∴f(x)在(－∞，0]上为减函数，做出函数图像如图所示．
由f＝0，得f＝0.
∴f(logx)＞0⇒logx＜－或logx＞⇒x＞2或0＜x＜，
∴x∈∪(2，＋∞)．]
三、解答题
9．[解] (1)要使函数有意义，则有>0，
即或解得x>1或x<－1，
此函数的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)，关于原点对称．
(2)f(－x)＝loga＝loga＝－loga＝－f(x)．
∴f(x)为奇函数．
10．[解] (1)∵t＝log2x为单调递增函数，而x∈，
∴t的取值范围为，即t∈[－2,2]．
(2)记t＝log2x，则y＝f(x)＝(log2x＋2)(log2x＋1)＝(t＋2)(t＋1)(－2≤t≤2)．
∵y＝2－在上是减函数，在上是增函数，
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