第6讲　对数与对数函数
最新考纲　1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用；2.理解对数函数的概念及其单调性，掌握对数函数图像通过的特殊点，会画底数为2,10，的对数函数的图像；3.体会对数函数是一类重要的函数模型.4.了解指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且对数函数图像及性质a≠1)互为反函数．
知 识 梳 理
1．对数的概念
一般地，如果a(a>0，a≠1)的b次幂等于N，即ab＝N，那么数b叫作以a为底N的对数，记作logaN＝b.其中a叫作对数的底数，N叫作真数．
2．对数的性质、换底公式与运算性质
(1)对数的性质：①alogaN＝N；②logaab＝b(a>0，且a≠1)
(2)对数的运算法则
如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么
①loga(MN)＝logaM＋logaN；
②loga＝logaM－logaN；
③logaMn＝nlogaM(n∈R)；
④loga mMn＝logaM(m，n∈R，且m≠0)．
(3)对数的重要公式
①换底公式：logbN＝(a，b均大于零且不等于1)；
②logab＝，推广logab·logbc·logcd＝logad.
3．对数函数及其性质
(1)概念：函数y＝logax(a＞0，且a≠1)叫作对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)．
(2)对数函数的图像与性质
a>1
0<a<1
图像
性质
定义域：(0，＋∞)
值域：R
当x＝1时，y＝0，即过定点(1,0)
当x>1时，y>0；
当0<x<1时，y<0
当x>1时，y<0；
当0<x<1时，y>0
在(0，＋∞)上是增函数
在(0，＋∞)上是减函数
4.反函数
指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的图像关于直线y＝x对称．
诊 断 自 测
1．判断正误(在括号内打“√”或“×”)　精彩PPT展示
(1)log2x2＝2log2x.(  )
(2)函数y＝log2(x＋1)是对数函数(  )
(3)函数y＝ln与y＝ln(1＋x)－ln(1－x)的定义域相同．(  )
(4)当x>1时，若logax>logbx，则a<b.(  )　
解析　(1)log2x2＝2log2|x|，故(1)错．
(2)形如y＝logax(a＞0，且a≠1)为对数函数，故(2)错．
(4)当x＞1时，logax＞logbx，但a与b的大小不确定，故(4)错．
答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)×                 
2．已知函数y＝loga(x＋c)(a，c为常数，其中a>0，且a≠1)的图像如图，则下列结论成立的是(  )
A．a>1，c>1  B．a>1,0<c<1
C．0<a<1，c>1  D．0<a<1,0<c<1
解析　由题图可知，函数在定义域内为减函数，所以0<a<1.又当x＝0时，y>0，即logac>0，所以0<c<1.
答案　D
3．(教材改编)已知a＝2，b＝log2，c＝，则(  )
A．a>b>c  B．a>c>b
C．c>b>a  D．c>a>b
解析　∵0<a<1，b<0，c＝＝log23>1.
∴c>a>b.
答案　D
4．(2015·浙江卷)计算：log2＝________；2log23＋log43＝________.
解析　log2＝log2－log22＝－1＝－；
2log23＋log43＝2log23·2log43＝3×2log43＝3×2log2＝3.
答案　－　3
5．若loga<1(a>0，且a≠1)，则实数a的取值范围是________．
解析　当0<a<1时，loga<logaa＝1，解得0<a<；当a>1时，loga<logaa＝1，解得a>1.
答案　∪(1，＋∞)
考点一　对数的运算                 
【例1】 (1)设2a＝5b＝m，且＋＝2，则m等于(  )
A.  B．10  C．20  D．100
(2)计算：÷100＝________.
解析　(1)由已知，得a＝log2m，b＝log5m，
则＋＝＋＝logm2＋logm5＝logm10＝2.
解得m＝.
(2)原式＝(lg 2－2－lg 52)×100＝lg×10＝lg 10－2×10＝－2×10＝－20.
答案　(1)A　(2)－20
规律方法　(1)在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算法则化简合并．
(2)先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算．
(3)ab＝N⇔b＝logaN(a>0，且a≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化．
【训练1】 (1)(2017·北京东城区综合练习)已知函数f(x)＝则f(2＋log23)的值为(  )
A．24  B．16  C．12  D．8
(2)(2015·安徽卷)lg＋2lg 2－－1＝________.
解析　(1)因为3<2＋log23<4，所以f(2＋log23)＝f(3＋log23)＝23＋log23＝8×2log23＝24.
(2)lg＋2lg 2－－1＝lg 5－lg 2＋2lg 2－2＝lg 5＋lg 2－2＝lg 10－2＝－1.
答案　(1)A　(2)－1
考点二　对数函数的图像及应用
【例2】 (1)(2017·郑州一模)若函数y＝a|x|(a>0，且a≠1)的值域为{y|y≥1}，则函数y＝loga|x|的图像大致是(  )
(2)(2017·宝鸡调研)已知函数f(x)＝且关于x的方程f(x)＋x－a＝0有且只有一个实根，则实数a的取值范围是________．
解析　(1)由于y＝a|x|的值域为{y|y≥1}，
∴a>1，则y＝logax在(0，＋∞)上是增函数，
又函数y＝loga|x|的图像关于y轴对称．
因此y＝loga|x|的图像应大致为选项B.
(2)
如图，在同一坐标系中分别作出y＝f(x)与y＝－x＋a的图像，其中a表示直线在y轴上截距．
由图可知，当a>1时，直线y＝－x＋a与y＝log2x只有一个交点．
答案　(1)B　(2)a>1
规律方法　(1)在识别函数图像时，要善于利用已知函数的性质、函数图像上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项．
(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图像问题，利用数形结合法求解．
【训练2】 (1)函数y＝2log4(1－x)的图像大致是(  )

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