三角函数
（1）幂函数；
幂函数的一般形式为x y a
=。
如果a 取非零的有理数是比较容易理解的，不过初学者对于a 取非零的无理数，则不太容易理解，在我们的课程里，不要求掌握如何理解指数为无理数的问题，因为这涉及到实数连续统的极为深刻的知识。因此我们只要接受它作为一个已知事实即可。
对于a 的取值为非零有理数，有必要分成几种情况来讨论各自的特性：
首先我们知道如果p q a =，q 和p 都是整数，则p q p
q a x x x
==，而如果p q a -=，则p q a x x 1=，因此可以看到x 所受到的限制来源于两点，一是有可能作为分母而不能是0，一是有可能在偶数次的根号下而
不能为负数，那么我们就可以知道：
排除了为0与负数两种可能，即对于x>0，则a 可以是任意实数； 排除了为0这种可能，即对于x<0和x>0的所有实数，p 不能是偶数；
排除了为负数这种可能，即对于x 为大于且等于0的所有实数，a 就不能是负数。 总结起来，就可以得到当a 为不同的数值时，幂函数的定义域的不同情况如下： 如果a 为任意实数，则函数的定义域为大于0的所有实数；
如果a 为负数，则x 肯定不能为0，不过这时函数的定义域还必须根据p 的奇偶性来确定，即如果同时p 为偶数，则x 不能小于0，这时函数的定义域为大于0的所有实数；如果同时p 为奇数，则函数的定义域为不等于0 的所有实数。
在x 大于0时，函数的值域总是大于0的实数。
在x 小于0时，则只有同时p 为奇数，函数的值域为非零的实数。 而只有a 为正数，0才进入函数的值域。反三角函数的所有公式
由于x 大于0是对a 的任意取值都有意义的，因此下面给出幂函数在第一象限的各自情况. 可以看到：
（1）所有的图形都通过（1，1）这点。
（2）当a 大于0时，幂函数为单调递增的，而a 小于0时，幂函数为单调递减函数。 （3）当a 大于1时，幂函数图形下凹；当a 小于1大于0时，幂函数图形上凸。 （4）当a 小于0时，a 越小，图形倾斜程度越大。
（5）a 大于0，函数过（0，0）；a 小于0，函数不过（0，0）点。 （6）显然幂函数无界。
（2）指数函数；
指数函数的一般形式为a y x
=，从上面我们对于幂函数的讨论就可以知道，要想使得x 能够取整个实数
集合为定义域，则只有使得.0>a
如图所示为a 的不同大小影响函数图形的情况。
可以看到：
（1） 指数函数的定义域为所有实数的集合，这里的前提是a 大于0，对于a 不大于0的情况，则必然
使得函数的定义域不存在连续的区间，因此我们不予考虑。
（2） 指数函数的值域为大于0的实数集合。
（3）函数图形都是下凹的。
（4）a大于1，则指数函数单调递增；a小于1大于0，则为单调递减的。
（5）可以看到一个显然的规律，就是当a从0趋向于无穷大的过程中（当然不能等于0），函数的曲线从分别接近于Y轴与X轴的正半轴的单调递减函数的位置，趋向分别接近于Y轴的正半轴与X 轴的负半轴的单调递增函数的位置。其中水平直线y=1是从递减到递增的一个过渡位置。（6）函数总是在某一个方向上无限趋向于X轴。
（7）函数总是通过（0，1）这点。
（8）显然指数函数无界。
（3）对数函数；
对数函数的一般形式为
x
y
a
log
=，它实际上就是指数函数a
y x
=的反函数。因此指数函数里对于a
的规定，同样适用于对数函数。
下图给出对于不同大小a所表示的函数图形：
可以看到对数函数的图形只不过的指数函数的图形的关于直线y=x的对称图形，因为它们互为反函数。
（1）对数函数的定义域为大于0的实数集合。
（2）对数函数的值域为全部实数集合。
（3）函数总是通过（1，0）这点。
（4）a大于1时，为单调递增函数，并且上凸；a小于1大于0时，函数为单调递减函数，并且下凹。
（5）显然对数函数无界。
（4）三角函数；
三角函数分成6种形式，都是典型的周期函数：
正弦函数：y=sinx;
余弦函数：y=cosx;
正切函数：y=tgx;
余切函数：y=ctgx;
正割函数：y=secx;
余割函数：y=cscx.
下面分别结合函数的图形来讨论它们的性质。
正弦函数：y=sinx 与余弦函数：y=cosx ： 下面是正弦函数和余弦函数的图形：
可以看到：
（1） 这两种函数的周期都是π2。
（2） 余弦函数y=cosx 沿着X 轴的正方向平移2π
，就与正弦函数y=sinx 完全重合。
（3） 它们的定义域都是实数。
（4） 它们的值域都是大于等于-1，小于等于1。 （5） 它们都是有界的。 （6） 正弦函数为奇函数。 （7） 余弦函数为偶函数。
正切函数：y=tgx ，余切函数：y=ctgx ：
下图中，粗线是正切函数的图形，细线是余切函数的图形，从图形可以看到： （1） 它们都是周期函数，周期都是π。
（2） 正切函数的定义域是实数轴上，除了,...2,1,0,2±±=+k k ππ
这些点以外的所有点的集合。
（3） 余切函数的定义域是实数轴上，除了,...2,1,0,±±=k k π这些点以外的所有点的集合。
（4） 它们的值域都是实数集合。
（5） 在两个间断点之间，正切函数是单调递增函数，而余弦函数是单调递减函数。
（6）  正切函数无限趋向于直线x=,...
2,1,0,2
±±=+k k ππ
。
（7） 余切函数无限趋向于直线x=,...2,1,0,±±=k k π。 （8） 它们都是无界函数。

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