正切、余切函数图象和性质反三角函数
[知识要点]
1．正切函数、余切函数的图象与性质
2．反三角函数的图象与性质
3．已知三角函数值求角
[目的要求]
1．类比正、余弦函数的研究，讨论正切函数与余切函数的图象和性质，关注其不同点.
2．从反函数概念入手，引入反三角函数定义，并定性讨论其图象和性质.
3．能熟练运用正、余弦函数性质解决问题.
4．能用反三角函数值表示不同范围内的角.
[重点难点]
1．正切函数图象与性质2．已知三角函数值求角
[内容回顾]
一、正切函数与余切函数图象
由前面我们正、余弦函数图象和性质的过程知，在中学阶段，对一个函数的认识，多是“由图识性”.因此，可以先作出正、余切函数的图象.
作三角函数图象的一般方法，有描点法和平移三角函数线法.
与正、余弦函数的五点法作图相类似，我们可以选择正切函数在一个周期内的图
象上三点及两条重要的辅导线——渐近线，来作正切函
数在区间上的简图，不妨称之为“三点两线法”.
若想迅速作出余切函数y=cotx 的图象，如何选择“三点”及“两线”呢？请大家看余切函数的图象，不难得到答案.
二、正、余切函数的性质
由图象可得:
在
在
，
奇函数
注: 1、由定义域知，y=tanx 与y=cotx 图象都存在无数多个间断点（不连续点）.
2、每个单调区间一定是连续的.
3、由单调性可解决比较大小问题，但要务必使两个自变量在同一单调区间内.
三、反三角函数的概念和图象
四种三角函数都是由x 到y 的多值对应，要使其有反函数，必须缩小自变量x 的范围，使之成为由x 到y 的对应.从方便的角度而言，这个x 的范围应该（1）离原点较近；（2）包含所有的锐角；（3）能取到所有的函数值；（4）最好是连续区间.从这个原则出发，我们给出如下定义:
1．y=sinx, x ∈的反函数记作y=arcsinx, x ∈[-1,1]，称为反正弦函数.
y=cosx, x ∈[0, π]的反函数记作y=arccosx, x ∈[-1,1]，称为反余弦函数.
y=tanx，x∈的反函数记作y=arctanx, x∈R，称为反正切函数. y=cotx，x∈(0, π)的反函数记作y=arccotx, x∈R，称为反余切函数. 2．反三角函数的图象
反三角函数的所有公式由互为反函数的两个函数图象间的关系，可作出其图象.
注:（1）y=arcsinx, x∈[-1,1]图象的两个端点是
（2）y=arccosx, x∈[-1,1]图象的两个端点是（1，0）和（-1，π）.
（3）y=arctanx, x∈R图象的两条渐近线是和.
（4）y=arccotx, x ∈R 图象的两条渐近线是y=0和y=π.
四、反三角函数的性质由图象，有
另外:
1．三角的反三角运算
arcsin(sinx)=x(x ∈)  arccos(cosx)=x (x ∈[0, π])
arctan(tanx)=x(x ∈)  arccot(cotx)=x(x ∈(0, π))
2．反三角的三角运算
sin(arcsinx)=x (x ∈[-1,1])  cos(arccosx)=x (x ∈[-1,1])    tan(arctanx)=x (x ∈R)  cot(arccotx)=x (x ∈R)
3．x 与-x 的反三角函数值关系    arcsin(-x)=-arcsinx(x ∈[-1,1])    arccos(-x)=π-arccosx (x ∈[-1,1])    arctan(-x)=-arctanx (x ∈R)    arccot(-x)=π-arccotx(x ∈R)
4．
五、已知三角函数值求角
1. 若sinx=a (|a|≤1)，则x=kπ+(-1)k arcsina(k∈Z)
2. 若cosx=a (|a|≤1)，则x=2kπ±arccosa(k∈Z)
3. 若tanx=a (a∈R), 则x=kπ+arctana (k∈Z)
4. 若cotx=a (a∈R), 则x=kπ+arccota(k∈Z)
具体计算和表示时，应根据x的范围来确定x的个数.
[典型例题分析]
例1．比较大小:
(1) (2)
分析：不在余切函数的同一单调区间内，应利用诱导公式设法将其化到同一单调区间内，再利用单调性来比较大小.
解:（1）∵,
而，由余切函数在（0，π）上的单减性，有
，∴
（2）∵
∴.
例2．写出下列函数的单调区间

版权声明：本站内容均来自互联网，仅供演示用，请勿用于商业和其他非法用途。如果侵犯了您的权益请与我们联系QQ:729038198，我们将在24小时内删除。