§04. 三角函数  知识要点
1. ①与α（0°≤α＜360°）终边相同的角的集合（角α与角β的终边重合）：{}
Z k k ∈+⨯=,360|αββ
②终边在x 轴上的角的集合： {
}
Z k k ∈⨯=,180|
ββ  ③终边在y 轴上的角的集合：{
}
Z k k ∈+⨯=,90180|
ββ ④终边在坐标轴上的角的集合：{}
Z k k ∈⨯=,90| ββ  ⑤终边在y =x 轴上的角的集合：{}
Z k k ∈+⨯=,45180|  ββ  ⑥终边在x y -=轴上的角的集合：{}
Z k k ∈-⨯=,45180|  ββ
⑦若角α与角β的终边关于x 轴对称，则角α与角β的关系：βα-=k  360 ⑧若角α与角β的终边关于y 轴对称，则角α与角β的关系：βα-+=  180360k  ⑨若角α与角β的终边在一条直线上，则角α与角β的关系：βα+=k  180 ⑩角α与角β的终边互相垂直，则角α与角β的关系：  90360±+=βαk  2. 角度与弧度的互换关系：360°=2π 180°=π 1°=0.01745  1=57.30°=57°18′ 注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零.
、弧度与角度互换公式：  1rad ＝π
180°≈57.30°=57°18ˊ．    1°＝180
π≈0.01745（rad ）
3、弧长公式：r l ⋅=||α.      扇形面积公式：211||22
s lr r α==⋅扇形
4、三角函数：设α是一个任意角，在α的终边上任取（异于原点的）一点P
x
y =
αtan ；
（x,y ）P 与原点的距离为r ，则  r
y =αsin ；  =αcos y
x
=αcot ；  x r =αsec ；. y r =αcsc .
5、三角函数在各象限的符号：（一全二正弦，三切四余弦）
正切、余切
余弦、正割
正弦、余割
6、三角函数线
正弦线：MP;  余弦线：OM;    正切线： AT.
SIN \COS 1、2、3、4表示第一、二、三、四象限一半所在区域
16. 几个重要结论:
8、同角三角函数的基本关系式：αα
αtan cos sin =
αα
α
cot sin cos =
1cot tan =⋅αα 1sin csc =α⋅α    1cos sec =α⋅α
1cos sin 22=+αα 1tan sec 22=-αα 1cot csc 22=-αα
9、诱导公式：
2
k παα±把
的三角函数化为的三角函数，概括为： “奇变偶不变，符号看象限”
三角函数的公式：（一）基本关系
公式组二                  公式组三
x x k x x k x x k x x k cot )2cot(tan )2tan(cos )2cos(sin )2sin(=+=+=+=+ππππ  x x x x x
x x x cot )cot(tan )tan(cos )cos(sin )sin(-=--=-=--=-
公式组四              公式组五              公式组六
x x x x x x x x cot )cot(tan )tan(cos )cos(sin )sin(=+=+-=+-=+ππππ  x x x x x x x x cot )2cot(tan )2tan(cos )2cos(sin )2sin(-=--=-=--=-ππππ  x x x x x
x x x cot )cot(tan )tan(cos )cos(sin )sin(-=--=--=-=-ππππ
（二）角与角之间的互换
公式组一                                  公式组二 βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+  αααcos sin 22sin =
βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=-  ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-= βαβαβαsin cos cos sin )sin(+=+  α
αα2
tan 1tan 22tan -=
βαβαβαsin cos cos sin )sin(-=-  2
cos 12
sin
α
α-±
= βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(-+=
+          2
cos 12cos α
α+±=
公式组一sin x ·csc x =1tan x =x
x cos sin sin 2x +cos 2x =1cos x ·sec x x =x
x sin cos 1+tan 2x =sec 2x
tan x ·cot x =1
1+cot 2x =csc 2
x
=1
βαβ
αβαtan tan 1tan tan )tan(+-=
-            公式组三                    公式组四                                    公式组五
2tan 12tan
2sin 2
ααα+=        2tan 12tan
1cos 22ααα+-=    2tan 12tan
2tan 2ααα-=
4
2675cos 15sin -=
=  ,4
2615cos 75sin +=
=  ,3275cot 15tan -==  ,3215cot 75tan +==  .
()()[]()()[]()()[]
()()[]βαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβα--+-=-++=--+=-++=cos cos 2
1sin sin cos cos 2
1cos cos sin sin 21sin cos sin sin 21
cos sin 2cos 2sin 2sin sin βαβαβα-+=+2sin 2cos 2sin sin β
αβαβα-+=-2cos 2cos 2cos cos βαβαβα-+=+2
sin 2sin 2cos cos βαβαβα-+-=-α
α
αααααsin cos 1cos 1sin cos 1cos 12tan -=+=+-±=ααπsin )21cos(-=+ααπcos )21sin(=+ααπcot )21tan(-=+ααπsin )21cos(=-ααπcos )21sin(=-ααπcot )21tan(=-
注意：①x y sin -=与x y sin =的单调性正好相反；x y cos -=与x y cos =的单调性也同样相反.一般地，若
)(x f y =在],[b a 上递增（减）
，则)(x f y -=在],[b a 上递减（增）. ②x y sin =与x y cos =的周期是π.
③)sin(ϕω+=x y 或)cos(ϕω+=x y （0≠ω）的周期ω
π
2=
T .
2tan x
y =的周期为2π（πω
π2=⇒=T T ，如图，翻折无效）.
④)sin(ϕω+=x y 的对称轴方程是2
π
π+
=k x （Z k ∈），对称中心（0,πk ）；)cos(ϕω+=x y 的对称轴方程是
πk x =（Z k ∈）
，对称中心（0,2
1ππ+k ）；)tan(ϕω+=x y 的对称中心（0,2
π
k ）. x x y x y 2cos )2cos(2cos -=--=−−−→−=原点对称
⑤当αtan ·,1tan =β)(2
Z k k ∈+
=+π
πβα；αtan ·,1tan -=β)(2
Z k k ∈+
=-π
πβα.
⑥x y cos =与⎪⎭
⎫ ⎝⎛++=ππk x y 22sin 是同一函数，而)(ϕω+=x y 是偶函数，则
)cos()2
1
sin()(x k x x y ωππωϕω±=++=+=.
⑦函数x y tan =在R 上为增函数.（×） [只能在某个单调区间单调递增. 若在整个定义域，x y tan =为增函数，同样也是错误的].
⑧定义域关于原点对称是)(x f 具有奇偶性的必要不充分条件.（奇偶性的两个条件：一是定义域关于原点对称（奇偶都要），二是满足奇偶性条件，偶函数：)()(x f x f =-，奇函数：)()(x f x f -=-）
反三角函数的所有公式奇偶性的单调性：奇同偶反. 例如：x y tan =是奇函数，)3
1
tan(π+=x y 是非奇非偶.（定义域不关于原点
对称）
奇函数特有性质：若x ∈0的定义域，则)(x f 一定有0)0(=f .（x ∉0的定义域，则无此性质）
⑨x y sin =不是周期函数；x y sin =为周期函数（π=T ）
x y cos =是周期函数（如图）
；x y cos =为周期函数（=T 2
12cos +=x y 的周期为π（如图）
，并非所有周期函数都有最小正周期，例如：  R k k x f x f y ∈+===),(5)(.
⑩a
b
b a b a y =
+++=+=ϕϕαβαcos )sin(sin cos 22 有y b a ≥+22. 11、三角函数图象的作法： １）、几何法：
２）、描点法及其特例——五点作图法（正、余弦曲线），三点二线作图法（正、余切曲线）.
y=|cos2x +1/2|图象
３）、利用图象变换作三角函数图象．
三角函数的图象变换有振幅变换、周期变换和相位变换等．
函数y ＝Asin （ωx ＋φ）的振幅|A|，周期2||
T πω=，频率1||2f T ωπ
==，相位;x ωϕ+初相ϕ（即当x ＝0
时的相位）．（当A ＞0，ω＞0 时以上公式可去绝对值符号），
由y ＝sinx 的图象上的点的横坐标保持不变，纵坐标伸长（当|A|＞1）或缩短（当0＜|A|＜1）到原来的|A|倍，得到y ＝Asinx 的图象，叫做振幅变换或叫沿y 轴的伸缩变换．（用y/A 替换y ）
由y ＝sinx 的图象上的点的纵坐标保持不变，横坐标伸长（0＜|ω|＜1）或缩短（|ω|＞1）到原来的1||
ω
倍，得到y ＝sin ω x 的图象，叫做周期变换或叫做沿x 轴的伸缩变换．(用ωx 替换x)
由y ＝sinx 的图象上所有的点向左（当φ＞0）或向右（当φ＜0）平行移动｜φ｜个单位，得到y ＝sin （x ＋φ）的图象，叫做相位变换或叫做沿x 轴方向的平移．(用x ＋φ替换x)
由y ＝sinx 的图象上所有的点向上（当b ＞0）或向下（当b ＜0）平行移动｜b ｜个单位，得到y ＝sinx ＋b 的图象叫做沿y 轴方向的平移．（用y+(-b)替换y ）
由y ＝sinx 的图象利用图象变换作函数y ＝Asin （ωx ＋φ）（A ＞0，ω＞0）（x ∈R ）的图象，要特别注意：当周期变换和相位变换的先后顺序不同时，原图象延x 轴量伸缩量的区别。 4、反三角函数： 函数y ＝sin x ，⎪⎪⎭⎫  ⎝
⎛
⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈22ππ，x 的反函数叫做反正弦函数，记作y ＝arcsin x ，它的定义域是［－1，1］，值域是⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡22ππ，－．
函数y ＝cos x ，（x ∈［0，π］）的反应函数叫做反余弦函数，记作y ＝arccos x ，它的定义域是［－1，1］，值域是［0，π］．
函数y ＝tan x ，⎪⎪⎭
⎫  ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-∈22ππ，x 的反函数叫做反正切函数，记作y ＝arctan x ，它的定义域是（－∞，＋∞），
值域是⎪⎭
⎫
⎝⎛-22ππ，．
函数y ＝ctg x ，［x ∈（0，π）］的反函数叫做反余切函数，记作y ＝arcctg x ，它的定义域是（－∞，＋∞），值域是（0，π）．
II. 竞赛知识要点
一、反三角函数.
1. 反三角函数：⑴反正弦函数x y arcsin =是奇函数，故x x arcsin )arcsin(-=-，[]1,1-∈x （一定要注明定义域，若()+∞∞-∈,x ，没有x 与y 一一对应，故x y sin =无反函数）
注：x x =)sin(arcsin ，[]1,1-∈x ，⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-∈2,2arcsin ππx .
⑵反余弦函数x y arccos =非奇非偶，但有ππk x x 2)arccos()arccos(+=+-，[]1,1-∈x . 注：①x x =)cos(arccos ，[]1,1-∈x ，[]π,0arccos ∈x .
②x y cos =是偶函数，x y arccos =非奇非偶，而x y sin =和x y arcsin =为奇函数. ⑶反正切函数：x y arctan =，定义域),(+∞-∞，值域（2,
2π
π-
），x y arctan =是奇函数，
x x arctan )arctan(-=-，∈x ),(+∞-∞.

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