第一章 函 数
函数是对现实世界中各种变量之间的相互依存关系的一种抽象，它是微积分学研究的基本对象。在中学时我们对函数的概念和性质已经有了初步的了解，在本章中，我们将进一步阐明函数的一般定义，介绍函数的简单性态以及反函数、复合函数、基本初等函数和初等函数等概念，这些都是学习这门课程的基础。
§1.1  集合
1.1.1集合的概念
集合是数学中的一个基本概念。例如某校一年级的全体学生构成一集合，某个书柜的全部藏书构成一个集合，全体实数构成一个集合等。 一般地，我们把具有某种特定性质的对象组成的总体叫做集合。把组成某一集合的各个对象叫做这个集合的元素。
习惯上，用大写拉丁字母 ,,,,,Y X C B A 表示集合，用小写拉丁字母 y x c b a ,,,，表示集合的元素。对于给定的集合来说，它的元素是确定的。如果a 是集合A 中的元素，则用A a ∈来表示；如果a 不是集合A 中的元素，则用A a ∉来表示。
含有有限个元素的集合称为有限集；含有无限多个元素的集合称为无限集；不含任何元素的集合称为空
集。
表示集合的方法主要有两种，一种是列举法，就是把集合的所有元素一一列举出来，写在花括号内。例如，把方程042
=-x 的解构成的集合表示为}2,2{-=A 。另一种方法是描述法，就是指出集合的元素所具有性质。一般地，将具有某种性质的对象x 所构成的集合表示为
x x A |{=具有某种性质}
例如，方程042=-x 的解集也可以表示为}04|{2=-=x x A 。
元素为数的集合称为数集，通常用N 表示自然数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集。有时我们在表示数集的字母右上角添“+”、“－”等上标，来表示该数集的几个特定子集，以实数为例，+R 表示全体正实数之；-R 表示 全体负实数之集，其他数集的情况类似，不再赘述。 若集合A 的元素都是集合B 的元素，则称A 是B 的子集，，或者称A 包含于B 或B 包含A ，记作B A ⊂或A B ⊃。
若集合A 与B 互为子集，即B A ⊂且A B ⊂，就称A 与B 相等，记作B A =。
1.1.2集合的运算
集合有三种基本运算，即并、交、差。
设有集合A 与B ，它们的并集记作B A  ，定义为
A x x
B A ∈=|{ 或}B x ∈。
集合A 与B 交集记作B A  ，定义为
A x x
B A ∈=|{ 且}B x ∈。
集合A 与B 差集记作B A \，定义为
A x x
B A ∈=|{\但}B x ∉。
有时，我们把研究某一问题时所考虑的对象的全体称为全集，并用I 表示，把差集A I \特别称为A 的余集或补集，记作c A 。例如在实数集R 中，集合}1|||{<=x x A 的余集为1|{-≤=x x A c 或}1≥x 。
集合的并、交、余运算满足如下运算律：
交换律 A B B A A B B A    ==,；
结合律 )()(C B A C B A    =，
)()(C B A C B A    =；
分配律 )()()(C A B A C B A      =，
)()()(C A B A C B A      =；
对偶律 c c c c c c B A B A B A B A    ==)(,)(。
以上这些运算律都容易根据集合相等的定义验证。
在两个集合之间还可以定义直积或笛卡尔（Descartes ）乘积，设B A ，是任意的两个集合，则A 与B 的直积，记作B A ⨯，定义为如下的由有序对),(b a 组成的集合：
},|),{(B b A a b a B A ∈∈=⨯
例如，},|),{(R y R x y x R R ∈∈=⨯，即为xOy 平面上全体点的集合，R R ⨯常记作2R 。
1.1.3区间和邻域
区间和一点的邻域是常用的一类实数集。
设a 和b 都是实数，且b a <，数集
}|{b x a x <<
称为开区间，记作),(b a ，即
}|{),(b x a x b a <<=
和b 称为开区间),(b a 的端点，数集
}|{b x a x ≤≤
称为闭区间，记作],[b a ，即
}|{],[b x a x b a ≤≤=
和b 称为闭区间),(b a 的端点，类似地有
}|{],(b x a x b a ≤<=，}|{),[b x a x b a <≤=，
),[],,(b a b a 都称为半开区间。
以上这些区间都称为有限区间，数a b -称为这些区间的长度，从数轴上看，这些有限区间是长度为有限的线段。闭区间],[b a 和开区间),(b a 在数轴上表示方法分别如图    所示。此外还有无限区间，引进记号
∞+（读作正无穷大）及∞-（读作负无穷大）
，则可用类似的记号表示无穷区间，例如
)|{),(b x x b <=-∞,
}|{),[a x x a ≥=+∞.
这两个无限区间在数轴上的表示如图  所示。
实数集}0,||{><-δδa x x 称为点a 的δ邻域，记为),(δa U ，点a 叫
做邻域的中心，δ叫做邻域的半径，它在数轴上表示以a 为中心，长度为δ
2的对称开区间，如图  所示。
实数集}||0{δ<-<a x x 称为点a 的去心δ邻域，记作),(δa U o
。为了方便，有时把开区间),(a a δ-称为点a 的左δ邻域，把开区间),(δ+a a 称为点a 的右δ邻域。
§1.2 函数
1.2.1函数的概念
函数是变量之间满足一定条件的一种对应关系。
在中学数学中学习过函数，现在我们把函数的概念叙述如下：
定义 设有两个变量x 与y ，D 为一个非空实数集。如果存在一个确定的法则（或称对应法则）f ，使得对于每一个D x ∈，都有唯一的一个实数y 与之对应，则称这个对应法则f 为定义在实数集D 上的一个一元函数，简称函数，记为)(x f y =，D 称为)(x f 的定义域。
函数)(x f 的定义域D 通常记为)(f D 。
对于)(0f D x ∈，由法则f 所对应的实数y 称为)(x f 在点0x 处的函数值，通常记为)(0x f ，有时也记为0|
x x y =，此时我们也称函数)(x f 在点0x 处有定义。全体函数值的集合称为函数)(x f 的值域，记为)(f R 。即
)}(),(|{)(f D x x f y y f R ∈==
从函数的定义来看，当定义域与对应法则确定后，函数就完全确定了，可见，定义域与对应法则是确定函数的两个要素，因此，对于函数)(),(x g x f ，如果它们有相同的定义域和对应法则，它们就是同一个函数。  表示函数的主要方法有三种：表格法、图形法、解析法（公式法），这
在中学大家已经熟悉，其中，用图形法表示函数是基于函数图形的概念，即坐标平面上的点集
)}(),(|),({f D x x f y y x P ∈=
称为函数)(),(f D x x f y ∈=的图形。如图
所示。
对于由解析式表示的函数，其定义域是指
使得函数表达式有意义的自变量取值的全体，
这种定义域也称为函数的自然定义域。
例1 确定函数)
23lg(1-=x y 的定义域。 解 当023>-x 且123≠-x 时，即32>
x 且1≠x 时，函数)23l g (1-x 才有意义，因此，)
23lg(1-=x y 的定义域为 ),1()1,3
2()(+∞= f D  例2 确定函数225151arcsin x
x y -+-=的定义域。 解 当15
1≤-x 且252<x 时，即64≤≤-x 且55<<-x 时，函数225151arcsin x x -+-才有意义，此函数225151arcsin x
x -+-的定义域为
)5,4[)(-=f D    在用解析法表示函数时，有一种特别的情形，即有的函数在定义域的不同部分用不同的解析式表示，这种函数被称为分段函数。
例如，函数
⎩
⎨⎧<-≥==0,0,||x x x x x y  是定义域为),()(+∞-∞=f D ，值域为),0[)(+∞=f R 的一个函数，它的图形如图  所示，当自变量x 取)0,(-∞内的数值时，函数值由x y -=确定，而当自变量x 取),0[+∞内的数值时，函数值由x y =确定。所以是一个分段函数。
例如，函数
⎪⎩
⎪⎨⎧<-=>==0,10,00,1sgn x x x x y
也是分段函数，它的定义域为),()(+∞-∞=f D ，值域为}1,0,1{)(-=f R ，图形如图  所示。
1.2.2反函数
反三角函数的所有公式定义 设函数)(x f y =的定义域是)(f D ，值域是)(f R ，如果对每一个)(f R y ∈，都有唯一确定的)(f D x ∈与之对应且满足)(x f y =，则x 是定义在)(f R 上以y 为自变量的函数，记此函数为
)
(),(1f R y y f x ∈=-
并称其为函数)(x f y =的反函数。
显见)(1y f x -=与)(x f y =互为反函数，且)(1y f x -=的定义域和值域分别是)(x f y =的值域和定义域。
注意到在)(1y f x -=中，y 是自变量，x 是因变量，但是习惯上，常 用x 作为自变量，y 作为因变量。因此，)(x f y =的反函数)(1y f x -=常记为
)(),(1f R x x f y ∈=-
在平面直角坐标系xoy 中，函数)(x f y =的图形与其反函数)(1x f y -=的图形关于直线x y =对称。
如图  所示。
那么什么样的函数才有反函数呢？
由定义可知，函数)(x f y =具有反函
数的充要条件是对应法则f 使得定义
域中的点与值域中的点是一个对一个
的（简称一一对应）。因为单调函数具
有这种性质，所以单调函数必有反函数。
对于严格单调函数，求其反函数的步骤是先从)(x f y =中解出)(1y f x -=，然后将x 与y 互换，便得到反函数)(1x f y -=。
.
1.3函数的基本性质
1.3.1函数的奇偶性

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