《任意角的三角函数概念》第一课时教学设计
一、教学目标设置
1、知识与技能：①借助单位圆让学生认识和理解任意角的三角函数的定义
2、过程与方法：①通过回忆初中的锐角三角函数定义，发现角概念推广后其局限性，必须寻其它方式定义；
②在形成新的锐角三角函数定义的过程中领悟单位圆研究三角函数定义的优越性，加深对函数概念的理解；
③由特殊到一般的思想推广到任意角的三角函数定义；
④通过探究任意角正弦函数定义，类比得到任意角的余弦函数和正切函数，培养学生类比分析的能力；
3、情感态度与价值观：
①培养学生在运动变化的过程中认识知识的发生和发展，体会知识之间的内在联系，感悟知识的整体性；
②通过小组合作交流，倡导学生主动参与课堂，培养学生团队合作的意识；
③通过对新知识的探究，培养学生分析解决问题的能力和理性思维的能力.
二、教学重点
借助单位圆，体会任意角的三角函数定义.
三、教学难点
任意角的三角函数概念的建构过程.
四、学情分析
学生在初中学习的锐角三角函数是以锐角为自变量，以边的比值为函数值的函数，以及高中学习过的函数的定义和任意角及弧度制，这些是学生学习任意角的三角函数知识的基
础和依据.本节课从研究单位圆上的点的坐标定义三角函数，借助几何画板展示变化规律。更容易激发学生学习的热情，从而催生学生创造性思维.在概念建构的过程中，学生必需经历由特殊到一般的认识过程以及把新的概念纳入到一般函数的结构之中，这是认知过程的一道坎，又是认知的一次升华.
五、教学策略分析
本课采用“引”“探”相结合的方式，让学生在问题中形成认知冲突，体会、感悟数学研究的一般思路和方法. 课堂中以学生为主体，将学生分成若干小组，使学生全员参与课堂，通过学生之间合作交流，教师间或参与学生的讨论，对有困惑的小组或者个别学生进行帮助和引导，培养学生主动探究新知识的能力.此外，为了提高教学效果，使课堂教学更生动形象，利用多媒体课件进行教学.
六、教学过程
教学环节 | 教学内容 | 学生活动 | 设计意图 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
复 习 引 入 | 温故1. 初中学过的锐角三角函数(正弦,余弦,正切)的定义是什么? 锐角的三角函数:正弦 sinB= 余弦 cosB= 正切 tanB= （x≠0） 温故2. 特殊的锐角三角函数值你还记得吗？
温故3.一般的，设两个非空数集A和B,如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f:A B为从集合A到集合B的一个函数，记做y=f(x) ，x∈A. 温故4.角度制与弧度制的互化
| 学生回答 （可以集体回答，亦可单独提问，这些内容在导学案中有呈现，防止学生短时记忆） | 巩固上节课的学习成果； 唤醒学生头脑中沉睡的数学公式。 为本节课的学习做好铺垫工作. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
设 置 疑 问 点 明 主 题 | 一.单位圆中的三角函数 问题1. 单位圆⊙O上的点P以A为起点做逆时针方向旋转，如何刻画P点的位置？ 问题2.当角α确定，角的终边与单位圆的交点P确定吗？P（x,y）的坐标确定吗？ 问题3.单位圆中的三角函数的定义与初中学过的锐角三角函数的定义一致吗？ 问题4. 三角函数的定义域是什么范围？ 问题5将特殊的角放到单位圆中，它的三角函数值是什么？技巧快速求出. 问题6当角α的终边P不在单位圆上，如何求角的三角函数？ | 学生思考 单位圆在本节课学习中起到至关重要的作用。 | 用问题情境引出课题，可以增强学生的好奇心,激发学生的求知欲. 这一系列的问题设计，体现的就是本节课的核心内容的探讨学习。有些问题需要教师点拨，而有些关键性的问题，学生必须通过观察思考得出，他们自己的新想法，再和初中的知识进行融合，形成体系化的任意角的三角函数的概念。 问题的设计从特殊》》一般》》特殊。 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
实 验 探 索 辨 析 研 讨 实 验 探 索 辨 析 研 讨 | 单位圆中三角函数的定义： 设任意角α的终边OP与单位圆的交点P(x,y)，则 （1）把点P的纵坐标y叫做α的正弦函数，记作 sinα.即 （2）把点P的横坐标x叫做α的余弦函数, 记作 cosα.即 （3）把点P的纵坐标与横坐标的比值 叫做α的正切函数, 记作 tanα.即 （x≠0） 特殊的角放到单位圆中，它的三角函数值是什么？ | 动画演示 学生观察 学生讨论 学生总结 教师点拨 几何画板演示 学生观察 学生讨论 学生总结 教师点拨 | 概念引入，指导学生学会用三角函数的几何定义解决三角函数的代数问题的方法，引导学生建立单位圆与三角函数值之间的对应. 通过类比出相似之处，达到快速记忆规律. 对特殊角反三角函数的所有公式的三角函数值的记忆，正强化了单位圆中三角函数的概念。 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
典 例 讲 解 | 例1.（1） 已知角 与单位圆的交点P（，）求 的正弦,余弦,正切的值. （2）已知 =.(1)求出 与单位圆的交点P（2）写出 的正弦.余弦和正切值 一般的三角函数的定义： 在任意角α的终边上任取一点P(x,y),设OP=r(r≠0)，则任意角α的三角函数为: 正弦函数 余弦函数 正切函数 （r≠0） 例2.已知角α终边上有一点P（-12，5），求sinα，cosα，tanα的值． 变式（1）已知角α的终边经过点P（- 12a，5a ）（a>0）求sinα ,cosα, tanα值． 思考：已知角α的终边经过点P（-12a，5a）（a≠0）,求sinα, cosα, tanα值． | 教师引导 学生回答 教师规范板书，明确书写步骤 教师引导 学生回答 教师规范板书，明确书写步骤 | 准确掌握三角函数的定义 逆向思维,灵活运用单位圆解决三角函数求职问题 类比函数的定义，总结归纳三角函数的定义. 将三角函数求值问题从单位圆中脱离，转化成一般问题. 由例题引出任意角的三角函数的另外一种概念。 剥离单位圆后。如何已知平面内一点坐标，求其三角函数值的问题 含参数问题的讨论，是学生学习的难点。 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
当 堂 巩 固 | 当堂巩固，当堂检测，直接出检测效果，看到自己的不足之处 | 当堂巩固设计的3个题从最基本的单位圆中的问题解决入手，过渡到任意角的三角函数问题。很好的体现了这节课的重点和难点内容。 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
总 结 归 纳 | 知识总结： 1.三角函数线的定义，会求单位圆中的任意角的三角函数； 2.利用单位圆中三角函数的定义，延伸到任意点的三角函数. 思想方法：数形结合的思想； 类比、归纳的方法. | 思维导图的总结方式 | 通过回顾本节课的学习内容，形成知识体系，培养学生自我归纳、总结的能力. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
课 后 作 业 | P17 练习：1，2. P21习题1.2A组：5，7. | 学生巩固练习 | 进一步巩固知识.强化概念。 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
七、教学反思
三角函数的引入有两种不同的路径，一种是把任意角的三角函数看成是锐角三角函数的形式推广。利用角的终边上点的坐标比定义三角函数;另一种是直接从建立周期现象的数学模型出发利用单位圆上点的坐标定义三角函数，然后再建立与锐角三角函数的联系。同时直接从描述周期现象的需要出发。有利于学生把握三角函数的研究对象及其本质，而且能更自然的借助单位圆抽象三角函数的定义,确定三角函数的研究内容，探寻研究方法.特别是可以借助单位圆. 从圆的性质，特别是对称性得到三角函数研究内容的启发，并且能引导学生通过数形结合的方法展开研究，以及借助单位圆记忆三角函数的性质和众多三角公式，从而发展学生的数学抽象，直观，想象等素养。
学生在理解用终边上任意一点的坐标来表示锐角三角函数时可能会出现障碍，原因是学生在此之前都是研究直角三角形中锐角的三角函数，并习惯了直观地用有关边长的比值来表示锐角三角函数．要克服这一困难，关键是帮助学生建立终边上点的坐标的比值与直角三角形有关边长的比值的联系．
学生在理解将终边上任意一点取在终边与单位圆的交点这一特殊位置上时，又可能会出现
障碍，原因是他们可能会认为这一特殊点不具有任意性．针对这一问题，应引导学生利用相似三角形的知识来认识，明白对于一个确定的角，其三角函数值也就唯一确定了，表示其三角函数的比值不会随终边上所取点的位置的改变而改变．
学生在将用单位圆定义锐角三角函数推广到定义任意角的三角函数时，还可能会出现障碍，主要原因还是受初中锐角三角函数定义的影响，仍然局限在直角三角形中思考问题．要帮助学生克服这一困难，就要让学生知道，借助单位圆，用终边与单位圆交点的坐标来表示三角函数，就是为了很好地解决在直角三角形中不能定义任意角的三角函数的问题，用单位圆统一定义三角函数，不仅没有改变初中锐角三角函数定义的本质，同时还能定义任意角的三角函数．
利用信息技术可以很容易地建立单位圆上点的横坐标，纵坐标，角，弧之间的联系。可以在角的变化过程中进行观察，发现其中的规律性。所以，信息技术可以帮助学生更好的理解三角函数的本质。
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