高中数学新教材人教（2019）版必修第一册知识点与公式大全
第一章 集合与常用逻辑用语
1.1集合的概念及其表示
1 集合的含义及表示
2
空集的特殊性: 空集是任何集合的子集，任何非空集合的真子集
*结论 含有个元素的集合，其子集的个数为，真子集的个数为
3集合的基本运算
在集合运算中常借助于数轴和文氏图（*注意端点值的取舍）
*结论 （1） ,
（2）
4．充分条件、必要条件与充要条件的概念
（1）充分条件：若，则是充分条件.
（2）必要条件：若，则是必要条件.
（3）充要条件：若，且，则是充要条件.
注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然.
5．全称量词和存在量词
(1)全称量词有：所有的，任意一个，任给，用符号“∀”表示；存在量词有：存在一个，至少有一个，有些，用符号“∃”表示．
(2)含有全称量词的命题，叫做全称命题．“对M中任意一个x，有p(x)成立”用符号简记为：∀x∈M，p(x)．
(3)含有存在量词的命题，叫做特称命题．“存在M中元素x0，使p(x0)成立”用符号简记为：∃x0∈M，p(x0)．
（4）全称量词命题“”的否定是存在量词命题“”
（5）存在量词命题“”的否定是全称量词命题“”
第二章 一元二次函数、方程、不等式
1.一元二次不等式的概念及形式
(1).概念：把只含有一个未知数，并且知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式．
(2).形式：①ax2＋bx＋c>0(a≠0)； ②ax2＋bx＋c≥0(a≠0)；
③ax2＋bx＋c<0(a≠0)； ④ax2＋bx＋c≤0(a≠0)．
2.三个“二次”之间的关系：
设f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)，方程ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4ac | ||||
判别式Δ ＝b2－4ac | Δ>0 | Δ＝0 | Δ<0 | |
解不等式 f(x)>0 或f(x)< 0的步骤 | 求方程f(x)＝0的解 | 有两个不等的实数解x1，x2 | 有两个相等的实数解x1＝x2 | 没有实数解 |
画函数y＝f(x)的示意图 | ||||
得不 等式 的解 集 | f(x)>0 | {x|x<x1 或x>x2} | {x|x≠－} | R |
f(x)<0 | {x|x1<x<x2} | ∅ | ∅ | |
3.分式不等式的解法
定义：分母中含有未知数，且分子、分母都是关于x的多项式的不等式称为分式不等式.
解法：等价转化法解分式不等式
>0⇔f(x)g(x)>0，<0⇔f(x)·g(x)<0.
4.基本不等式(或)均值不等式：
基本不等式的变形与拓展
1．(1)若,则；(2)若,则（当且仅当时取“=”）．
2．(1)若,则；(2)若,则（当且仅当取“=”）；
(3)若,则（当且仅当时取“=”）．
3．若,则（当且仅当时取“=”）；若,则（当且仅当时取“=”）；若,则,即或（当且仅当时取“=”）．
4．若,则（当且仅当时取“=”）；若,则,即或（当且仅当时取“=”）．
5．一个重要的不等式链：．
第三章函数的概念与性质
3.1函数与映射的相关概念
函数 | 映射 | |
两个集合A、B | 设A、B是两个非空数集 | 设A、B是两个非空集合 |
对应关系 | 按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应 | 按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应 |
名称 | 称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数 | 称f：A→B为从集合A到集合B的一个映射 |
记法 | y＝f(x)，x∈A | f：A→B |
注意：判断一个对应关系是否是函数关系，就看这个对应关系是否满足函数定义中“定义域内的任意一个自变量的值都有唯一确定的函数值”这个核心点．
(2)函数的定义域、值域
在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域，与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．
(3)构成函数的三要素：函数的三要素为定义域、值域、对应关系.
(4)函数的表示方法
函数的表示方法有三种：解析法、列表法、图象法.
解析法：一般情况下，必须注明函数的定义域；
列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征；
图象法：注意定义域对图象的影响.
3.2函数的三要素
（1）．函数的定义域
函数的定义域是使函数解析式有意义的自变量的取值范围，常见基本初等函数定义域的要求为：
(1)分式函数中分母不等于零.(2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0.
(3)一次函数、二次函数的定义域均为R.(4)y＝x0的定义域是{x|x≠0}.
（2）．函数的解析式
(1)函数的解析式是表示函数的一种方式，对于不是y＝f(x)的形式，可根据题目的条件转化为该形式.
(2)求函数的解析式时，一定要注意函数定义域的变化，特别是利用换元法(或配凑法)求出的解析式，不注明定义域往往导致错误.
（3）．函数的值域
函数的值域就是函数值构成的集合，熟练掌握以下四种常见初等函数的值域：
(1)一次函数y＝kx＋b(k为常数且k≠0)的值域为R.
(2)反比例函数(k为常数且k≠0)的值域为(−∞，0)∪(0，＋∞)．
(3)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数且a≠0)，
当a>0时，二次函数的值域为；当a<0时，二次函数的值域为.
求二次函数的值域时，应掌握配方法：.
3.3分段函数
分段函数的概念
若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，则这
反三角函数的所有公式种函数称为分段函数．分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．
3.4函数基本性质
1函数的单调性
（1）定义： 设那么:
上增函数；
上减函数.
（2）判定方法：定义法(证明题) 图像法 复合法
（3）定义法：用定义来证明函数单调性的一般性步骤：
设值：任取为该区间内的任意两个值，且
做差,变形，比较大小：做差，并利用通分，因式分解，配方，有理化等方法变形比较大小
下结论（说函数单调性必须在其单调区间上）
（4）常见函数利用图像直接判断单调性：一次函数，二次函数，反比例函数，指对数函数，幂函数，对勾函数
（5）复合法：针对复合函数采用同增异减原则
（6）单调性中结论：在同一个单调区间内：增+增=增： 增—减=增：减+减=减：减—增=增
若函数在区间为增函数，则—，在为减函数
（7）单调性的应用：①求值域；②解不等式；③求参数范围；④比较大小.
特别提醒：求单调区间时，一是勿忘定义域，二是在多个单调区间之间不一定能添加符号“”和“或”只能用“和”；三是单调区间应该用区间表示，不能用集合或不等式表示．
2 函数的奇偶性
（1）定义：若定义域关于原点对称
若对于任取x的，均有 则为偶函数
若对于任取x的，均有则为奇函数
（2）奇偶函数的图像和性质
偶函数 | 奇函数 |
函数图像关于轴对称 | 函数图像关于原点对称 |
整式函数解析式中只含有的偶次方 | 整式函数解析式中只含有的奇次方 |
在关于原点对称的区间上其单调性相反 | 在关于原点对称的区间上其单调性相同 |
偶函数=f(|x|) | 若奇函数在处有定义，则 |
（3）判定方法：定义法 （证明题） 图像法 口诀法
（4）定义法: 证明函数奇偶性
步骤： 求出函数的定义域观察其是否关于原点对称（前提性必备条件）
由出发，寻其与之间的关系
下结论（若则为偶函数，若则为奇函数函数）
口诀法： 奇函数+奇函数=奇函数：偶函数+偶函数=偶函数
奇函数奇函数＝偶函数： 奇函数偶函数＝奇函数：偶函数偶函数＝偶函数
具有奇偶性的函数的定义域的特征：定义域必须关于原点对称！为此确定函数的奇偶性时，务必先判定函数定义域是否关于原点对称。
第四章 指数函数与对数函数
4.1 指数与指数函数
（1）根式
概念：式子叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数.
性质：()n＝a(a使有意义)；
当n为奇数时，＝a，当n为偶数时，＝|a|＝
（2）分数指数幂
规定：正数的正分数指数幂的意义是a＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)；正数的负分数指数幂的意义是a－＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义.
有理指数幂的运算性质：aras＝ar+s；(ar)s＝ars；(ab)r＝arbr，其中a>0，b>0，r，s∈Q.
（3）指数函数及其性质
概念：函数y＝ax(a>0且a≠1)叫做指数函数，x是自变量，函数的定义域是R，a是底数.
指数函数的图象与性质
a>1 | 0<a<1 | |
图象 | ||
定义域 | R | |
值域 | (0，＋∞) | |
性质 | 过定点(0，1)，即x＝0时，y＝1 | |
当x>0时，y>1； 当x<0时，0<y<1 | 当x<0时，y>1； 当x>0时，0<y<1 | |
在(－∞，＋∞)上是增函数 | 在(－∞，＋∞)上是减函数 | |
4.2 对数与对数函数
（1）对数的概念
如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么x叫做以a为底N的对数，记作，其中a叫做对数的底数，N叫做真数.
（2）对数的性质、换底公式与运算性质
(1)对数的性质：①alogaN＝N；②logaab＝b(a>0，且a≠1).
(2)对数的运算法则；如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么
①； ②；
③(nR)； ④.
(3)换底公式：(a，b均大于零且不等于1).
（3）对数函数及其性质
(1)概念：y＝logax(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是(0，＋∞).
(2)对数函数的图象与性质
a>1 | 0<a<1 | ||
图象 | |||
性质 | 定义域：(0，＋∞) | ||
值域：R | |||
当x＝1时，y＝0，即过定点(1，0) | |||
当x>1时，y>0； 当0<x<1时，y<0 | 当x>1时，y<0； 当0<x<1时，y>0 | ||
在(0，＋∞)上是增函数 | 在(0，＋∞)上是减函数 | ||
4.3 幂函数
(1)幂函数的定义：一般地，形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数.
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