隐函数求导公式的证明（精选6篇）
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篇一：反三角函数求导公式的证明一
一、反函数的导数
设x
在间I x 假定x =ϕ(y ) 在I y 内单调、可导，而且ϕ’(y ) ≠0，则反函数y =f (x ) =ϕ(y ) 是直接函数，y =f (x ) 是它的反函数，={x |x =ϕ(y ), y ∈I y }内也是单调、可导的，而且f ‘(x ) =1 ϕ’(y ) 证明： ∀x ∈I x x ，给
于是x 以增量 x ( x ≠0, x + x ∈I x ) 由y =因直接函数x f (x ) 在 I x 上的单调性可知 y =f (x + x ) -f (x ) ≠0x y 1= x y =ϕ(y ) 在I y 上单调、可导，故它是连续的，且反函数y =f (x ) 在I x 上
也是连续的，
当 x →0时，必有 y →01∆y 11即：f ‘(x ) = =lim = x →0∆x x →0 y ϕ’(y ) ϕ’(y )
x lim
【例1】 试证明下列基本导数公式
(1)(arcsinx )’ =(2)(arctanx )’ =11+x 2(3)(loga x )’ =1 x ln a
证1、设x =sin y 为直接函数，y =arcsin x 是它的反函数函数x =sin y 在 I y =(-
有 (arcsinx )’ ==(-1,1) 上，ππ, ) 上单调、可导，且 x ‘ =cos y ≠0 22因此，在 I x 1cos y 注意到，当y ∈(-ππ, ) 时，cos y >
0，cos y ==22
因此，
(arcsinx )’ =
证2 设x
1, ) 则y =arctan x , I x =(-∞, +∞) x =tan y 在 I y 上单调、可导且 x ‘ =>0故222cos y 111(arctanx )’ ==cos 2y == (tany )’ 1+tan 2y 1+x 2=tan y ，I y =(-ππ
证3 (loga x )’ =11= (a y )’ a y ln a
类似地，我们可以证明下列导数公式：
(arccosx )’ =(arctanx )’ =-11+x 2(lnx )’ =1 x
二、复合函数的求导法则
如果u =ϕ(x ) 在点x 0可导，而y =f (u ) 在点u 0=ϕ(x 0) 可导，则复合函数y =f [ϕ(x )]在点x 0可导，且导数为dy =f ‘(u 0) ∙ϕ’(x 0) dx x =x 0
证明：因 u →∞lim =f ‘(u 0) ，由极限与无穷小的关系，有 y =f ‘(u 0) u +α u (当 u →0时，α→0)
用 x
由u ≠0去除上式两边得：dy u u =f ‘(u 0) ∙+αdx x x , =ϕ(x ) 在x 0的可导性有： x →0⇔ u →0lim α=lim α=0
x →∞ u →∞
∆y ∆u ∆u ∆u ∆u =lim [f ‘(u 0) ∙+α]=f ‘(u 0) ∙lim +lim α∙lim x →∞∆x x →∞ x →0∆x x →0 x →0∆x ∆x ∆x lim dy =f ‘(u 0) ∙ϕ’(x 0) dx x =x 0
上述复合函数的求导法则可作更一般的叙述：若u =ϕ(x ) 在开区间I x 可导，y =f (u ) 在开区间I u 可导，且∀x ∈I x 时，对应的
dy dy du =∙ (2) u ∈I u ，则复合函数u =f [ϕ(x )]在I x 内可导，且dx du dx
y =f {φ[ϕ(x )]}，求
引入中间变量， 设 v
变量关系是 【例2】dy dx =φ(x ), u =ϕ(v ) ，于是 y =f (u ) y -u -v -x ，由锁链规则有：
dy dy du dv =∙∙ dx du dv dx
【例3】求y =sin 2x 的导数dy 。 dx
解：设 u =2x ，则y =sin u ，u =2x ：

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