第四章 三角恒等变换
1　同角三角函数的基本关系
学 习 任 务
核 心 素 养
1．理解同角三角函数的基本关系式sin2x＋cos2x＝1，＝tan x．(重点、难点)
2．会运用以上两个基本关系式进行求值、化简、证明．(重点、难点)
1．通过对同角三角函数基本关系式的推导，培养学生逻辑推理素养．
2．通过利用三角函数基本关系式求值、化简和证明，培养学生数学运算素养．
气象学家洛伦兹1963年提出一种观点：南美洲亚马逊河流域热带雨林中的一只蝴蝶，偶尔扇动几下翅膀，可能在两周后引起美国德克萨斯的一场龙卷风．这就是理论界闻名的“蝴蝶效应”，此效应本意是说事物初始条件的微弱变化可能会引起结果的巨大变化．蝴蝶扇翅膀成为
龙卷风的．从中我们还可以看出，南美洲亚马逊河流域热带雨林中的一只蝴蝶与北美德克萨斯的龙卷风看来是毫不相干的两种事物，却会有这样的联系，这也正验证了哲学理论中事物是普遍联系的观点．
蝴蝶效应
问题　既然感觉毫不相干的事物都是相互联系的，那么“同一个角”的三角函数一定会有非常密切的关系！到底是什么关系呢？
知识点　同角三角函数的基本关系
1.同角三角函数基本关系式中的角α是任意的实数吗？
提示：角α应该使基本关系式有意义，即在平方关系：sin2α＋cos2α＝1中，角α是任意的实数；在商数关系：tanα＝ 中，角α满足α≠＋kπ，k∈Z.
2．由同角三角函数基本关系式变形可得sin α＝±，cosα＝±，那么正负号由谁决定？
提示：由角α所在的象限决定．
1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)sin2α＋cos2β＝1.        (  )
(2)sin2＋cos2＝1.        (  )
(3)对任意的角α，都有tanα＝成立．    (  )
(4)若cos α＝0，则sin α＝1.        (  )
[答案]　(1)×　(2)√　(3)×　(4)×
2.已知sin α＝，α∈(0，π)，则tan α等于(  )
A．      B．
C．±        D．±
D　[∵sin α＝，α∈(0，π)，∴cos α＝±＝±，∴tanα＝＝±.]
类型1　由一个三角函数值求其他三角函数值
【例1】　(教材北师版P138例1改编)(1)已知cos α＝－，求sin α，tan α的值．
(2)已知sin α＋cos α＝，α∈(0，π)，则tan α＝________．
(1)[解]　∵cos α＝－<0，且cos α≠－1，∴α是第二或第三象限角，
①当α是第二象限角时，则sin α＝ ＝＝，
tan α＝＝＝－.
②当α是第三象限角时，则sin α＝－＝－，tanα＝.
(2)－　[∵sin α＋cos α＝，∴(sin α＋cos α)2＝，
即2sin αcos α＝－<0，
又α∈(0，π)，则sin α>0，cos α<0，
∴α∈，
故sin α－cos α＝＝，
可得sin α＝，cos α＝－，tan α＝－.]
三角函数求值的方法
(1)同角三角函数的关系揭示了同角三角函数之间的基本关系，其常用的用途是“知一求二”，即在sin α，cos α，tan α三个值之间，知道其中一个可以求其余两个．解题时要注意角α的象限，从而判断三角函数值的正负．
(2)已知三角函数值之间的关系式求其它三角函数值的问题，我们可利用平方关系或商数关系求解，其关键在于运用方程的思想及(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α的等价转化，到解决问题的突破口．
1．已知tan sec cot csc 表示什么α＝，且α是第三象限角，求sin α，cos α的值．
[解]　由tan α＝＝，得sin α＝cos α.    ①
又sin2α＋cos2α＝1，        ②
由①②得cos2α＋cos2α＝1，即cos2α＝.
又α是第三象限角，∴cosα＝－，sin α＝cos α＝－.
类型2　三角函数式求值

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