第二章 三角函數的基本概念
２-１　銳角的三角函數
２-２　三角函數的基本性質
銳角三角函數：
定義：在直角?ABC中，?C為直角，設? a，? b，? c，?A的六個
　銳角三角函數定義如下：
　正弦：sinA ?  　餘弦：cosA ?
　正切：tanA ?  　餘切：cotA ?
　正割：secA ?  　餘割：cscA ?
餘角關係式：在直角?ABC中，?C為直角，則可得：
　sinA ? cosB ； cosA ? sinB ；
　tanA ? cotB ； cotA ? tanB ；
　secA ? cscB ； cscA ? secB 。
基本恆等式：
倒數關係：sinA ? ； cosA ? ； tanA ?。
商數關係：tanA ? ； cscA ?。
平方關係：sin2A ? cos2A ? 1；1 ? tan2A ? sec2A；1 ? cot2A ? csc2A。
設? 為銳角，若3sin? ? 4cos?，求tan? ? cot? ?？
解：tan? ?，cot? ?  ∴所求???。
若45? ? ? ? 90?，且tan? ? cot? ?，求下列各式之值：
sin? ? cos? ?？　sin? ? cos? ?？　csc? ? sec? ?？　cos? ? sin? ?？
解：∵sin? cos? ?，(sin? ? cos? )2 ? 1 ? 2 ?。
∴sin? ? cos? ?。
csc? ? sec? ?。
(cos? ? sin? )2 ? 1 ?  ∴cos? ? sin? ?。
若? 為銳角，且3cos2? ? 8sin?，則?？
解：3(1 – sin2? ) ? 8sin?，3sin2? ? 8sin? ? 3 ? 0
(sin? ? 3)(3sin? ? 1) ? 0，sin? ?或?3 (不合)
故原式?。
( 精 選 類 題 (
試求下列各式之值：
4cot2 45? ? sec2 60? ? sin2 30? ?？
cot2 30? ? 3sin2 60? ? 2sec2 60? ?tan2 30? ?？ 答：　?2
如右圖，?B為銳角，求sinB ?？
答：
設3 ? 2為x2 – (tan? ? cot? )x ? 1 ? 0之一根，則sin? cos? ?______。 答：
如圖，若0 ? ? ?，與為單位圓O的切線段，試
以sin?，cos?，tan?，cot?，sec?，csc? 表示以下線段長：
?______，?______，?______，
?______，?______，?______。
答：? csc?，? sec?，? sin?，? cot?，? cos?，? tan?
２-３　廣義的三角函數
有向角（廣義角）：
具有方向性的角，我們稱之為有向角或廣義角。其決定因素有三：
始邊　
旋轉方向及旋轉量　
終邊
規定：逆時針方向為正向，稱為正角；順時針方向為負向，稱為負角。
同界角：
設? 為一個有向角，則所有? ? 360? ? n這樣的角都稱做是? 的同界角。
廣義角的三角函數：
設? 為任意有向角，在角? 之終邊上任取異於原點O之一點P，設其坐標為(x, y)，則角? 之六個三角函數定義為：
sin? ?，cos? ?；
tan? ?，cot? ?（x、y ? 0，且r ?）
sec? ?，csc? ?
三角函數的計算公式：
sin(?? ) ? ?sin?  sin(180? ? ? ) ? sin?  sin(180? ? ? ) ? ?sin?
cos(?? ) ? cos?  cos(180? ? ? ) ? ?cos?  cos(180? ? ? ) ? ?cos?
tan(?? ) ? ?tan?  tan(180? ? ? ) ? ?tan?  tan(180? ? ? ) ? tan?
cot(?? ) ? ?cot?  cot(180? ? ? ) ? ?cot?  cot(180? ? ? ) ? cot?
sec(?? ) ? sec?  sec(180? ? ? ) ? ?sec?  sec(180? ? ? ) ? ?sec?
csc(?? ) ? ?csc?  csc(180? ? ? ) ? csc?  csc(180? ? ? )
? ?csc?
三角函數值的範圍：
?1 ? sin? ? 1，?1 ? cos? ? 1。
tan? , cos? ? R。
sec? ? 1 or sec? ? ?1，csc? ? 1 or csc? ? ?1。
設P(x, y)表角? 終邊上異於(0, 0)之點，若y ? 4且cos? ?，求?？
解：∵cos? ?　∴x ?（取負），? 11。
試回答下列問題：
點(cot 320?, sec 320?)在第幾象限？
若? 非象限角，且tan? ? 0，cos? ? 0，則點(cos?, sin? )在第幾象限？
解：(?, ?)為第二象限角。
? 為第三象限角　∴(cos?, sin? ) ==> (?, ?)亦為第三象限角。
設sin 86? ? a，試以a表示sin 1976?。
解： sin1976?=cos86?=。
已知4cos2 – 8cos? ? 5 ? 0，且tan? ? 0，求sin? ? cos? ?？
解：(2cos? ? 5)(2cos? ? 1) ? 0，cos? ?  ∴sin? ? cos? ??? 1。
若函數f (x) ? 2cos2 x ? 5sin x – 2之最大值為M，最小值為m，求M ?？m ?？
解：令y ? f (x) ? 2(1 – sin2 x) ? 5sin x – 2 ? ?2(sin x ?)2 ?，?1 ? sin x ? 1
當sin s ? 1，M ? 3；當sin x ? ?1，m ? ?7。
( 精 選 類 題 (
如右圖，，?ABC ? 30?，，則sin 15? ?______，cos 15? ?______。
答：，
試求?______。 答：?1
試求?1520?之最小正同界角______，最大負同界角為______。 答：280?，?80?
已知tan? ?且cos? ? cot? ? 0，則?______。 答：
若180? ? ? ? 360?，且，則sin? ? cos? ?______。 答：
計算下列各式：
cos 60? ? tan 135? ?cot2 30? ? sin 210? ? csc 270? ?？
(1 ? cot2 168?) sin2(?12?) ?？
?______。
答：　1　?1
若sin? ? cos? ?，則
sin? cos? ?______  sin? ? cos? ?______  sin3? ? cos3? ?______。
答：　　
若sin? ? cos? ?，且sin?，cos? 為2x2 ? px ? q ? 0之兩根，則p2 – 8q ?______。
答：
２-４　正弦定理與餘弦定理
三角形面積公式：
設?ABC中，? c，? a，? b，若?表?ABC之面積，則
? ?ab sin C ?bc sin A ?ac sin B。
正弦定理：
?ABC中，，其中R為?ABC之外接圓半徑。
餘弦定理：
在?ABC中，? c，? a，? b，則
三角形中線定理：
在?ABC中，為上的中線，則。
平行四邊形定理：
平行四邊形中，兩對角線的平方和等於四邊長之平方和。
若?ABC中，(b ? c)：(c ? a)：(a ? b) ? 7：5：6，則：
sinA：sinB：sinC ?？　sinC ?？
解：∵a：b：c ? 2：4：3　∴sinA：sinB：sinC ? 2：4：3。
由餘弦定理：cosC ?　∴sinC ?。
若?ABC中，三邊長? 5，? 7，? 8，則：
?ABC之面積為何？　?CAB ?？　?ABC之外接圓半徑為何？
?ABC之內切圓半徑為何？　中線長?？　角平分線?？
解：? ?。
cosA ?  ∴A ? 60?。
  ∴R ?。
r ? (5 ? 7 ? 8) ?，r ?。
49 ? 25 ? 2(16 ?)  ∴。
由?ABD ? ?ACD ? ?ABC，
　? 5x sin 30? ?? 8x sin 30? ?? 5 ? 8 sin 60?，得? x ?。
?ABC中，若邊長a ? 3，b ? 4，且tanA ?，則邊長c ?？
解：cosA ?，5c2 – 32c ? 35 ? 0，
(c – 5)(5c – 7)
? 0，c ? 5或。
圓內接四邊形ABCD中，若? 5，? 2，=3，?B ? 60?，則?？
解：? 9 ? 25 – 2 ? 15 cos 60? ? 19，設? x，
又? 4 ? x2 – 2 ? 2x ? cos 120?，得? x ? 3 (?5不合)。
( 精 選 類 題 (
設?ABC中，若a – 2b ? c ? 0，3a ? b – 2c ? 0，則：
a：b：c ?？　sinA：sinB：sinC ?？　cosB ?？
若a ? 6，則?ABC之外接圓半徑為何？
若a ? 6，則?ABC之內切圓半徑為何？
答：3：5：7　3：5：7　　　
?ABC中，若三邊長為6、5、4，則
?ABC面積為______  內切圓半徑為______  外接圓半徑為______。
答：　　
?ABC中，若，? 3 ?，?A ? 45?，則?ABC之外接圓半徑
R ?______。 答：
平行四邊形ABCD中，? 6，? 8，則?______。 答：200
?ABC中，? 5，? 6，? 7，若為邊上之中線長，則?______。
答：
?ABC中，若?A ? 120?，? 4，? 12，則?A的角平分線?______。
答：3
?ABC中，若5a ? 2b – 5c ? 0，3a – 12b ? 8c ? 0，則sinA：sinB：sinC ?______，cosA：cosB：cosC ?______。 答：4：5：6，12：9：2
?ABC中，若? 2，，?A ? 150?，則?______。 答：2
?ABC中，若，，?C ? 60?，?______。 答：
?ABC中，? 2，? 1，?A ? 30?，求?C ?______。 答：105?
２-５　三角函數的近似值與三角測量
簡易測量：
名詞解釋：當眼睛平視物體時，俯仰角度為零；仰望高處目標時，視線與水平線
    　的夾角稱為仰角；俯視低處目標時，視線與水平線的夾角稱為俯角。
方位：
如下圖所示，觀測者在O點，則A點的方位是「北23?東」、B點是「北38?西」、C點是「南42?西」、D點是「南54?東」，而「北45?東」、「北45?西」、「南45?東」，而「北45?東」、「北45?西」、「南45?東」、「南45?西」則分別稱為東北、西北、東南、西南。
單位換算：
1?（度）? 60?（分）；1?（分）? 60??（秒）。
如右圖，小傑在運動場A點處測得旗杆杆頂T之仰角
為30?，他朝旗杆走10公尺至B點後，再測得T仰角
為45?，問他再朝旗杆走多遠後，與T點仰角會變成60?？
解：設桿長? x ?
∵tan30? ?，x ? 5(? 1)
∴，故(m)。
在湖邊上離水面2公尺處，觀測對面塔頂之仰角為30?，觀測塔頂之水面映像之俯角為45?，則塔頂高出水面之高度為何？
解：如右圖，設? x　∴? x – 2，
且? x ? 2，故(x – 2) ? x ? 2，
∴x ? (? 1)2 ? 4 ? 2(m)。
有一船經正東方航行，在其左側發現二燈塔A、B，經測其方位，A在北30?西，B在北60?東，該船行駛1200公尺，再測A、B，發現A在北60?西，B在正北方，求二燈塔之距離？
解：在?APQ中，?PAQ ? ?AQP ? 30?  ∴? 1200
在?PBQ中，，∵?APB ? 90?
∴在?APB中，。
( 精 選 類 題 (
已知?ABC三邊，? 7，? 5，? 3，延長至D，
如右圖所
示，使? 2，則?______。
答：
一塔高為20公尺，在塔的北45?東A處和南15?東B處各有一觀測站，分別測出塔的仰角為60?和30?，則?______公尺。 答：20
地面上A、B兩點分別測得山頂之仰角為45?與30?，若山底為C，?ACB ? 150?，? 70公尺，則山高為______。 答：10m
在某地測得立於山上之塔的頂點與基底，仰角各為45?及30?，向山走近90公尺，測得塔頂的仰角為75?，則山高為______公尺。 答：15(3 ?)
地面上有A、B、C三點，A在B的正南方，C在B的正東方，有一塔在B之正西方，由A、B、C三點測得塔頂之仰角分別為45?、60?及30?，若? 100公尺，則?______公尺，塔高為______公尺。 答：100，塔高50
一船在湖上等速直線前進，已知上午9時50分，此船在觀測點O的北70?西，離O點2浬處；上午10時10分則在觀測點北50?東，離O點1浬處，
求此船的時速　在這段時間內此船離觀測點O點最近距離為______。
答：3　
有一山高150公尺，在此山的正南方有一A點而在其南60?西有另一B點，若在此山上測得A、B兩點之俯角分別為75?及45?，求A、B兩點之間的距離為______。
答：150
一塔高150公尺，在塔的東30?北A點及東60?南B點各有一觀測站，測出塔之仰角分別為60?及45?，則A、B二點之距離為______。 答：100
於相距1000公尺之兩地A、B觀測氣球C之高度，於A測得?BAC ? 75?，氣球之仰角為30?，於B測得?ABC ? 60?，求氣球C之高度？ 答：250m
在坐標平面的x軸上有A(2, 0)，B(?4, 0)兩觀測站，同時觀察在x軸上方的一目標C點，測得?BAC及?ABC之值後，通知在D(, ?8)的砲台此兩個角的正切值分別為及。那麼砲台D至目標C的距離為何？ 答：13
三角函數值表
角　度 sin cos tan cot sec csc  0?00?
10?
20?
30?
40?
50? .0000
.0029
.0058
.0087
.0116
.
0145 1.0000
1.0000
1.0000
1.0000
.9999
.9999 .0000
.0029
.0058
.0087
.0116
.0145 ?????????
343.8
171.9
114.6
85.94
68.75 1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000 ?????????
343.8
171.9
114.6
85.95
68.76 90?00?
50?
40?
30?
20?
10?        1?00?
10?
20?
30?
40?
50? .0175
.0204
.0233
.0262
.0291
.0320 .9998
.9998
.9997
.9997
.
9996
.9995 .0175
.0204
.0233
.0262
.0291
.0320 57.29
49.10
42.96
38.19
34.37
31.24 1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.001 57.30
49.11
42.98
38.20
34.38
31.26 89?00?
50?
40?
30?
20?
10?        2?00?
10?
20?
30?
40?
50? .0349
.0378
.
0407
.0436
.0494
.0494 .9994
.9993
.9992
.9990
.9988
.9988 .0349
.0378
.0407
.
0437
.0466
.0495 28.64
26.43
24.54
22.90
21.47
20.21 1.001
1.001
1.001
1.001
1.001
1.001 28.65
26.45
24.56
22.93
21.49
20.23 88?00?
50?
40?
30?
20?
10?        3?00?
10?
20?
30?
40?
50? .0523
.0552
.0581
.0610
.0640
.0669 .9986
.
9985
.9983
.9981
.9980
.9978 .0524
.0553
.0582
.0612
.0641
.0670 19.08
18.07
17.17
16.35
15.60
14.92 1.001
1.002
1.002
1.002
1.002
1.002 19.11
18.10
17.20
16.38
15.64
14.96 87?00?
50?
40?
30?
20?
10?        4?00?
10?
20?
30?
40?
50? .0698
.0727
.0756
.0785
.0814
.0843 .9976
.9974
.9971
.9969
.9967
.
9964 .0699
.0729
.0758
.0787
.0816
.0846 14.30
13.73
13.20
12.71
12.25
11.83 1.002
1.003
1.003
1.003
1.003
1.004 14.34
13.76
13.23
12.75
12.29
11.87 86?00?
50?
40?
30?
20?
10?        5?00?
10?
20?
30?
40?
50? .0872
.0901
.0929
.
0958
.0987
.1016 .9962
.9959
.9957
.9954
.9951
.9948 .0875
.0904
.0934
.0963
.
0992
.1022 11.43
11.06
10.71
10.39
10.08
9.788 1.004
1.004
1.004
1.005
1.005
1.005 11.47
11.10
10.76
10.43
10.13
9.839 85?00?
50?
40?
30?
20?
10?        6?00?
10?
20?
30?
40?
50? .1045
.1074
.1103
.1132
.1161
.1190 .9945
.9942
.
9939
.9936
.9932
.9929 .1051
.1080
.1110
.1139
.1169
.1198 9.514
9.255
9.010
8.777
8.556
8.345 1.006
1.006
1.006
1.006
1.007
1.007 9.567
9.309
9.065
8.834
8.614
8.405 84?00?
50?
40?
30?
20?
10?        7?00?
10?
20?
30?
40?
50? .1219
.1248
.1276
.1305
.1334
.1363 .9925
.9922
.9918
.9914
.9911
.9907 .1228
.
1257
.1287
.1317
.1346
.1376 8.144
7.953
7.770
7.596
7.429
7.269 1.008
sec cot csc 表示什么
1.008
1.008
1.009
1.009
1.009 8.206
8.016
7.834
7.661
7.496
7.337 83?00?
50?
40?
30?
20?
10?        8?00?
10?
20?
30?
40?
50?
9?00? .1392
.1421
.1449
.
1478
.1507
.1536
.1564 .9903
.9899
.9894
.9890
.9886
.9881
.9877 .1405
.1435
.
1465
.1495
.1524
.1554
.1584 7.115
6.968
6.827
6.691
6.561
6.435
6.314 1.010
1.010
1.011
1.011
1.012
1.012
1.012 7.185
7.040
6.900
6.765
6.636
6.512
6.392 82?00?
50?
40?
30?
20?
10?
81?00?  cos sin cot tan csc sec 角　度 三角函數值表
角　度 sin cos tan cot sec csc  9?00?
10?
20?
30?
40?
50? .1564
.1593
.1622
.1650
.1679
.1708 .9877
.9872
.9868
.9863
.9858
.
9853 .1584
.1614
.1644
.1673
.1703
.1733 6.314
6.197
6.084
5.976
5.871
5.769 1.012
1.013
1.013
1.014
1.014
1.015 6.392
6.277
6.166
6.059
5.955
5.855 81?00?
50?
40?
30?
20?
10?        10?00?
10?
20?
30?
40?
50? .1736
.1765
.1794
.
1822
.1851
.1880 .9848
.9843
.9838
.9833
.9827
.9822 .1763
.1793
.1823
.1853
.
1883
.1914 5.671
5.576
5.485
5.396
5.309
5.226 1.015
1.016
1.016
1.017
1.018
1.018 5.759
5.665
5.575
5.487
5.403
5.320 80?00?
50?
40?
30?
20?
10?        11?00?
10?
20?
30?
40?
50? .1908
.1937
.1965
.1994
.2022
.2051 .0916
.9811
.
9805
.9799
.9793
.9787 .1944
.1974
.2004
.2035
.2065
.2095 5.145
5.066
4.989
4.915
7.843
4.773 1.019
1.019
1.020
1.020
1.021
1.022 5.241
5.164
5.089
5.016
4.945
4.876 79?00?
50?
40?
30?
20?
10?        12?00?
10?
20?
30?
40?
50? .2079
.2108
.2136
.2164
.2193
.2221 .9781
.9775
.9769
.9763
.9757
.9750 .2126
.
2156
.2186
.22
17
.2247
.2278 4.705
4.638
4.574
4.511
4.449
4.390 1.022
1.023
1.024
1.024
1.025
1.026 4.810
4.745
4.682
4.620
4.560
4.502 78?00?
50?
40?
30?
20?
10?        13?00?
10?
20?
30?
40?
50? .2250
.2278
.2306
.
2334
.2363
.2391 .9744
.97.7
.9730
.9724
.9717
.9710 .2309
.2339
.2370
.2401
.
2432
.2462 4.331
4.275
4.219
4.165
4.113
4.061 10.26
1.027
1.028
1.028
1.029
1.030 4.445
4.390
4.336
4.284
4.232
4.182 77?00?
50?
40?
30?
20?
10?        14?00?
10?
20?
30?
40?
50? .2419
.2447
.2476
.2504
.2532
.2560 .9703
.9696
.
9689
.9681
.9674
.9667 .2493
.2524
.2555
.2586
.2617
.2648 4.011
3.962
3.914
3.867
3.821
3.776 1.031
1.031
1.032
1.033
1.034
1.034 4.134
4.086
4.039
3.994
3.950
3.906 76?00?
50?
40?
30?
20?
10?        15?00?
10?
20?
30?
40?
50? .2588
.2616
.2644
.2672
.2700
.2728 .9659
.9652
.9644
.9636
.9628
.9621 .2679
.
2711
.2742
.2773
.2805
.2836 3.732
3.689
3.647
3.606
3.566
3.226 1.035
1.036
1.037
1.038
1.039
1.039 3.864
3.822
3.782
3.742
3.703
3.665 75?00?
50?
40?
30?
20?
10?        16?00?
10?
20?
30?
40?
50? .2756
.2784
.2812
.2840
.
2868
.2896 .9613
.9605
.9596
.9588
.9580
.9572 .2867
.2899
.2931
.2962
.2994
.
3026 3.487
3.450
3.412
3.376
3.340
3.305 1.040
1.041
1.042
1.043
1.044
1.045 3.628
3.592
3.556
3.521
3.487
3.453 74?00?
50?
40?
30?
20?
10?        17?00?
10?
20?
30?
40?
50?
18?00? .2924
.2952
.2979
.3007
.3035
.3062
.3090 .9563
.
9555
.9546
.9537
.9528
.9520
.9511 .3057
.3089
.3121
.3153
.3185
.3217
.
3249 3.271
3.237
3.204
3.172
3.140
3.108
3.078 1.046
1.047
1.048
1.049
1.049
1.050
1.051 3.420
3.388
3.356
3.326
3.295
3.265
3.236 73?00?
50?
40?
30?
20?
10?
72?00?  cos sin cot tan csc sec 角　度 三角函數值表
角　度 sin cos tan cot sec csc  18?00?
10?
20?
30?
40?
50? .3090
.3118
.3145
.
3173
.3201
.3228 .9511
.9502
.9492
.9483
.9474
.9465 .3249
.3281
.3314
.3346
.
3378
.3411 3.078
3.047
3.018
2.989
2.960
2.932 1.051
1.052
1.053
1.054
1.056
1.057 3.236
3.207
3.176
3.152
3.124
3.098 72?00?
50?
40?
30?
20?
10?        19?00?
10?
20?
30?
40?
50? .3256
.3283
.3311
.3338
.3365
.3393 .9455
.9446
.
9436
.9426
.9417
.9407 .3443
.3476
.3508
.3541
.3574
.3607 2.904
2.877
2.850
2.824
2.798
2.773 1.058
1.059
1.060
1.061
1.062
1.063 3.072
3.046
3.021
2.996
2.971
2.947 71?00?
50?
40?
30?
20?
10?        20?00?
10?
20?
30?
40?
50? .3420
.3448
.3475
.3502
.3529
.3557 .9397
.9387
.9377
.9367
.9356
.9346 .3640
.
3673
.3706
.3739
.3772
.3805 2.747
2.723
2.699
2.675
2.651
2.628 1.064
1.065
1.066
1.068
1.069
1.070 2.924
2.901
2.878
2.855
2.833
2.812 70?00?
50?
40?
30?
20?
10?        21?00?
10?
20?
30?
40?
50? .3584
.3611
.3638
.3665
.
3692
.3719 .9336
.9325
.9315
.9304
.9293
.9283 .3839
.3872
.3906
.

版权声明：本站内容均来自互联网，仅供演示用，请勿用于商业和其他非法用途。如果侵犯了您的权益请与我们联系QQ:729038198，我们将在24小时内删除。