初等函数在定义域中连续
内容概要
一. 连续的定义
二．常见的初等函数举例
三．以上所举初等函数是否在定义域中连续
并举例证明几个初等函数的连续性
四．以上所举初等函数的复合函数（也是初等函数）
是否有连续性并举例证明
五．我们从中得到的定理
一．连续的定义
（一）设函数f在某U（X0）内有定义，若f(x)=f(x0)，则称f在点X0连续
（二）即函数在定义域中每一点满足
      1． 左极限 和 右极限 存在
      2． 左极限等于右极限
      3． 左极限与右极限等于这一点的函数值
二．常见的初等函数举例
（一）概念
  初等函数是由幂函数(power function)、指数函数(exponential function)、对数函数(logarithmic function)、三角函数(trigonometric function)、反三角函数(inverse trigonometric     function)与常数经过有限次的有理运算（加、减、乘、除、有理数次乘方、有理数次开方）及有限次函数复合所产生、并且能用一个解析式表示的函数。
  英文：elementary function
  它是最常用的一类函数，包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数（以上是基本初等函数），以及由这些函数经过有限次四则运算或函数的复合而得的所有函数。
  还有一系列双曲函数也是初等函数，如sinh 的名称是双曲正弦或超正弦, cosh 是双曲余弦或超余弦, tanh 是双曲正切、coth 是双曲余切、sech 是双曲正割、csch 是双曲余割。初等函数在其定义区间内连续。
（二）实例介绍
1． 常数函数
对定义域中的一切x对应的函 数值都取某个固定常数 的函数。
2． 指数函数
形如y＝a^x的函数，式中a为不等于1的正常数。
3． 幂函数
  形如y＝x^a的函数，式中a为实常数 。
4． 对数函数
  指数函数的反函数，记作，式中a为不等于1的正常数。指数函数与对数函数之间成 立关系式，=X。
5． 三角函数
  即正弦函数y＝sinx ，余弦函数y＝cosx ，正切函数y＝tanx，余切函数y＝cotx ，正割函数y＝secx，余割 函数y＝cscx。
6． 反三角函数
  三角函数 的反函数 ——反正弦函数y ＝ arc sinx ，反 余 弦函数 y＝arc cosx （－1≤x≤1，
初等函数
0≤y≤π） ，反 正 切 函数 y=arc tanx ， 反余切函数 y ＝ arc cotx（－∞ ＜x＜＋∞ ，θ＜y＜π ） 等 。 以上这些函数常统称为基本初等函数。
  双曲正弦或超正弦sinh x =(e^x- e^（-x)）/2
  双曲余弦或超余弦cosh x =(e^x + e^(－x))/2
  双曲正切tanh x =sinh x / cosh x
  双曲余切coth x = 1 / tanh x
  双曲正割sech x = 1 / cosh x
  双曲余割csch x = 1 / sinh x
  一个初等函数，除了可以用初等解析式表示以外，往往还有其他表示形式，例如 ，三角函数 y＝sinx 可以用无穷级数表为 初等函数可以按照解析表达式分类为： 初等函数是最先被研究的一类函数，它与人类的生产和生活密切相关，并且应用广泛。为了方便，人们编制了各种函数表，如平方表、开方表、对数表、三角函数表等
（三）基本初等函数的范围
  包括代数函数和超越函数。基本初等函数是实变量或复变量的指数函数、对数函数、幂函数、三角函数和反三角函数经过有限次四则运算及有限次复合后所构成的函数类。这是分析学中最常见的函数，在研究函数的一般理论中起着很重要的作用。
  实变量初等函数 定义域为实数域的初等函数。 有理函数 实系数多项式称为整有理函数。其中最
初等函数
简单的是线性函数 y=α0+α1x，它的图形是过y轴上y=α0点的斜率为α1的直线。二次整有理函数y=α0+α1x+α2x2的图形为抛物线。两个整有理函数之比　(1)称为分式有理函数。其中最简单的是其图形为双曲线。整有理函数和分式有理函数统称有理函数。有理函数起源于代数学。 求有理函数的反函数则可产生代数函数。如y=xn的反函数为　三角函数和反三角函数 这是起源于几何学的最简单的超越函数。高等分析学中计量角度的方法是所谓弧度法,
即以单位圆周上的弧段量度相应的圆心角。三角函数是sinx、cosx以及由它们导出的 和它们的定义如图1所示。sinx和cosx在 x=0处的泰勒展式为　(2)　(3)它们的收敛半径为。sinx、cosx、tanx、cotx 、secx 、cosecx的反函数分别为 arcsinx、 arccosx、 arctanx、arccotx、arcsecx、arccosecx(或记为sin-1x、 cos-1x、tan-1x、cot-1x、sec-1x、cosec-1x),
初等函数图形所有反三角函数图像
并称为反三角函数。 指数函数和对数函数 设α为一正数，则y=αz表示以α为底的指数函数（图2）。其反函数y＝logαx称为以α为底的对数函数(图3)。特别当α=e时称y=ez（或expx）和y=logαx=lnx（或logx）为指数函数和对数函数。logx能由下面的积分式定义它表
示由双曲线 、下由t轴、左右分别由t=1和t=x两直线所围的面积。由此可知当x在正实轴上变化时，y=logx取值在实轴上，且log1=0。它是x的增函数,导数。此外logx满足加法定理，即log(x1·x2)=logx1+logx2。初等函数 初等函数　对数函数的反函数指数函数ex是定义在实轴上取值于正实数的增函数，且 e0＝1。 ex的导数与它本身相同。此外ex满足乘法定理，即 。ex在x=0处的泰勒展式为。　(4)　双曲函数和反双曲函数 由指数函数经有理运算可导出双曲函

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