三角、反三角函数图像
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1. 六个三角函数值在每个象限的符号：
2. 三角函数的图像和性质：
y=cosx
y=tanx
y
y
y=cotx
3 -
2
-
2
o
2
3 2
x -
-
2
o
2
3
2 2
x
函数
y=sinx y=cosx y=tanx
y=cotx
定义域
R
R
{x ｜x ∈R 且 x ≠
k π+ ,k ∈Z
2
{x ｜x ∈R 且 x ≠
k π ,k ∈ Z}
值域
[-1 ，1]x=2kπ+ 时
2
y max =1
x=2k π - 时 y min =-1
2
[ -1,1 ]
x=2k π时 y max =1
x=2k π +π时 y min =-1 R 无最大值 无最小值
R 无最大值 无最小值 周期性
周期为 2π 周期为 2π 周期为π 周期为π 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 奇函数
tan α· cot α
y=sinx
-5
-52
-4 -7 -3 -2 -3 -
2
3
2 o 2 2
sin α· csc
cos α· sec 7
2
2
单调性
在
[ 2kπ - ,2k π+ ] 22
上都是增函数；在
2
[ 2kπ+ ,2k π+ 23
π]上都是减函数
(k∈Z)
在[2kπ - π，
2kπ]上都是增函
数；在[ 2kπ，
2kπ+π]上都是
减函数(k ∈Z)
在（kπ - ，
2
kπ+ ）内都是
2 增函数（k
∈Z）
在(k π，kπ
+π) 内都是减函
数
(k ∈Z)
3.反三角函数的图像和性质：
名称反正弦函数反余弦函数反正切函数反余切函数
定义y=sinx(x ∈
〔- , 〕的反
22 函数，叫做
反正弦函数，记作
x=arsiny
y=cosx(x ∈
〔0, π〕) 的反
函数，叫做反余
弦函数，记作
x=arccosy
y=tanx(x ∈(- ,
2
) 的反函数，叫
2 做反正切函数，
记作x=arctany
y=cotx(x ∈
(0, π )) 的反
函数，叫做反余
切函数，记作
x=arccoty
理解arcsinx 表示属于
[ - , ]
22 且正弦值等
于x 的角
arccosx 表示属
于[ 0，π]，且
余弦值等于x 的
角
arctanx 表示属于
(- , ) ，且正切
22
值等于x 的角
arccotx 表示属
于(0 ，π)且余
切值等于x 的角
性质定义域[-1，1] [-1，1] （- ∞，+∞）（- ∞， +∞）值域
[ - ， ]
22 [0，π]
（- ，）
22 （0 ，π）
单调性
在〔-1 ，1〕上是增
函数
在[-1 ，1]上是
减函数
在(- ∞，+∞) 上是
增数
在(- ∞，+∞)
上是减函数
arcsin(-x)=-arcsinx arccos(-x)= π -arccosx
arctan(-x)=-arctanx arccot(-x)= π -arccotx arcsinx+arccosx=arctanx+arccotx= π/2
sin(arcsinx)=cos(arccosx)=tan(arctanx)=cot(arccotx)=x π /2] arcsin(sinx)=x
arccos(cosx)=x π/2) arctan(tanx)=x
arccot(cotx)=x
当 x ∈[- π /2, x ∈ [0, π] x ∈ (- π/2, x ∈ (0,
π)
三角公式总表
1. 正弦定理 ： a  = b  = c
= 2R （R 为三角形外接圆半径） sin A sinB sinC
2. 余弦定
理：    a 2 =b 2 +c 2 -2bc cosA b 2 =a 2 +c 2 -2ac cosB c 2 =a 2 +b 2 -2ab cosC 222
bca
cosA 1 （其中 p 21
（a b c ） , r 为三角形内切圆半径 ）
4. 同角关系：
⑴商的关系：
① tg =
sin =
sin sec ②
ctg cos cos csc
cos
sin
③
sin
cos tg
④
sec    1 tg
csc
cos
⑤
cos
sin ctg
⑥
csc
1 ctg sec
sin
⑵倒数关sin csc
cos sec tg ctg
1
5. 和差角公式
⑶平方关
系：
2 sin 2 cos 2
sec 2
tg 2
csc 2
ctg 2
1
⑷ asin bcos
a 2
b 2
sin( )
（其中辅助角 与点（ a,b ）在同一象限，
且
tg
b
）
1 1 1 1 ⊿= a h a = ab sin C = bc sinA = ac sin B =
2 22 2sin A 2sinB abc 2
=2R2
sin A sinB sinC
2 4R
2 c sin Asin B
=pr= p(p a)(p b)(p c) 2sinC
①
sin( ③ tg( ⑤ tg( sin cos cos sin
tg tg
1 tg tg
tg tg tg tg
② cos(
④ tg tg
tg tg
) cos cos sin sin
tg( )(1 tg tg )
1 tg tg tg tg tg tg
其中当A+B+C=π 时,
有:
i). tgA tgB tgC tgA tgB tgC ii
).
AB
tg
2
tg
2
A C
B
C tg2tg 2 tg
2tg 2
1
① sin2 2sin cos
2tg 1 tg 2
② cos2
22 cos sin
2 2cos
③ tg2
2tg 1 tg 2
④ sin2
所有反三角函数图像tg 2 1 cos2 1 tg2  2
6. 二倍角公式：（含万能
公式）
1
7. 半角公式：符号的选择
由
⑤  2
cos
2sin2
1 tg2
1 tg2
1 cos2
①sin
21 cos
2
③cos
2 1 cos
2
⑤ 1 cos 2sin 2
2 ⑦ 1 sin cos
2
⑧tg
21 cos
cos
8. 积化和差公式：
所在的象限确
定）
2 ②sin2
2
④ cos22
⑥ 1 cos
2
sin2)2
si
n
1
cos
cos sin
22
1 cos
sin
①sin cos sin(
2
)sin( )
② cos sin 1 sin(
2
)sin( )
③ cos c os 1 cos(
2 )
cos( )
④sin sin 1 cos( )cos
9. 和差化积
公式：
① sin si
n
2sin cos
22
②sin si
n 2cos sin
22
③ cos cos 2cos cos
22
④ cos cos 2sin si
n 1 cos
2
1 cos
2
2
2cos
2
22

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