三角函数的定义
直角坐标系中定义
直角三角形定义
a, b, h 为角A的对边、邻边和斜边在笛卡尔平面上f(x) = sin(x) 和f(x) = cos(x) 函数的
图像。
单位圆定义
所有反三角函数图像
六个三角函数也可以依据半径为一中心为原点的单位圆来定义。单位圆定义在实际计算上没有大的价值；实际上对多数角它都依赖于直角三角形。但是单位圆定义的确允许三角函数对所有正数和负数辐角都有定义，而不只是对于在 0 和π/2 弧度之间的角。它也提供了一个图像，把所有重要的三角函数都包含了。根据勾股定理，单位圆的等式是：
对于大于 2π或小于−2π的角度，可直接继续绕单位圆旋转。在这种方式下，正弦和余弦变成了周期为 2π的周期函数：
级数定义
只使用几何和极限的性质，可以证明正弦的导数是余弦，余弦的导数是负的正弦。（在微积分中，所有角度都以弧度来度量）。我们可以接着使用泰勒级数的理论来证明下列恒等式对于所有实数x都成立：
这些恒等式经常被用做正弦和余弦函数的定义。它们经常被用做三角函数的严格处理和应用的起点（
比如，在傅立叶级数中），因为无穷级数的理论可从实数系的基础上发展而来，不需要任何几何方面的考虑。这样，这些函数的可微性和连续性便可以单独从级数定义来确立。
在这种形式的表达中，分母是相应的阶乘，分子称为“正切数”，它有一个组合解释：它们枚举了奇数势的有限集合的交错排列（alternating permutation）。
在这种形式的表达中，分母是对应的阶乘，而分子叫做“正割数”，有组合解释：它们枚举偶数势的有限集合的交错排列。
从复分析的一个定理得出，这个实函数到复数有一个唯一的解析扩展。它们有同样的泰勒级数，所以复数上的三角函数是使用上述泰勒级数来定义的。
与指数函数和复数的联系
可以从上述的级数定义证明正弦和余弦函数分别是复指数函数在它的自变量为纯虚数时候的虚数和实数部分：
这个联系首先由欧拉注意到，叫做欧拉公式。在这种方式下，三角函数在复分析的几何解释中变成了本质性的。例如，通过上述恒等式，如果考虑在复平面中 eix 所定义的单位圆，同上面一样，我们可以根据余弦和正弦来把这个圆参数化，复指数和三角函数之间联系就变得更加明显了。
进一步的，这样就可以定义对复自变量 z 的三角函数：
这里还有对于纯实数 x，
微分方程定义
正弦和余弦函数都满足微分方程
就是说，每个都是它自己的二阶导数的负数。在由所有这个方程的解的二维向量空间 V 中，正弦函数是满足初始条件 y(0) = 0 和 y′(0) = 1 的唯一解，而余弦函数是满足初始条件y(0) = 1 和 y′(0) = 0 的唯一解。因为正弦和余弦函数是线性无关的，它们在一起形成了 V 的基。这种定义正弦和余弦函数的方法本质上等价于使用欧拉公式。（参见线性微分方程）。很明显这个微分方程不只用来定义正弦和余弦函数，还可用来证明正弦和余弦函数的三角恒等式。进一步的，观察到正弦和余弦函数满足意味着它们是二阶算子的特征函数。正切函数是非线性微分方程
满足初始条件y(0) = 0 的唯一解。有一个非常有趣的形象证明，证明了正切函数满足这个微分方程；参见 Needham 的《Visual Complex Analysis》。
利用函数方程定义三角函数
在数学分析中，可以利用基于和差公式这样的性质的函数方程来定义三角函数。例如，取用给定此种公式和毕达哥拉斯恒等式，可以证明只有两个实函数满足这些条件。即存在唯一的一对实函数 sin 和 cos 使得对于所有实数 x 和 y，下列方程成立
并满足附加条件
从其他函数方程开始的推导也是可能的，这种推导可以扩展到复数。作为例子，这个推导可以用来定义伽罗瓦域中的三角学。
***************************************************************************** 三角函数中有一些常用的特殊函数值。
同角三角函数的基本关系式
诱导公式
两角和与差的三角函数公式
三角函数的降幂公式

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