三⾓函数
⾓θ的所有三⾓函数
三⾓函数（Trigonometric）是数学中属于初等函数中的超越函数的⼀类函数。它们的本质是任意⾓的集合与⼀个⽐值的集合的变量之间的映射。通常的三⾓函数是在平⾯直⾓坐标系中定义的，其定义域为整个实数域。另⼀种定义是在直⾓三⾓形中，但并不完全。现代数学把它们描述成⽆穷数列的极限和微分⽅程的解，将其定义扩展到复数系。它包含六种基本函数：正弦、余弦、正切、余切、正割、余割。由于三⾓函数的周期性，它并不具有单值函数意义上的反函数。三⾓函数在复数中有较为重要的应⽤。在物理学中，三⾓函数也是常⽤的⼯具。⽬录
定义
罕见三⾓函数
单位圆定义
级数定义
三⾓函数线
起源
三⾓学问题的提出
独⽴三⾓学的产⽣
现代三⾓学的确认
“正弦”的由来
“弦表”问世
60进制
特殊⾓的三⾓函数
同⾓三⾓函数关系式
诱导公式
对称轴与对称中⼼
两⾓和与差的三⾓函数
和差化积公式
积化和差公式
倍⾓公式
三倍⾓公式
n倍⾓公式
半⾓公式
辅助⾓公式
万能公式
三⾓和的三⾓函数
特殊⾓的三⾓函数值幂级数
泰勒展开式
三⾓函数的数值符号相关概念
三⾓形与三⾓函数
定义域和值域
三⾓函数的画法
初等三⾓函数导数
倍半⾓规律
反三⾓函数
⾼等应⽤
总体情况
复数域内性质
性质定理
正弦定理
余弦定理
正切定理
应⽤：⼀元三次⽅程复数三⾓函数三⾓函数常见考法
定义
罕见三⾓函数
单位圆定义
级数定义
三⾓函数线
起源
三⾓学问题的提出
独⽴三⾓学的产⽣
现代三⾓学的确认“正弦”的由来“弦表”问世
60进制
特殊⾓的三⾓函数
同⾓三⾓函数关系式诱导公式
对称轴与对称中⼼
两⾓和与差的三⾓函数和差化积公式积化和差公式
倍⾓公式
n倍⾓公式
辅助⾓公式
万能公式
降幂公式
三⾓和的三⾓函数
特殊⾓的三⾓函数值
幂级数
泰勒展开式
傅⽴叶级数
三⾓函数的数值符号
相关概念
三⾓形与三⾓函数
定义域和值域
三⾓函数的画法
初等三⾓函数导数
倍半⾓规律
反三⾓函数
⾼等应⽤
总体情况
复数域内性质
性质定理
正弦定理
余弦定理
所有反三角函数图像
正切定理
应⽤：⼀元三次⽅程
复数三⾓函数
三⾓函数常见考法
展开
编辑本段定义
如右图，当平⾯上的三点A、B、C的连线，AB、AC、BC，构成⼀个直⾓三⾓形，其中∠ACB为直⾓。对于AB与AC的夹⾓∠BAC⽽⾔：
Rt△ABC
对边（opposite）a=BC
斜边（hypotenuse）h=AB
邻边（adjacent）b=AC
注：tan、cot曾被写作tg、ctg，现已不⽤这种写法。
罕见三⾓函数
除了上述六个常见的函数，还有⼀些不常见的三⾓函数：
versin
单位圆定义
六个三⾓函数也可以依据半径为1中⼼为原点的单位圆来定义。单位圆定义在实际计算上没有⼤的价值；实际上对多数⾓它都依赖于直⾓三⾓形。但是单位圆定义的确允许三⾓函数对所有正数和负数辐⾓都有定义，⽽不只是对于在0 和π/2 弧度之间的⾓。它也提供了⼀个图像，把所有重要的三⾓函数都包含了。根据勾股定理，
三⾓函数
单位圆的⽅程是：x^2+y^2=1
图像中给出了⽤弧度度量的⼀些常见的⾓。逆时针⽅向的度量是正⾓，⽽顺时针的度量是负⾓。设⼀个过原点的线，同x轴正半部分得到⼀个⾓θ，并与单位圆相交。这个交点的x和y坐标分别等于cosθ和sinθ。图像中的三⾓形确保了这个公式；半径等于斜边且长度为1，所以有sinθ= y/1 和cosθ= x/1。单位圆可以被视为是通过改变邻边和对边的长度，但保持斜边等于1的⼀种查看⽆限个三⾓形的⽅式。
对于⼤于2π或⼩于等于2π的⾓度，可直接继续绕单位圆旋转。在这种⽅式下，正弦和余弦变成了周期为2π的周期函数：对于任何⾓度θ和任何整数k。
周期函数的最⼩正周期叫做这个函数的“基本周期”。正弦、余弦、正割或余割的基本周期是全圆，也就
是2π弧度或360°；正切或余切的基本周期是半圆，也就是π弧度或180°。上⾯只有正弦和余弦是直接使⽤单位圆定义的，其他四个三⾓函数的定义如图所⽰。
其他四个三⾓函数的定义
在正切函数的图像中，在⾓kπ附近变化缓慢，⽽在接近⾓(k+ 1/2)π的时候变化迅速。正切函数的图像在θ = (k+ 1/2)π有垂直渐近线。这是因为在θ从左侧接进(k+ 1/2)π的时候函数接近正⽆穷，⽽从右侧接近(k+ 1/2)π的时候函数接近负⽆穷。
三⾓函数
另⼀⽅⾯，所有基本三⾓函数都可依据中⼼为O的单位圆来定义，类似于历史上使⽤的⼏何定义。特别是，对于这个圆的弦AB，这⾥的θ是对向⾓的⼀半，sin θ是AC（半弦），这是印度的阿耶波多介⼊的定义。cosθ是⽔平距离OC，versin θ=1-cosθ是CD。tanθ是通过A的切线的线段AE的长度，所以这个函数才叫正切。cotθ是另⼀个切线段AF。secθ=OE 和cscθ=OF 是割线（与圆相交于两点）的线段，所以可以看作OA沿着A 的切线分别向⽔平和垂直轴的投影。DE是exsecθ= secθ-1（正割在圆外
的部分）。通过这些构造，容易看出正割和正切函数在θ接近π/2的时候发散，⽽余割和余切在θ接近零的时候发散。编辑本段级数定义
只使⽤⼏何和极限的性质，可以证明正弦的导数是余弦，余弦的导数是负的正弦。（在微积分中，所有⾓度都以弧度来度量）。我们可以接着使⽤泰勒级数的理论来证明下列恒等式对于所有实数x都成⽴：
这些恒等式经常被⽤做正弦和余弦函数的定义。它们经常被⽤做三⾓函数的严格处理和应⽤的起点（⽐如，在傅⾥叶级数中），因为⽆穷级数的理论可从实数系的基础上发展⽽来，不需要任何⼏何⽅⾯的考虑。这样，这些函数的可微性和连续性便
可以单独从级数定义来确⽴。
其他级数可见于：
注：Un是n次上/下数，
Bn是n次伯努利数，
编辑本段三⾓函数线
依据单位圆定义，我们可以做三个有向线段（向量）来表⽰正弦、余弦、正切的值。
如图所⽰，圆O是⼀个单位圆，P是α的终边与单位圆上的交点，M点是P在x轴的投影，S(1,0)是圆O与x轴正半轴的交点，过S 点做圆O的切线l。
那么向量MP对应的就是α的正弦值，向量OM对应的就是余弦值。OP的延长线（或反向延长线）与l的交点为T，则向量ST对应的就是正切值。向量的起⽌点不能颠倒，因为其⽅向是有意义的。
借助线三⾓函数线，我们可以观察到第⼆象限⾓α的正弦值为正，余弦值为负，正切值为负。
1．锐⾓三⾓函数定义
锐⾓⾓A的正弦（sin），余弦（cos）和正切（tan），余切（cot）以及正割（sec），（余割csc）都叫做⾓A的锐⾓三⾓函数。
正弦（sin）等于对边⽐斜边；
余弦（cos）等于邻边⽐斜边；
正切（tan）等于对边⽐邻边；
余切（cot）等于邻边⽐对边；
正割（sec)等于斜边⽐邻边；
余割(csc)等于斜边⽐对边。
2．互余⾓的三⾓函数关系
sin(90°-α)=cosα，cos(90°-α)=sinα,
tan(90°-α)=cotα，cot(90°-α)=tanα。
3．同⾓三⾓函数间的关系
商数关系：
sinA/cosA=tanA
·
平⽅关系：
sin^2(A)+cos^2(A)=1
·积的关系：
sinA=tanA·cosA
cosA=cotA·sinA
cotA=cosA·cscA
tanA·cotA=1
·倒数关系：
直⾓三⾓形ABC中
⾓A的正弦值就等于⾓A的对边⽐斜边，

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