函数（function）表示每个输入值对应唯一输出值的一种对应关系。函数f中对应输入值的输出值x的标准符号为f(x)。包含某个函数所有的输入值的集合被称作这个函数的定义域，包含所有的输出值的集合被称作值域。若先定义映射的概念，可以简单定义函数为，定义在非空数集之间的映射称为函数。
简介
  函数是数学中的一种对应关系，是从非空数集A到实数集B的对应。简单地说，甲随着乙变，甲就是乙的函数。精确地说，设X是一个非空集合，Y是非空数集 ，f是个对应法则 ， 若对X中的每个x，按对应法则f，使Y中存在唯一的一个元素y与之对应 ， 就称对应法则f是X上的一个函数，记作y＝f（x），称X为函数f（x）的定义域，集合{y|y=f（x），x∈R}为其值域（值域是Y的子集），x叫做自变量，y叫做因变量，习惯上也说y是x的函数。对应法则和定义域是函数的两个要素。
  注意：对应法则并不等同于函数，因为运算法则并不依赖于某个定义域，它可以作用域任何一个非空集合，如f(●)=2×●+1，x={1,2},y={3,5},u={3,4},v={7,9},则f(x)=y,f(u)=v。由此可见，对应法则是独立于特定定义域之外的一个运算法则。运算法则或者称对应法则可以作为
算子独立存在如微分算子，而函数则必须有其特定的定义域才有意义，否则不能称之为函数。
函数相关概念
  我们称数值发生变化的量叫变量。有些数值是不随变量而改变的，我们称他们为常量。
  自变量，函数一个与他量有关联的变量，这一量中的任何一值都能在他量中到对应的固定值。
  因变量(函数)，随着自变量的变化而变化，且自变量取唯一值时，因变量(函数)有且只有唯一一值与其相对应。
  由映射定义　
  设A和B是两个非空集合，如果按照某种对应关系f，对于集合A中的任何一个元素a，在集合B中都存在唯一的一个元素b与之对应，那么，这样的对应（包括集合A，B，以及集合A到集合B的对应关系f）叫做集合A到集合B的映射(Mapping)，记作f：A→B。其中，b称为a
在映射f下的象，记作：b=f(a); a称为b关于映射f的原象。集合A中多有元素的像的集合记作f(A)。
  则有：定义在非空数集之间的映射称为函数。（函数的自变量是一种特殊的原象，因变量是特殊的象）
几何含义
  函数与不等式和方程存在联系（初等函数）。令函数值等于零，从几何角度看，对应的自变量是图像与X轴交点；从代数角度看，对应的自变量是方程的解。另外，把函数的表达式（无表达式的函数除外）中的“=”换成“<”或“ >”，再把“Y”换成其它代数式，函数就变成了不等式，可以求自变量的范围。
函数的集合论（关系）定义
  如果X到Y的二元关系fÍX×Y，对于每个x∈X，都有唯一的y∈Y，使得<x,y>∈f，则称f为X到Y的函数，记做：f:X→Y。
  当X=X1×…×Xn时，称f为n元函数。
  其特点：
  前域和定义域重合；
  单值性：<x,y>∈f∧<x,y’>∈f →y=y’
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定义域、对映域和值域
  输入值的集合X被称为f 的定义域；可能的输出值的集合Y被称为f 的
  陪域。函数的值域是指定义域中全部元素通过映射f 得到的实际输出值的集合。注意，把对映域称作值域是不正确的，函数的值域是函数的对映域的子集。
  计算机科学中，参数和返回值的数据类型分别确定了子程序的定义域和对映域。因此定义域和对映域是函数一开始就确定的强制约束。另一方面，值域和实际的实现有关。
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单射、满射与双射函数
  单射函数，将不同的变量映射到不同的值。即：若x和y属于定义域，则仅当x = y时有f（x）= f（y）。
  满射函数，其值域即为其对映域。即：对映射f的对映域中之任意y，都存在至少一个x满足f（x）= y。
  双射函数，既是单射的又是满射的。也叫一一对应。双射函数经常被用于表明集合X和Y是等势的，即有一样的基数。如果在两个集合之间可以建立一个一一对应，则说这两个集合等势。
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三角函数
  三角函数（Trigonometric），是数学中属于初等函数中的超越函数的一类函数。它们的本质是任意角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。通常的三角函数是在平面直角坐
标系中定义的，其定义域为整个实数域。另一种定义是在直角三角形中，但并不完全。现代数学把它们描述成无穷数列的极限和微分方程的解，将其定义扩展到复数系。它包含六种基本函数：正弦、余弦、正切、余切、正割、余割。由于三角函数的周期性，它并不具有单值函数意义上的反函数。三角函数在复数中有较为重要的应用。在物理学中，三角函数也是常用的工具。
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像和原象
  元素x∈X在f 的像 就是f（x）。
  子集A⊂X 在f 的像是以其元素的像组成Y的子集，即
  f(A) := {f(x) : x ∈ A}。
  注意f 的值域就是定义域X 的像f（X）。在我们的例子里，{2,3}在f 的像是f({2, 3}) = {c, d}而f 的值域是{c, d}。
  根据此定义，f 可引申成为由X 的幂集（由X 的子集组成的集）到Y 的幂集之函数，亦记作f。
  子集B ⊂ Y在f 的原像（或逆像）是如下定义X的子集：
  f −1(B) := {x ∈ X : f(x)∈B}。
  在我们的例子里，{a, b}的原像是f −1({a, b}) = {1}。
  根据此定义，f −1是由Y 的幂集到X 的幂集之函数。
  以下是f 及f −1的一些特性：
  f(A1 ∪ A2) = f(A1) ∪ f(A2).
  f(A1 ∩ A2) ⊆ f(A1) ∩ f(A2). f −1(B1 ∪ B2) = f −1(B1) ∪ f −1(B2). f −1(B1 ∩ B2) = f −1(B1) ∩ f −1(B2). f(f −1(B)) ⊆ B. f −1(f(A)) ⊇ A. 这些特性适合定义域的任意子集A, A1及A2和输出值域的任意子集B, B1及B2，甚至可推广到任意子集的交集和并集。
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函数图像
  函数f 的图像是平面上点对（x,f（x））的集合，其中x取定义域上所有成员的。函数图像可以帮助理解证明一些定理。
  如果X 和Y 都是连续的线，则函数的图像有很直观表示
  注意两个集合X 和Y 的二元关系有两个定义：一是三元组（X,Y,G），其中G 是关系的图；二是索性以关系的图定义。用第二个定义则函数f 等于其图象。
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函数的性质
函数的有界性
  设函数f(x)的定义域为D，数集X包含于D。如果存在数K1，使得f(x)＜=K1对任一x∈X都成立，则称函数f(x)在X上有上界，而K1称为函数f(x)在X上的一个上界。如果存在数K2，使得
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f(x)>=K2对任一x∈X都成立，则称函数f(x)在X上有下界，而K2称为函数f(x)在X上的一个下界。如果存在正数M，使得|f(x)|<=M对任一x∈X都成立，则称函数f(x)在X上有界，如果这样的M不存在，就称函数f(x)在X上无界。
  函数f(x)在X上有界的充分必要条件是它在X上既有上界又有下界。
函数的单调性
  设函数f(x)的定义域为D，区间I包含于D。如果对于区间I上任意两点x1及x2，当x1<x2时，恒有f(x1)<f(x2)，则称函数f(x)在区间I上是单调增加的；如果对于区间I上任意两点x1及x2，当x1<x2时，恒有f(x1)>f(x2)，则称函数f(x)在区间I上是单调减少的。单调增加和单调减少的函数统称为单调函数。
函数的奇偶性
  设f(x)为一个实变量实值函数，则f为奇函数若下列的方程对所有实数x都成立：
  f(x) = − f( − x) 或 f( − x) = − f(x) 几何上，一个奇函数对原点对称，亦即其图在绕原点做180度旋转后不会改变。
  奇函数的例子有x、sin(x)、sinh(x)和erf(x)。
  设f(x)为一实变量实值函数，则f为偶函数若下列的方程对所有实数x都成立：
  f(x) = f( − x) 几何上，一个偶函数会对y轴对称，亦即其图在对y轴为镜射后不会改变。
  偶函数的例子有|x|、x、x^2、cos(x)和cosh(sec)(x)。
  偶函数不可能是个双射映射。
函数的周期性
 
狄利克雷函数
设函数f(x)的定义域为D。如果存在一个正数l，使得对于任一x∈D有(x士l)∈D，且f(x+l)=f(x)恒成立，则称f(x)为周期函数，l称为f(x)的周期，通常我们说周期函数的周期是指最小正周期。
  并非每个周期函数都有最小正周期，例如狄利克雷（Dirichlet）函数。
函数的连续性
  在数学中，连续是函数的一种属性。直观上来说，连续的函数就是当输入值的变化足够小的时候，输出的变化也会随之足够小的函数。如果输入值的某种微小的变化会产生输出值的一个突然的跳跃甚至无法定义，则这个函数被称为是不连续的函数（或者说具有不连续性）。
  设f 是一个从实数集的子集 射到 的函数：。f 在 中的某个点c 处是连续的当且仅当以下的两个条件满足：
  f 在点c 上有定义。 c 是 中的一个聚点，并且无论自变量x 在 中以什么方式接近c，f(x) 的极限都存在且等于f(c)。 我们称函数到处连续或处处连续，或者简单的连续，如果它在其
定义域中的任意点处都连续。更一般地，我们说一个函数在它定义域的子集上是连续的当它在这个子集的每一点处都连续。
  不用极限的概念，也可以用下面所谓的 方法来定义实值函数的连续性。
  仍然考虑函数。假设c是f的定义域中的元素。函数f被称为是在c 点连续当且仅当以下条件成立：
  对于任意的正实数，存在一个正实数δ > 0 使得对于任意定义域中的， 只要x满足c − δ < x < c + δ，就有 成立。
实函数或虚函数
  实函数（Real function），指定义域和值域均为实数域的函数。实函数的特性之一是可以在座标上画出图形。
  虚函数是面向对象程序设计中的一个重要的概念。当从父类中继承的时候，虚函数和被继承的函数具有相同的签名。但是在运行过程中，运行系统将根据对象的类型，自动地选择适当的具体实现运行。虚函数是面向对象编程实现多态的基本手段。
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函数概念的发展历史
1.早期函数概念——几何观念下的函数
  十七世纪伽俐略(G．Galileo，意，1564－1642)在《两门新科学》一书中，几乎全部包含函数或称为变量关系的这一概念，用文字和比例的语言表达函数的关系。1673年前后笛卡尔(Descartes，法，1596－1650)在他的解析几何中，已注意到一个变量对另一个变量的依赖关系，但因当时尚未意识到要提炼函数概念，因此直到17世纪后期牛顿、莱布尼兹建立微积分时还没有人明确函数的一般意义，大部分函数是被当作曲线来研究的。
  1673年，莱布尼兹首次使用“function” （函数）表示“幂”，后来他用该词表示曲线上点的横坐标、纵坐标、切线长等曲线上点的有关几何量。与此同时，牛顿在微积分的讨论中，使用 “流量”来表示变量间的关系。

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