二、八、十、十六之间的转换
1、 十进制与二进制之间的转换
〔1〕 十进制转换为二进制,分为整数部分和小数部分
① 整数部分
方法：除2取余法,即每次将整数部分除以2,余数为该位权上的数,而商继续除以2,余数又为上一个位权上的数,这个步骤一直持续下去,直到商为0为止,最后读数时候,从最后一个余数读起,一直到最前面的一个余数.下面举例：
例：将十进制的168转换为二进制
得出结果 将十进制的168转换为二进制,〔10101000〕2
分析:第一步,将168除以2,商84,余数为0.
第二步,将商84除以2,商42余数为0.
第三步,将商42除以2,商21余数为0.
第四步,将商21除以2,商10余数为1.
第五步,将商10除以2,商5余数为0.
第六步,将商5除以2,商2余数为1.
第七步,将商2除以2,商1余数为0.
第八步,将商1除以2,商0余数为1.
第九步,读数,因为最后一位是经过多次除以2才得到的,因此它是最高位,读数字从最后的余数向前读,即10101000
〔2〕 小数部分
方法：乘2取整法,即将小数部分乘以2,然后取整数部分,剩下的小数部分继续乘以2,然后取整数部分,剩下的小数部分又乘以2,一直取到小数部分
支持小数点的进制转换器
为零为止.如果永远不能为零,就同十进制数的四舍五入一样,按照要求保留多少位小数时,就根据后面一位是0还是1,取舍,如果是零,舍掉,如果是1,向入一位.换句话说就是0舍1入.读数要从前面的整数读到后面的整数,下面举例：
例1：将0.125换算为二进制
得出结果：将0.125换算为二进制〔0.001〕2
分析：第一步,将0.125乘以2,得0.25,则整数部分为0,小数部分为0.25;
第二步, 将小数部分0.25乘以2,得0.5,则整数部分为0,小数部分为0.5;
第三步, 将小数部分0.5乘以2,得1.0,则整数部分为1,小数部分为0.0;
第四步,读数,从第一位读起,读到最后一位,即为0.001.
例2,将0.45转换为二进制〔保留到小数点第四位〕
大家从上面步骤可以看出,当第五次做乘法时候,得到的结果是0.4,那么小数部分继续乘以2,
得0.8,0.8又乘以2的,到1.6这样一直乘下去,最后不可能得到小数部分为零,因此,这个时候只好学习十进制的方法进行四舍五入了,但是二进制只有0和1两个,于是就出现0舍1入.这个也是计算机在转换中会产生误差,但是由于保留位数很多,精度很高,所以可以忽略不计.
那么,我们可以得出结果将0.45转换为二进制约等于0.0111
上面介绍的方法是十进制转换为为二进制的方法,需要大家注意的是：
1〕 十进制转换为二进制,需要分成整数和小数两个部分分别转换
2〕 当转换整数时,用的除2取余法,而转换小数时候,用的是乘2取整法
3〕 注意他们的读数方向
因此,我们从上面的方法,我们可以得出十进制数168.125转换为二进制为10101000.001,或者十进制数转换为二进制数约等于10101000.0111.
〔3〕 二进制转换为十进制 不分整数和小数部分
方法：按权相加法,即将二进制每位上的数乘以权,然后相加之和即是十进制数.例
将二进制数101.101转换为十进制数.
得出结果：〔101.101〕2=<5.625>10
大家在做二进制转换成十进制需要注意的是
1〕 要知道二进制每位的权值
2〕 要能求出每位的值
2、 二进制与八进制之间的转换
首先,我们需要了解一个数学关系,即2^3=8,2^4=16,而八进制和十六进制是用这
关系衍生而来的,即用三位二进制表示一位八进制,用四位二进制表示一位十六进制数.
接着,记住4个数字8、4、2、1〔2^3=8、2^2=4、2^1=2、2^0=1〕.现在我们来练习二进制与八进制之间的转换.
〔1〕 二进制转换为八进制
方法：取三合一法,即从二进制的小数点为分界点,向左〔向右〕每三位取成一位,接着将这三位二进制按权相加,得到的数就是一位八位二进制数,然后,按顺序进行排列,小数点的位置不变,得到的数字就是我们所求的八进制数.如果向左〔向右〕取三位后,取到最高〔最低〕位时候,如果无法凑足三位,可以在小数点最左边〔最右边〕,即整数的最高位〔最低位〕添0,凑足三位.例
①将二进制数101110.101转换为八进制
得到结果：将101110.101转换为八进制为56.5
② 将二进制数1101.1转换为八进制
得到结果：将1101.1转换为八进制为15.4
〔2〕 将八进制转换为二进制
方法：取一分三法,即将一位八进制数分解成三位二进制数,用三位二进制按权相加去凑这位八进制数,小数点位置照旧.例：
① 将八进制数67.54转换为二进制
因此,将八进制数67.54转换为二进制数为110111.101100,即110111.1011
大家从上面这道题可以看出,计算八进制转换为二进制
首先,将八进制按照从左到右,每位展开为三位,小数点位置不变
然后,按每位展开为2^2,2^1,2^0〔即4、2、1〕三位去做凑数,即a×2^2+ b×2^1 +c×2^0=该位上的数〔a=1或者a=0,b=1或者b=0,c=1或者c=0〕,将abc排列就是该位的二进制数
接着,将每位上转换成二进制数按顺序排列
最后,就得到了八进制转换成二进制的数字.
以上的方法就是二进制与八进制的互换,大家在做题的时候需要注意的是
1〕 他们之间的互换是以一位与三位转换,这个有别于二进制与十进制转换
2〕 大家在做添0和去0的时候要注意,是在小数点最左边或者小数点的最右边〔即整数的最
高位和小数的最低位〕才能添0或者去0,否则将产生错误
3、 二进制与十六进制的转换
方法：与二进制与八进制转换相似,只不过是一位〔十六〕与四位〔二进制〕的转换,下面具体讲解
〔1〕 二进制转换为十六进制
方法：取四合一法,即从二进制的小数点为分界点,向左〔向右〕每四位取成一位,接着将这四位二进制按权相加,得到的数就是一位十六位二进制数,然后,按顺序进行排列,小数点的位置不变,得到的数字就是我们所求的十六进制数.如果向左〔向右〕取四位后,取到最高〔最低〕位时候,如果无法凑足四位,可以在小数点最左边〔最右边〕,即整数的最高位〔最低位〕添0,凑足四位.

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