九、二进制
  同学们在进行整数四则计算时，用的都是十进制，即“满10进一”，对于其他进制则感到陌生。实际上，你只要留心一下，在我们的日常生活中，不仅使用十进制，还使用其他许多进制呢！你不信？我举一些例子。
  两只袜子为一双，两只水桶为一对，这里使用的是二进制；十二支铅笔为一打，十二个月算一年，这里使用的是十二进制；六十秒是一分，六十分是一时，这里使用的是六十进制；二十四时为一天，这里使用的是二十四进制；100平方分米等于一平方米，100平方厘米等于一平方分米，这里使用的是一百进制；1000米等于一千米，1000克等于1千克，这里使用的是一千进制；……。
  怎么样？实际上还可以发现更多的这样的例子。
  随着科学技术的发展，数字电子计算机的使用日益普遍，每位同学可能都使用过电子计算器吧？可是你们要知道，计算器内部进行的计算就使用的是二进制数。我们经常和计算器打交道，应该懂一些二进制数方面的知识。
  1.什么叫二进制
  所谓二进制，就是只用0与1两个数字，在计数与计算时必须是“满二进一”。即每两个相同的单位组成一个和它相邻的较高的单位（所以任意一个二进制数只需用“0”与“1”表示就够了）。例如：2在二进制中是10；3写成二进制数是11；4写成二进制数便是100，那么5呢？应该是101。
  同学们按照“逢二进一”（或“满二进一”）的法则，很容易得到以下两种进制的数字的对照表：
表1
  二进制的最大优点是：每个数的各个数位上只有两种状态——0或1。这样，我们便可以通过简单的方法，例如白与黑、虚与实、负与正、点与划、小与大、暗与亮（在计算机中主要用电压的高与低）等等手段加以表示。下面表2中列出了在二进制中13的几种不同表示方法。
表2
  当然，二进制也有不足，正如大家看到的那样，同一个数在二进制中要比在十进制中位数多得多。
60进制计算器  2.十进制与二进制的互相转化
  今天，当我们写上一个数目1997时，实际上意味着我们使用了“十进制”数，即
  1997=1×1000+9×100＋9×10+7×1
  也就是说：1997中含有一个1000，九个100，九个10与七个1。
  在表1中可以看到：二进制数10表示十进制数2；二进制数100，表示十进制数4；二进制数1000，表示十进制数8；二进制数10000表示十进制数16；…；可以看出规律：二进制数100000应该表示十进制数32，…。那么我们写下一个二进制数10110，则应表示它含有一个16，一个4与一个2，也就是
  10110=1×16+0×8+1×4+1×2+0×1
  明白了上面所说的两点，则二进制与十进制之间的转化的道理就容易懂了。为了叙述的方便，我们约定：用（ ）2表示括号内写的数是二进制数，如（1011）2；用（ ）10表示括号中写的数是十进制数，如（37）10。
例1 把（10110）2改写成十进制数。
解 （10110）2=1×16+0×8＋1×4+1×2+0×1
  =16＋4+2
  =（22）10
例2 把（1110101）2改写成十进制数。
  分析：因为位数太多，我们先从低位写起。
解 （1110101）2=1×1+0×2+1×4+0×8+1×16+1×32+1×64
  =1+4+16+32＋64
  ＝（117）10
  从上面两道例题可以看到：将一个二进制数写成十进制数的第一步骤是：将二进制数的各数位上数字改写成相应的十进制数。因为是“满二进一”，所以高位是相邻低一位数的2倍。一个二进制数的各个数位（由低位到高位）对应十进制数的规律是：
  1，2，4，8，16，32，64，128，256，512，1024，…
  第二个步骤是将各数位上对应的十进制数求和，所得结果便是相应的十进制数。再看一题。
例3 将（110100111）2改写成十进制数。
  分析：还是由低位写起。
解 （110100111）2=1×1+1×2+1×4＋0×8+0×16＋1×32＋0×64＋1×128＋1×256
  =1+2＋4+32+128+256
  ＝（423）10
  下面我们介绍如何将一个十进制数改写成相应的二进制数。
例4 把（60）10改写成二进制数。
解 （60）10=32＋28
  =32+16+12
  =32＋16＋8＋4
  =32+16+8＋4+0×2＋0×1
  =（111100）2
  说明：从解题过程中立即便能看出，将十进制数写成二进制数的过程，正好与将二进制数改写成十进制数的过程相反：先由高位开始考虑，将十进制数尽可能地凑出相应二进制数的最高位，然后逐步往下进行。
例5 把（45）10改写成二进制数。
  分析：（45）10不足64，所以它对应的二进制数的最高位是32，即45=32＋13，剩下的13不足16，则向下一位考虑。45=32＋0×16＋（8＋5），剩下的5中包含一个4，即45=32＋0×16＋8＋4＋1，最后一位数是1，又不足2，所以对应的二进位数又空一位。
解 （45）10=32＋0×16＋8＋4＋0×2＋1
  =（101101）2
  练一练：
  （1）将（31）10改写成二进制数；
  （2）将（78）10改写成二进制数。
  下面我们再介绍一种将十进制数写成二进制数的常用方法——除二倒取余法。例如要将（71）10写成二进制数，参见下式。我们将71除以2，余数1相应写在右边（如果除尽，余数则写0）；再将商35除以2，余数1相应写在右边；再将这步的商17除以2，重复上述过程，直到商等于1为止。并且最后一步的商“1”也写到右边余数那一列的最下面。最后将这列余数由下到上写成一行数，这行数便是（71）10的二进制数表示法。即
  （71）10=（1000111）2
例6 用除二倒取余法将（38）10写成二进制数。
解 ∵
  　
  ∴（38）10＝（100110）2
例7 用两种方法将（107）10改写成二进制数。
解 方法一
  （107）10=64+43
  =64＋32+11
  =64＋32＋0×16+8+3
  =64＋32+0×16＋8＋0×4+2+1
  ＝（1101011）2
  方法二 ∵
    　
  ∴（107）10=（1101011）2

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