数学必修1-5常用公式及结论
必修1： 一、集合1、含义与表示：（1）集合中元素的特征：确定性，互异性，无序性
（2）集合的分类；有限集，无限集 （3）集合的表示法：列举法，描述法，图示法
2、集合间的关系：子集：对任意，都有 ，则称A是B的子集。记作
真子集：若A是B的子集，且在B中至少存在一个元素不属于A，则A是B的真子集，
记作AB 集合相等：若：,则
3. 元素与集合的关系：属于 不属于： 空集：
4、集合的运算：并集：由属于集合A或属于集合B的元素组成的集合叫并集，记为
交集：由集合A和集合B中的公共元素组成的集合叫交集，记为
补集：在全集U中，由所有不属于集合A的元素组成的集合叫补集，
记为
5．集合的子集个数共有 个；真子集有–1个；非空子集有 –1个；
6.常用数集：自然数集：N 正整数集： 整数集：Z 有理数集：Q 实数集：R
二、函数的奇偶性
1、定义： 奇函数 <=> f (– x ) = – f ( x ) ，偶函数 <=> f (–x ) = f ( x )（注意定义域）
2、性质：（1）奇函数的图象关于原点成中心对称图形；
（2）偶函数的图象关于y轴成轴对称图形；
（3）如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；
（4）如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数是偶函数．
二、函数的单调性
1、定义：对于定义域为D的函数f ( x )，若任意的x1, x2∈D，且x1 < x2
① f ( x1 ) < f ( x 2 ) <=> f ( x1 ) – f ( x2 ) < 0 <=> f ( x )是增函数
② f ( x1 ) > f ( x 2 ) <=> f ( x1 ) – f ( x2 ) > 0 <=> f ( x )是减函数
2、复合函数的单调性: 同增异减
三、二次函数y = ax2 +bx + c（）的性质
1、顶点坐标公式：， 对称轴：，最大（小）值：
2.二次函数的解析式的三种形式
(1)一般式; (2)顶点式;
(3)两根式.
四、指数与指数函数
1、幂的运算法则：
（1）a m • a n = a m + n ，（2），（3）( a m ) n = a m n （4）( ab ) n = a n • b n
（5） （6）a 0 = 1 ( a≠0)（7） （8）（9）进制数转换公式
2、根式的性质
（1）.
（2）当为奇数时，； 当为偶数时，.
4、指数函数y = a x (a > 0且a≠1)的性质：
（1）定义域：R ； 值域：( 0 , +∞) （2）图象过定点（0，1）
： .
五、对数与对数函数
1对数的运算法则：
（1）a b = N <=> b = log a N（2）log a 1 = 0（3）log a a = 1（4）log a a b = b（5）a log a N = N
（6）log a (MN) = log a M + log a N （7）log a () = log a M -- log a N
（8）log a N b = b log a N （9）换底公式：log a N =
（10）推论 (,且,,且,, ).
（11）log a N = （12）常用对数：lg N = log 10 N （13）自然对数：ln A = log e A （其中 …） 2、对数函数y = log a x (a > 0且a≠1)的性质：
（1）定义域：( 0 , +∞) ； 值域：R （2）图象过定点（1，0）
六、幂函数y = x a 的图象:（1） 根据 a 的取值画出函数在第一象限的简图 .
例如： y = x 2
七.图象平移：若将函数的图象右移、上移个单位，
得到函数的图象； 规律：左加右减，上加下减
八. 平均增长率的问题
如果原来产值的基础数为N，平均增长率为，则对于时间的总产值，有.
九、函数的零点：1.定义：对于，把使的X叫的零点。即
的图象与X轴相交时交点的横坐标。
2.函数零点存在性定理：如果函数在区间上的图象是连续不断的一条
曲线，并有，那么在区间内有零点，即存在，
使得，这个C就是零点。
3.二分法求函数零点的步骤：（给定精确度）
（1）确定区间，验证;(2)求的中点
（3）计算①若，则就是零点；②若，则零点
③若，则零点；
（4）判断是否达到精确度，若，则零点为或或内任一值。否
则重复（2）到（4）
必修2：一、直线与圆 1、斜率的计算公式：k = tanα= （α ≠ 90°，x 1≠x 2）
2、直线的方程（1）斜截式 y = k x + b,k存在 ；（2）点斜式 y – y 0 = k ( x – x 0 ) ，k存在；
（3）两点式 （） ；4）截距式 （）
（5）一般式
3、两条直线的位置关系：
l1：y = k1 x + b1 l2：y = k 2 x + b2 | l1： A1 x + B1 y + C1 = 0 l2： A2 x + B2 y + C2 = 0 | |
重合 | k1= k 2且b1= b2 | |
平行 | k1= k 2且b1≠ b2 | |
垂直 | k1 k 2 = – 1 | A1 A2 + B1 B2 = 0 |
4、两点间距离公式：设P1 ( x 1 , y 1 ) 、P 2 ( x 2 , y 2 )，则 | P1 P2 | =
5、点P ( x 0 , y 0 )到直线l ：A x + B y + C = 0的距离：
7、圆的方程
圆的方程 | 圆心 | 半径 | |
标准方程 | x 2+ y 2= r 2 | （0，0） | r |
(x – a ) 2 + ( y – b ) 2 = r 2 | （a，b） | r | |
一般方程 | x 2 + y 2 +D x + E y + F = 0 | ||
点与圆的位置关系有三种若，则 点在圆外;点在圆上;点在圆内.
(圆心到直线的距离为d)
直线与圆的位置关系有三种:
;;.
10.两圆位置关系的判定方法
设两圆圆心分别为O1，O2，半径分别为r1，r2，
;
;
;
;
.
11.圆的切线方程
(1)已知圆．
①若已知切点在圆上，则切线只有一条，其方程是
.
当圆外时, 表示过两个切点的切点弦方程．
②过圆外一点的切线方程可设为，再利用相切条件求k，这时必有两条切线，注意不要漏掉平行于y轴的切线．
③斜率为k的切线方程可设为，再利用相切条件求b，必有两条切线．
(2)已知圆．
①过圆上的点的切线方程为;
②斜率为的圆的切线方程为
二、立体几何 （一）、线线平行判定定理：1、平行于同一条直线的两条直线互相平行。
2、垂直于同一平面的两直线平行。3、如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。
4、如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。
（二）、线面平行判定定理
1、若平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。
2、若两个平面平行，则其中一个平面内的任何一条直线都与另一个平面平行。
（三）、面面平行判定定理：
如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面平行。
（四）、线线垂直判定定理：
若一直线垂直于一平面，则这条直线垂直于这个平面内的所有直线。
（五）、线面垂直判定定理
1、如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。
2、如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。
（六）、面面垂直判定定理
如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。
（七）．证明直线与直线的平行的思考途径
（1）转化为判定共面二直线无交点；（2）转化为二直线同与第三条直线平行；
（3）转化为线面平行；（4）转化为线面垂直；（5）转化为面面平行.
（八）．证明直线与平面的平行的思考途径
（1）转化为直线与平面无公共点；（2）转化为线线平行；（3）转化为面面平行.
（九）．证明平面与平面平行的思考途径（1）转化为判定二平面无公共点；
（2）转化为线面平行；（3）转化为线面垂直.
（十）．证明直线与直线的垂直的思考途径
（1）转化为相交垂直；（2）转化为线面垂直；（3）利用三垂线定理或逆定理；
（十一）．证明直线与平面垂直的思考途径
（1）转化为该直线与面内任一直线垂直；（2）转化为该直线与平面内相交二直线垂直；
（3）转化为该直线与平面的一条垂线平行；（4）转化为该直线垂直于另一个平行平面；
（十二）．证明平面与平面的垂直的思考途径
（1）转化为判断二面角是直二面角；（2）转化为线面垂直.
三、空间几何体
（一）、正三棱锥的性质
1、底面是正三角形，若设底面正三角形的边长为a，则有
图形 | 外接圆半径 | 内切圆半径 | 面积 | |
正三角形 | ||||
2、正三棱锥的辅助线作法一般是：
作PO⊥底面ABC于O，则O为△ABC的中心，PO为棱锥的高，
取AB的中点D，连结PD、CD，则PD为三棱锥的斜高，CD为△ABC的AB边上的高，
且点O在CD上。∴△POD和△POC都是直角三角形，且∠POD =∠POC = 90°
（二）、正四棱锥的性质
1、底面是正方形，若设底面正方形的边长为a，则有
图形 | 外接圆半径 | 内切圆半径 | 面积 | |
正方形 | OB = | OA = | S = a 2 | |
2、正四棱锥的辅助线作法一般是：
作PO⊥底面ABCD于O，则O为正方形ABCD的中心，PO为棱锥的高，取AB的中点E，连结PE、OE、OA，则PE为四棱锥的斜高，点O在AC上。∴△POE和△POA都是直角三角形，且∠POE =∠POA = 90°
（三）、长方体
长方体的一条对角线长的平方等于这个长方体的长、宽、高的平方和。
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