数据结构与算法--⼆进制详解Python⼆进制算法详解史上最详细的⼆进制讲解彻
底搞懂原码、。。。
阅读⽬录
原码、反码、补码
机器数和真值
机器数：
⼀个数在计算机中的⼆进制表⽰形式, 叫做这个数的机器数。
机器数是带符号的，在计算机⽤⼀个数的最⾼位，称为符号位：⽤来存放符号, 正数为0, 负数为1.
例如：⼗进制中的数 +3 ，假设计算机字长为8位，转换成⼆进制就是：00000011 ；如果是 -3 ，就是 10000011；这⾥的00000011 和 10000011 就是机器数（其实就是原码 表⽰形式）
真值：
因为第⼀位是符号位，所以机器数的形式值就不等于真正的数值。例如上⾯的有符号数 10000011，其最⾼位1代表负，其真正数值是 -3 ⽽不是 “⽆符号数” 131（⼆进制数：10000011 转换成⼗进制等于131）。所以，为区别起见，将带符号位的机器数对应的真正数值称为机器数的真值（符号位直接按照0或者1 转换成 “+”“-” 占⼀个位置）；例如：0000 0001的真值 = +000 0001 = +1；1000 0001的真值 = –000 0001 = –1；所以 ⼆进制表⽰形式：10000011 --> - 000 0011 它的真值为 -3 ；其⼆进制结果为 131，
原码、反码、补码的基础
对于⼀个数，计算机要使⽤⼀定的编码⽅式进⾏存储：原码，反码，补码是机器存储⼀个具体数字的编码⽅式；既然有三种存储形式，那么计算机会选取哪种通⽤形式呢？答案是：选取补码，即数值在计算机中是以补码的形式来存储的，下⾯分步来说明为什么要⽤补码来存？
原码：
（1）原码(true form)是⼀种计算机中对数字的⼆进制定点表⽰⽅法。原码表⽰法在数值前⾯增加了⼀位符号位（即最⾼位为符号位）：正数该位为0，负数该位为1（0有两种表⽰：+0和-0），其余位表⽰数值的⼤⼩！⽐如如果是8位⼆进制 1 ：
[+1]原=00000001
[-1]原=10000001
（2）因为第⼀位是符号位，所以8位⼆进制数的取值范围就是:
[11111111,01111111]
#换成数字为：
[-127,127]
（3）原码的优缺点：优点是简单直观，⼤脑最容易理解，例如，我们⽤8位⼆进制表⽰⼀个数，+11的原码为00001011，-11的原码就是10001011；缺点就是：原码不能直接参加运算，如果运算可能会出错。例如：数学上，1+(-1)=0，⽽在⼆进制中：
00000001+10000001=10000010# 换算成⼗进制为-2 ；这显然出错了
所以原码的符号位不能直接参与运算，必须和其他位分开，这就增加了硬件的开销和复杂性
反码：
正数的反码还是其本⾝；负数的反码是在其原码的基础上，符号位不变，其余各个位取反
[+1]=[00000001]原=[00000001]反
[-1]=[10000001]原=[11111110]反
'''
如果⼀个反码表⽰的是负数, 除了直观的看到它的最⾼位是1，它表⽰是个负数外，
我们⽆法直观的得出来它的具体数值，通常要将其转换成原码再计算
这⾥假如直接将负数的⼆进制反码，按：最⾼位为符号位“-” 剩下的位数按照⼆进制来转换的话
'''
11111110-->-126显然也不是原来的值-1
补码：
正数的补码还是其本⾝；负数的补码是其反码+1（也即是：在其原码的基础上, 符号位不变, 其余各位取反, 最后+1）
[+1]=[00000001]原=[00000001]反=[00000001]补
[-1]=[10000001]原=[11111110]反=[11111111]补
# 如果⼀个补码表⽰的是负数, 除了直观的看到它的最⾼位是1，它表⽰是个负数外，
# 我们⽆法直观的得出来它的具体数值，通常要将其转换成原码再计算
# 这⾥假如直接将负数的⼆进制补码，按：最⾼位为符号位“-” 剩下的位数按照⼆进制来转换的话
11111111-->-127显然也不是原来的值-1
计算机为什么选⽤以补码的形式来存储？
（1）计算机只有加法运算，没有设置减法运算！原因是：对于计算机，加减乘数已经是最基础的运算，要设计的尽量简单；计算机辨别"符号位"显然会让计算机的基础电路设计变得⼗分复杂！于是⼈们想出了将符号位也参与运算的⽅法；我们知道，根据运算法则：减去⼀个正数等于加上⼀个负数，即: 1-1 = 1 + (-1) = 0；所以机器可以只有加法⽽没有减法，这样计算机运算的设计就更简单！
那么计算机要选取哪种码值来做加法运算呢？我们先来⼀⼀尝试，并看结果为什么要选择补码！
# 先补充：计算机是如何计算减法的，看下⾯的例⼦（这⾥我们假设已经知道是选取补码来运算）
# 求：1-2 的值
# ⾸先：将1-2 变成 1+(-2)，然后分别将1的补码和-2的补码拿来运算
<0001（正数1补码还是本⾝）
+
<1110（-2的补码）
=
<1111（补码）
# 上⾯结果⼀看，不对啊，怎么不是-1啊？不急，有规定，我们先看最⾼位符号位为1，说明它是个负数
# 如果得到的是负数的话，我们需要将它转换成原码的表⽰形式，如果是正数（最⾼位符号位为0）则不需要
# 所以我们接着做：
<1111（补码）
<1110（反码）
<0001（原码）
即结果为-1
（2）如果选择 原码来 存储：
# 假设要计算⼗进制的表达式: 1-1=0
1-1=1+(-1)=[00000001]原+[10000001]原=[10000010]原=-2
'''
数学二进制的算法所以如果⽤原码表⽰, 让符号位也参与计算, 显然对于减法来说, 结果是不正确的，
这也就是为何计算机内部不使⽤原码表⽰⼀个数
'''
（3）如果选择 ⽤ 反码 来存储：
# 同样假设要计算⼗进制的表达式: 1-1=0
1-1=1+(-1)=[00000001]原+[10000001]原=[00000001]反+[11111110]反=[11111111]反
# 再将反码转成原码：
[11111111]反=[10000000]原=-0
'''
看上去可⾏？因为按照我们通常认为的 0 和 -0 是⼀样；如果 0 和 -0 是⼀样的话，那么就有 [0000 0000]原和 [1000 0000]原两个编码表⽰0，这样显然会造成混乱，⽽且[1000 0000]也⽤来表⽰0造成浪费！
'''
（4）看了上⾯两种码值的缺点后，我们选取补码的话，就能很好的解决0的符号以及两个编码的问题：
# 同样假设要计算⼗进制的表达式: 1-1=0 这次我们选取补码
1-1=1+(-1)=[00000001]原+[10000001]原=[00000001]补+[11111111]补=[00000000]补
（这⾥或许会有⼀个疑问：[00000001]补+[11111111]补相加[00000000]补进位后，多出的⼀位去哪了？后⾯会详细说明下）
# 再将补码转成原码：
[00000000]补=[00000000]原# 可以把它看成⼀个正数，或者是单独的0
（补充：0的反码、补码 都是0）
接着上⾯，这样0⽤[0000 0000]表⽰，⽽且可以⽤[1000 0000]表⽰ -128，也即是⽤ -128 代替了 -0 （看下⾯详细推导）：
(-1)+(-127)=[10000001]原+[11111111]原=[11111111]补+[10000001]补=[10000000]补
即是，相⽐较于反码和原码要将最⾼位当做⼀个符号位的做法，采取补码可以多表⽰⼀位（之前我们认为1111 1111是 -127 它最⼩也只能表⽰这么多了，因为最⾼位是符号位，剩余位数都为1了）！
同时：使⽤补码，不仅仅修复了0的符号以及存在两个编码的问题，⽽且还能够多表⽰⼀个最低数；这就是为什么8位⼆进制, 使⽤原码或反码表⽰的范围为[-127, +127]；⽽使⽤补码表⽰的范围为[-128, 127]；
因为机器使⽤补码, 所以对于编程中常⽤到的32位int类型, 可以表⽰范围是: [-231, 231-1] 因为第⼀位表⽰的是符号位，⽽使⽤补码表⽰时⼜可以多保存⼀个最⼩值.
Python中负数的处理
先补充 Python中求⼆进制数的内置函数：bin() 以及int() 的⽤法
（1）内置函数 bin() 返回⼀个整数 int 或者长整数 long int 的⼆进制表⽰。
>>>bin(10)
'0b1010'
>>>bin(20)
'0b10100'
（2）内置函数 int() ⽤于将⼀个字符串或数字转换为整型。
语法格式：class int(x, base=10) ；x – 字符串或数字，base – 进制数，默认⼗进制。
>>>int()# 不传⼊参数时，得到结果0
>>>int(3)
3
>>>int(3.6)
3
>>>int('12',16)# 如果是带参数base的话，12要以字符串的形式进⾏输⼊，12 为 16进制
18
>>>int('0xa',16)
10
>>>int('10',8)
8
注意事项：
若 x–为纯数字时，不能设置base进制，否则报错
>>>int(3.1415926)
3
>>>int(-11.123)
-11
>>>int(2.5,10)
#报错
>>>int(2.5)
2
若 x 为 str，则 base 可略可有。
base 存在时，视 x 为 base 类型数字，并将其转换为 10 进制数字。
若 x 不符合 base 规则，则报错。
>>>int("9",2)#报错，因为2进制⽆9
>>>int("9")
9#默认10进制
>>>int("3.14",8)
>>>int("1.2")
#均报错，str须为整数
>>>int("1001",2)
9
# "1001"才是2进制格式，并转化为⼗进制数字9
>>>int("0xa",16)
10
# ≥16进制才会允许⼊参为a,
>>>int("b",8)#报错
>>>int("123",8)
83
# 视123为8进制数字，对应的10进制为83
Python 对于负数的存储⽅式和 c++/c/java 有点不⼀样，和上⾯我们说的理论有点不⼀样！
先看下⾯的例⼦：
a1 =bin(-3)
print(a2)
a2 =bin(3)
print(a2)
b =bin(-3&0xffffffff)
print(b)
c =bin(0xfffffffd)
print(c)
'''输出结果分别为：
-0b11 # 特别注意这个
0b11
0b11111111111111111111111111111101
0b11111111111111111111111111111101
'''
（1）注意，此时Python的坑出现了，⾸先我们知道Python 中的整型也是⽤ 补码形式存储的，Python 中 bin ⼀个正数（⼗进制表⽰）结果就是它的⼆进制补码表⽰形式（看上⾯的a2结果）；但是Python 中 bin ⼀个负数（⼗进制表⽰），输出的是它的原码的⼆进制表⽰加上个负号，这显然不是我们要求的负数的补码，因为我们可以求出 -3的补码应该为：ob11111111111111111111111111111101，⽽不应该是-0b11 ，下⾯将详细将Python中遇到负数要如何处理！
（2）Python 中 bin ⼀个负数（⼗六进制表⽰），输出的是对应的⼆进制表⽰，把上⾯的例⼦拿下来↓↓↓
c =bin(0xfffffffd)# 看上图
print(c)
# 结果为：0b11111111111111111111111111111101 （补码）
#（上图中：4294967293不是真值，它是不考虑最⾼符号位，直接得出的⼆进制值，这个可以不看）
# 将上⾯结果的补码，转换成原码为：0b10000000000000000000000000000011 刚好就是-3
# 再来⽤下内置⽅法 int()
c =bin(0xfffffffd)
print(c)
# c='0b11111111111111111111111111111101' （补码）
c1 ='0b10000000000000000000000000000011'（c的原码）
print(int(c, base=2))# 将c的原码直接⽤int算，⼜会出现⼀个坑，Python的int()也不认符号位，如下结果
'''输出结果
0b11111111111111111111111111111101
2147483651 # 这不是真值
'''
# 所以我们也不要⽤ int()直接去将负数的⼆进制数还原成10进制，下⾯会将快捷⽅法
那问题⼜来了，怎么得到⼀个负数的⼗六进制数表⽰⽅式？
答案是： 负数 & 0xFFFF FFFF 就可以得到这个负数的⼗六进制表⽰
我们来推理⼀下：
11111111111111111111111111111101（-3的补码）
&
11111111111111111111111111111111（0XFFFFFFFF）
=
11111111111111111111111111111101（⼆进制补码）
# 刚好可以换成⼗六进制的
0xFFFFFFFD

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