第三讲MatlabSimulink ⼊门——离散系统仿真实例
第三讲 Matlab/Simulink ⼊门——离散系统仿真实例
1、离散系统基本概念
1.1 离散系统
  离散系统： 是指系统的输⼊和输出仅在离散的时间上取值，⽽且离散的时间具有相同的时间间隔，与连续的概念相反。  设系统输⼊变量为，其中为系统的采样时间，为采样时刻。由于为⼀固定值，因此系统输⼊，常简记为。设输出系统为，简记为。于是，离散系统的数学表达为：
1.2线性离散系统
  线性离散系统： 是离散系统的⼀种特殊形式，需要同时满⾜(1)、(2)两个条件，即
  (1)、齐次性： 对于离散系统，如果对任意的输⼊与给定的常数，下⾯的式⼦总成⽴：
则称系统满⾜齐次性。
  (2)、叠加性： 对于系统对于输出和，输出分别为 和，总有下⾯的式⼦成⽴：
则称系统满⾜叠加性。
  对于线性离散系统，其⼀般数学描述为：
⽤差分⽅程描述为：
状态⽅程：输出⽅程：1.3 Z 变换
u (nT ),n =s 0,T s n T s u (nT )s u (n )y (nT )s y (n )y (n )=f (u (n ),u (n −1),...;y (n −1),y (n −2))
T {αu (n )+1βu (n )}=2αT {u (n )}+1βT {u (n )}
2y (n )=T {u (n )},n =0,u (n )αT {αu (n )}=αT {u (n )}
u (n )1u (n )2y (n )1y (n )2T {u (n )+1u (n )}=2T {u (n )}+1T {u (n )}
2y (n )=f (u (n ),u (n −1),...;y (n −1),y (n −2))
x (n +1)=f (x (n ),u (n ),n )
y (n )=g (x (n ),u (n ),n )
  变换： 对于⼀个离散信号，其变换为。⼀般来说离散信号的起始时间往往⼤于零，这时它的变换为，可简记为。由离散信号的变换确定离散信号的过程为变换的你变换，⼀般简记为。
  变换有以下两个重要性质：
  (1)、线性关系： 变换同时满⾜齐次性和叠加性，即：
  (2)、设离散信号的变换为，则的变换为。
2、⼈⼝变化（例1）仿真
2.1 ⼈⼝变化模型
【例1】设某⼀年的⼈⼝总数为，其中表⽰年份，它与上⼀年的⼈⼝数⽬、⼈⼝⾃然增长率、以及新增资源所能满⾜的个体数⽬之间的关系⽅程如下差分⽅程，即：
  现设⼈⼝初值=500000，⼈⼝⾃然增长率=1.07, =2000000，建⽴⼈⼝动态变化的数学模型，分析⼈⼝数⽬的变化趋势。
2.2
建模
图1-1 ⼈⼝变化系统模型
 Gain模块：参数设置为1/2000000，即。
 Gain1模块：增益设为1.07，即⼈⼝⾃然增长率。
 Unit Delay模块：参数设置如图所⽰。Z u (n )Z U (z )=u (k )z k =−∞∑∞−k u (n )Z U (z )=u (k )z k =0∑∞−k U (z )=Z {u (n )}Z Z U (z )=Z {u (n )}−1Z Z Z {αu (n )+1βu (n )}=2αZ {u (n )}+1βZ {u (n )}
2u (n )Z U (z )u (n −1)Z z U (z )−1p (n )n p (n −1)r K p (n )=rp (n −1)[1−]K
p (n −1)
p (0)r K K 1
 Constant模块：常数1。
 Sum模块：list of signs设置为| + -。
2.3 系统仿真
  仿真时间设置为50s，步长默认（auto）也可以设置为其他。点击运⾏run，然后双击Scope模块，即可显⽰仿真结果。从仿真结果可以看出，⼈⼝数⽬会逐年减少，并趋于⼀个稳定值。
3、低通滤波器（例2）仿真
3.1 低通滤波器模型
【例2】低通滤波器可以过滤掉信号中的⾼频部分，以获取信号中有价值的低频信号。下⾯是⼀个低通数字滤波器的差分⽅程描述：
其中，为滤波器输⼊，y(n)为滤波器输出。
  对滤波器系统的差分⽅程进⾏变换，即：
安卓开发实例入门根据系统的数学描述进⾏建模。
3.2
建模
y (n )−1.6y (n −1)+0.7y (n −2)=0.04u (n )+0.08u (n −1)+0.04u (n −2)
u (n )Z =U (z )Y (z )1−1.6z +0.7z −1−2
0.04+0.08z +0.04z −1−2
 Sine Wave模块：Frequency频率设为1000rad/sec，其余为默认值。
 Sine Wave1模块：Frequency频率设为1000rad/sec，Sample time采样时间设置为  0.005s，其余为默认值。
 Signal Generator模块：Wave form 设置为sawtooth，其余为默认值。
 Discrete Filter模块：设置如图所⽰。
 Product模块：默认值。
 Product1模块：默认值。
  系统仿真时间设置为50s，求解器设为ode45，最⼤步长设置为0.005。

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