具有完全曲面系统的三维流形的研究
三维流形拓扑理论主要研究三维流形的拓扑性质和结构。通常,利用三维流形中的一些曲面(如Heegaard曲面、不可压缩曲面、正则曲面等)来研究三维流形的拓扑性质和结构是行之有效的重要方法。
柄体是3-流形的基本块。每个闭三维流形均可以表示成两个等亏格柄体沿其边界的并,这就是三维流形的Heegaard分解。
Heegaard分解理论是研究三维流形的重要的方法。柄体中存在一组真嵌入的互不相交的圆片,使得沿这组圆片切开该柄体得到一个实心球。
本文考虑柄体的一种一般化的一类三维流形。设M为一个可定向有单边界分支S的不可约三维流形。
若M中存在一组真嵌入的互不相交的可定向单边界曲面F ={F1,…,Fn},使得(?)F(?)S是S上一个完全曲线系统,并且沿F切开M得到三维流形M0,则称F为M的一个完全曲面系统,称M为具有完全曲面系统F的三维流形,并记作(M,F)。本文对具有完全曲面系统的三维流形进行了深入研究,
得到了这类三维流形的若干性质。
主要结果如下:1.对于具有完全曲面系统的三维流形(M,F),讨论了M上完全曲面系统的等价性。对于边界可约的这类三维流形,给出了M的完全曲面系统与边界极大压缩圆片集之间的关系,证明了该类三维流形具有保持完全曲面系统的边界连通和分解的性质。
seifert2.对于S3中具有完全曲面系统的子流形,证明了其完全曲面系统在等价意义下的唯一性;对于S3中的边界可约的子流形,利用把柄添加,重新嵌入和边界压缩的理论,讨论了流形的压缩圆片集与补空间的柄体的压缩圆片之间的关系,给出了三维流形的完全曲面系统与纽结的Seifert曲面之间的联系。3.证明了S3的具有完全曲面系统的三维子流形的映射类是其边界曲面映射类的柄体子的一个子。
4.讨论了S3中的边界链环与S3中的具有完全曲面系统的三维子流形之间的联系。

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