第四章指数函数与对数函数
《4.3.1对数的概念》教学设计
【教材分析】
本节课是新版教材人教A版普通高中课程标准实验教科书数学必修1第四章第4.3.1节《对数的概念》。从内容上看它是学生了指数幂运算的基础上，通过实际问题的提出，从而建立对数的概念。其研究和学习过程，与先前学习加法与减法、乘法与除法类似。由指数运算进而提出对数运算，本节为后续的对数函数奠定基础。培养学生数学运算、数学抽象、逻辑推理和数学建模的核心素养。
【教学目标与核心素养】
课程目标
学科素养
1、理解对数的概念，能进行指数式与对数式的互化；
2、了解常用对数与自然对数的意义，理解对数恒等式并能运用于有关对数计算。
3、通过转化思想方法的运用，培养学生转化的思想观念及逻辑思维能力。
a.数学抽象：对数的概念；
b.逻辑推理：指数式与对数式的转化；
c.数学运算：对数的运算；
d.直观想象：指数与对数的关系；
e.数学建模：在实际问题中建立对数概念；
【教学重难点】
教学重点：对数的概念、指数式与对数的互化
教学难点：由于对数符号是直接引入的，带有“规定”的性质，且这种符号比较抽象，不易为学生接受，因此，对对数符号的认识会形成教学中的难点。
【教学过程】
教学过程
设计意图
（一）、创设问题情境
问题提出：在4.2.1的问题1中，通过指数幂运算，我们能从y＝1.11x中求出经过4年后Ｂ地景区的游客人次为2001年的倍数y．反之，如果要求经过多少年游客人次是2001年的2倍，3倍，4倍，…，那么该如何解决？
上述问题实际上就是从2=1.11x，3=1.11x，4=1.11x，…
中分别求出x，即已知底数和幂的值，求指数．这是本节要学习的对数．
对数的发明：对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔（Napier，1550年~1617年）。他发明了供天文计算作参考的对数，并于1614年在爱丁堡出版了《奇妙的对数定律说明书》，公布了他的发明。恩格斯把对数的发明与解析几何的创始，微积分的建立并称为17世纪数学的三大成就。
（二）、探索新知
1．对数
(1)指数式与对数式的互化及有关概念：
(2)底数a的范围是________________.
2．常用对数与自然对数
3．对数的基本性质
(1)负数和零没有对数．(2)loga1＝0(a>0，且a≠1)．(3)logaa＝1(a>0，且a≠1)．
思考：为什么零和负数没有对数？
[提示]　由对数的定义：ax＝N(a>0且a≠1)，则总有N>0，所以转化为对数式x＝logaN时，
不存在N≤0的情况．
1．思考辨析
(1)logaN是loga与N的乘积．(  )
(2)(－2)3＝－8可化为log(－2)(－8)＝3.(  )
(3)对数运算的实质是求幂指数．(  )
[答案]　(1)×　(2)×　(3)√
2．若a2＝M(a>0且a≠1)，则有(  )
A．log2M＝a    　B．logaM＝2
C．log22＝MD．log2a＝M
B　[∵a2＝M，∴logaM＝2，故选B.]
（三）典例解析
例1　将下列指数形式化为对数形式,对数形式化为指数形式：
(1)54＝625;(2)2－7＝；(3)()m＝5.73
(4)log32＝－5；(5)lg1000＝3；(6)ln10＝2.303
[解]　(1)由54＝625，可得log5625＝4.
(2)由2－7＝，可得log2＝－7.
(3)由()m＝5.73，可得log5.73＝m，
(4)由log32＝－5，可得－5＝32.
(5)由lg1000＝3，可得103＝1000.
(6)由ln10＝2.303，可得e2.303＝10.
[规律方法]　指数式与对数式互化的方法
将指数式化为对数式，只需要将幂作为真数，指数当成对数值，底数不变，写出对数式；
将对数式化为指数式，只需将真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式；
1．将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：
(1)3－2＝；　(2)－2＝16；(3)log27＝－3;(4)log64＝－6.
[解]　(1)log3＝－2；(2)log16＝－2；
(3)－3＝27；(4)()－6＝64.
例2　求下列各式中的x的值：
(1)log64x＝－；(2)logx8＝6；
(3)lg100＝x;(4)－lne2＝x.
[解]　(1)x＝(64)＝(43)＝4－2＝.
(2)x6＝8，所以x＝(x6)＝8＝(23)＝2＝.
(3)10x＝100＝102，于是x＝2.
(4)由－lne2＝x，得－x＝lne2，即e－x＝e2，
所以x＝－2.
规律方法：要求对数的值，设对数为某一未知数，将对数式化为指数式，再利用指数幂的运算性质求解。
[探究问题]
1．你能推出对数恒等式alogaN＝N(a>0且a≠1，N>0)吗？
提示：因为ax＝N，所以x＝logaN，代入ax＝N可得alogaN＝N.
2．如何解方程log4(log3x)＝0?
提示：借助对数的性质求解，由log4(log3x)＝log41，得log3x＝1，∴x＝3.
例3　设5log5(2x－1)＝25，则x的值等于(  )
A．10B．13C．100D．±100
(2)若log3(lgx)＝0，则x的值等于________.
思路探究：(1)利用对数恒等式alogaN＝N求解；
(2)利用logaa＝1，loga1＝0求解．
(1)B　(2)10　[(1)由5log5(2x－1)＝25得2x－1＝25，所以x＝13，故选B.
(2)由log3(lgx)＝0得lgx＝1，∴x＝10.]
归纳总结:1.利用对数性质求解的2类问题的解法
（1）求多重对数式的值解题方法是由内到外，如求loga undefinedundefinedundefinedbc 的值，先求logbc的值，
再求loga undefinedundefinedundefinedbc 的值.
（2）已知多重对数式的值，求变量值，应从外到内求，逐步脱去“log”后再求解.
2.性质alogaN＝N与logaab＝b的作用
（1） alogaN＝N的作用在于能把任意一个正实数转化为以a,为底的指数形式.
（2）logaab＝b的作用在于能把以a为底的指数转化为一个实数
开门见山，通过对上节问题的提问和引伸，提出新问题，从而引出对数的概念。培养和发展逻辑推理和数学运算的核心素养。
通过对对数概念的解析，理解对数与指数的关系，进而理解对数的概念，发展学生数学抽象、数学建模和逻辑推理等核心素养；
通过典例问题的分析，让学生进一步熟悉指数式与对数式的转化。深化对对数概念的理解。
通过问题探究进一步理解对数的概念，并推出对数的相关性质，发展学生数学运算和逻辑推理核心素养；
三、当堂达标
1．在b＝log3(m－1)中，实数m的取值范围是(  )
A．R      B．(0，＋∞)C．(－∞，1)D．(1，＋∞)
【答案】D　[由m－1>0得m>1，故选D.]
2．下列指数式与对数式互化不正确的一组是(  )
A．100＝1与lg1＝0B．27＝与log27＝－
C．log39＝2与9＝3D．log55＝1与51＝5
【答案】C　[C不正确，由log39＝2可得32＝9.]
3．若log2(logx9)＝1，则x＝________.
【答案】3　[由log2(logx9)＝1可知logx9＝2，即x2＝9，∴x＝3(x＝－3舍去)．]
4．log33＋3log32＝________.
【答案】3　[log33＋3log32＝1＋2＝3.]
5．求下列各式中的x值：
(1)logx27＝；  (2)log2x＝－；
(3)x＝log27；(4)x＝log16.
【答案】(1)由logx27＝，可得x＝27，
∴x＝27＝(33)＝32＝9.
(2)由log2x＝－，可得x＝2，∴x＝＝＝.
(3)由x＝log27，可得27x＝，∴33x＝3－2，∴x＝－.
(4)由x＝log16，可得x＝16，∴2－x＝24，∴x＝－4.
通过练习巩固本节所学知识，巩固对数的概念及其性质，增强学生的数学抽象、数学运算、逻辑推理的核心素养。
四、小结
1、对数的概念，指数式与对数式的转化；
2、对数的性质及运用；
五、作业
1.课时练2.预习下节课内容
学生根据课堂学习，自主总结知识要点，及运用的思想方法。注意总结自己log ln lg的互换公式在学习中的易错点；
《4.3.1 对数的概念》导学案
【学习目标】
1.理解对数的概念，掌握对数的性质，能进行简单的对数计算．
2.理解指数式与对数式的等价关系，会进行对数式与指数式的互化．
3.理解常用对数、自然对数的概念及记法．
【重点难点】
教学重点：理解对数的概念,掌握指数式与对数式的等价关系，会进行对数式与指数式的互化
教学难点：掌握对数的性质，能进行简单的对数计算．
【知识梳理】
1．对数
(1)指数式与对数式的互化及有关概念：
(2)底数a的范围是________________.
【学习过程】
问题提出：在4.2.1的问题1中，通过指数幂运算，我们能从y＝1.11x中求出经过4年后Ｂ地景区的游客人次为2001年的倍数y．反之，如果要求经过多少年游客人次是2001年的2倍，3倍，4倍，…，那么该如何解决？
上述问题实际上就是从2=1.11x ，3=1.11x ， 4=1.11x ，…
中分别求出x，即已知底数和幂的值，求指数．这是本节要学习的对数．
对数的发明：对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔（Napier，1550年~1617年）。他发明了供天文计算作参考的对数，并于1614年在爱丁堡出版了《奇妙的对数定律说明书》，公布了他的发明。恩格斯把对数的发明与解析几何的创始，微积分的建立并称为17世纪数学的三大成就。
1．对数
(1)指数式与对数式的互化及有关概念：
(2)底数a的范围是________________.
2．常用对数与自然对数
3．对数的基本性质
(1)负数和零没有对数．(2)loga 1＝0(a>0，且a≠1)．(3)logaa＝1(a>0，且a≠1)．
思考：为什么零和负数没有对数？
[提示]　由对数的定义：ax＝N(a>0且a≠1)，则总有N>0，所以转化为对数式x＝logaN时，
不存在N≤0的情况．
1．思考辨析
(1)logaN是loga与N的乘积．(  )
(2)(－2)3＝－8可化为log(－2)(－8)＝3.(  )

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