对数的性质及推导
定义：
  若a^n=b(a>0且a≠1)  　则n=log(a)(b)
基本性质：
  1、a^log(a)(b)=b  　2、log(a)(a)=1  　3、log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N);  　4、log(a)(M÷N)=log(a)(M)-log(a)(N);
 
 
5、log(a)(M^n)=nlog(a)(M)  　6、log(a)[M^（1/n）]=log(a)(M)/n  　（注：下文^均为上标符号，例：a^1即为a）
推导
  1、因为n=log(a)(b)，代入则a^n=b，即a^(log(a)(b))=b。  　2、因为a^b=a^b  　令t=a^b  　所以a^b=t，b=log(a)(t)=log(a)(a^b)  　3、MN=M×N  　由基本性质1(换掉M和N)  　a^[log(a)(MN)] = a^[log(a)(M)]×a^[log(a)(N)] =(M)*(N)  　由指数的性质  　a^[log(a)(MN)] = a^{[log(a)(M)] + [log(a)(N)]}  　两种方法只是性质不同,采用方法依实际情况而定  　又因为指数函数是单调函数，所以  　log(a)(MN) = log(a)(M) + log(a)(N)  　4、与（3）类似处理  　MN=M÷N  　由基本性质1(换掉M和N)  　a^[log(a)(M÷N)] = a^[log(a)(M)]÷a^[log(a)(N)]  　由指数的性质  　a^[log(a)(M÷N)] = a^{[log(a)(M)] - [log(a)(N)]}  　又因为指数函数是单调函数，所以  　log(a)(M÷N) = log(a)(M) - log(a)(N)  　5、与（3）类似处理  　M^n=M^n  　由基本性质1(换掉M)  　a^[log(a)(M^n)] = {a^[log(a)(M)]}^n  　由指数的性质  　a^[log(a)(M^n)] = a^{[log(a)(M)]*n}  　又因为指数函数是单调函数，所以  　log(a)(M^n)=nlog(a)(M)  　基本性质4推广  　log(a^n)(b^m)=m/n*[log(a)(b)]  　推导如下：  　由换底公式（换底公式见下面）[lnx是log(e)(x)，e称作自然对数的底]  　log(a^n)(b^m)=ln(b^m)÷ln(a^n)  　换底公式的推导：  　设e^x=b^m,e^y=a^n  　则log(a^n)(b^m)=log(e^y)(e^x)=x/y  　x=ln(b^m),y=ln(a^n)  　得：log(a^n)(b^m)=ln(b^m)÷ln(a^n)  　由基本性质4可得  　log(a^n)(b^m) = [m×ln(b)]÷[n×ln(a)] = (mlog ln lg的互换公式
÷n)×{[ln(b)]÷[ln(a)]}  　再由换底公式  　log(a^n)(b^m)=m÷n×[log(a)(b)] --------------------------------------------（性质及推导 完）
  1.对数函数的图象都过(1,0)点.  　2.对于y=log(a)(n)函数,  　①,当0<a<1时,图象上函数显示为(0,+∞)单减.随着a 的增大,图象逐渐以(1,0)点为轴顺时针转动,但不超过X=1.  　②当a>1时,图象上显示函数为(0,+∞)单增,随着a的减小,图象逐渐以(1.0)点为轴逆时针转动,但不超过X=1.  　3.与其他函数与反函数之间图象关系相同,对数函数和指数函数的图象关于直线y=x对称.
性质一：换底公式
    　log(a)(N)=log(b)(N)÷log(b)(a)  　推导如下：  　N = a^[log(a)(N)]  　a = b^[log(b)(a)]  　综合两式可得  　N = {b^[log(b)(a)]}^[log(a)(N)] = b^{[log(a)(N)]*[log(b)(a)]}  　又因为N=b^[log(b)(N)]  　所以 b^[log(b)(N)] = b^{[log(a)(N)]*[log(b)(a)]}  　所以 log(b)(N) = [log(a)(N)]*[log(b)(a)] {这步不明白或有疑问看上面的}  　所以log(a)(N)=log(b)(N) / log(b)(a)
公式二：log(a)(b)=1/log(b)(a)
  证明如下：  　由换底公式 log(a)(b)=log(b)(b)/log(b)(a) ----取以b为底的对数  　log(b)(b)=1 =1/log(b)(a) 还可变形得: log(a)(b)×log(b)(a)=1  　在实用上，常采用以10为底的对数，并将对数记号简写为lgb,称为常用对数，它适用于求十进制整数或小数的对数。例如lg10=1, lg100=lg10^2=2, lg4000=lg（10^3×4）=3+lg4,可见只要对某一范围的数编制出对数表，便可利用来计算其他十进制数的对数的近似值。在数学理论上一般都用以无理数e=2.7182818……为底的对数，并将记号 loge。简写为ln，称为自然对数，因为自然对数函数的导数表达式特别简洁，所以显出了它比其他对数在理论上的优越性。历史上，数学工作者们编制了多种不同精确度的常用对数表和自然对数表。但随着电子技术的发展，这些数表已逐渐被现代的电子计算工具所取代。

版权声明：本站内容均来自互联网，仅供演示用，请勿用于商业和其他非法用途。如果侵犯了您的权益请与我们联系QQ:729038198，我们将在24小时内删除。