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2.2.1对数与对数运算重难点题型【举一反三系列】
【知识点1
对数的概念与基本性质】1.对数的概念
条件)
1,0(≠>=a a N a x 且结论
数x 叫做以a 为底N 的对数，a 叫做对数的底数，N 叫做真数记法
N
x a log =2.常用对数和自然对数(1)常用对数：通常我们将以10为底的对数叫做常用对数，并把N 10log 记为N lg .
(2)自然对数：在科学技术中常使用以无理数e ＝2.71828…为底数的对数，以e 为底的对数称为自然对数，并把N e log 记为N ln .
3.对数与指数的关系
当0>a ，且1≠a 时，N x N a a x log =⇔=.
4.对数的基本性质
(1)负数和零没有对数，即0>N ；
(2)01log =a )1,0(≠>a a 且；
(3))1,0(1log ≠>=a a a a 且．
【知识点2
对数的运算性质】
1.运算性质条件0>a ，且1≠a ，0
,0>>N M 性质N
M MN a a a log log )(log +=N M N
M a a a log log log -=M n M a n a log log =(n ∈R)
2.换底公式
a
b b
c c a log log log =(a ＞0，且a ≠1；c ＞0，且c ≠1；b ＞0)．3.知识拓展(1)可用换底公式证明以下结论：
①a
b b a log 1log =；②1log log log =⋅⋅a
c b c b a ；③b b a n a n log log =；④b n m b a m a n log log =；⑤b b a a
log log 1-=.
(2)对换底公式的理解：
换底公式真神奇，换成新底可任意，原底加底变分母，真数加底变分子．【考点1对数有意义条件】
【例1】（2019秋•马山县期中）对数式log （a ﹣2）（5﹣a ）中实数a 的取值范围是（
）A ．（﹣∞，5）
B ．（2，5）
C ．（2，3）∪（3，5）
D ．（2，+∞）
【分析】对数式有意义的条件是：真数为正数，底为正数且不为1，联立得到不等式组，解出即可．
【答案】解：要使对数式b ＝log （a ﹣2）（5﹣a ）有意义，
则，解得a∈（2，3）∪（3，5），
故选：C．
【点睛】本题主要考查了对数式有意义的条件，即真数为正数，底为正数且不为1，属于基础题．
3有意义，则实数t的取值范围是（）
【变式1-1】（2019秋•龙岩期末）若对数式log
（t﹣2）
A．[2，+∞）B．（2，3）∪（3，+∞）
C．（﹣∞，2）D．（2，+∞）
3的定义，底数大于0且不等于1，列出不等式组，求出解集即可．【分析】根据对数式log
（t﹣2）
3有意义，
【答案】解：要使对数式log
（t﹣2）
须；
解得t＞2且t≠3，
∴实数t的取值范围是（2，3）∪（3，+∞）．
故选：B．
【点睛】本题考查了对数定义的应用问题，是基础题目．
（x+1）中，要使式子有意义，x的取值范围为（）
【变式1-2】在M＝log
（x﹣3）
A．（﹣∞，3]B．（3，4）∪（4，+∞）
C．（4，+∞）D．（3，4）
【分析】由对数的定义可得，由此解得x的范围．
log ln lg的互换公式【答案】解：由函数的解析式可得，解得3＜x＜4，或x＞4．
故选：B．
【点睛】本题主要考查对数的定义，属于基础题．
【变式1-3】若对数ln（x2﹣5x+6）存在，则x的取值范围为．
【分析】由已知利用对数的概念可得x2﹣5x+6＞0，解不等式即可得解．
【答案】解：∵对数ln（x2﹣5x+6）存在，
∴x2﹣5x+6＞0，
∴解得：3＜x或x＜2，即x的取值范围为：（﹣∞，2）∪（3，+∞）．
故答案为：（﹣∞，2）∪（3，+∞）．
【点睛】本题考查对数函数的定义域的求法，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．
【考点2对数式与指数式的互化】
【例2】（2019秋•巴彦淖尔校级期中）将下列指数形式化成对数形式，对数形式化成指数形式．①54＝625
②（）m＝5.73
③ln10＝2.303
④lg0.01＝﹣2
⑤log216＝4．
【分析】利用对数的定义进行指对互化．
【答案】解：①log5625＝4，②  5.73＝m，③e2.303＝10，④10﹣2＝0.01，⑤24＝16．【点睛】本题考查了指对互化，是基础题．
【变式2-1】将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：
（1）102＝100；
（2）lna＝b；
（3）73＝343；
（4）log6＝﹣2．
【分析】根据对数的定义进行转化．
【答案】解：（1）lg100＝2，
（2）e b＝a，
（3）log7343＝3；
（4）6﹣2＝．
【点睛】本题考查了对数的定义，属于基础题．
【变式2-2】将下列指数式与对数式互化：
（1）log216＝4
（2）27＝﹣3

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