第16讲 对数函数
当a固定，且a>0,且a≠1时，x以a为底的对数函数y=logax确定了变量y随变量x变化的规律，称为底为a的对数函数（logarithmic function）,其中x是自变量,定义域是(0,+∞).
题型一、指数函数的概念与解析式或函数值
【例1】(1)指出下列函数哪些是对数函数？
①y＝3log2x；②y＝log6x；③y＝logx5；④y＝log2x＋1.
【答案】②是
【解析】①log2x的系数是3，不是1，不是对数函数．
②符合对数函数的结构形式，是对数函数．
③自变量在底数位置上，不是对数函数．
④对数式log2x后又加上1，不是对数函数．
(2)已知对数函数y=logax的图像过点P(8,3)，则________.
【答案】－5
【解析】y=logax的图像过点P(8,3)，
∴3＝loga8，∴a3＝8，a＝2.
∴y＝log2x，
(3)若函数f(x)＝(a2＋a－5)logax是对数函数，则a＝________.
【答案】2
【解析】由a2＋a－5＝1得a＝－3或a＝2.
又a>0且a≠1，所以a＝2.
　方法总结:判断一个函数是对数函数的方法
题型二、指数函数的定义域
【例2】求下列函数的定义域：
(1)y＝；
(2)y＝log2(16－4x)；
(3)y＝log(x－1)(3－x)．
【答案】（1）（1,2）∪（2，+∞）；（2）（-∞，2）；（3）（1,2）∪（2，3）
【解析】　(1)要使函数式有意义，需解得x>1，且x≠2.
所以函数y＝的定义域是（1,2）∪（2，+∞）．
(2)要使函数式有意义，需16－4x>0，解得x<2.
所以函数y＝log2(16－4x)的定义域是（-∞，2）．
(3)要使函数式有意义，需解得1<x<3，且x≠2.
所以函数y＝log(x－1)(3－x)的定义域是（1,2）∪（2，3）．
方法总结
(1)求与对数函数有关的函数定义域时应遵循的原则
①分母不能为0；
②根指数为偶数时，被开方数非负；
③对数的真数大于0，底数大于0且不为1.
(2)求函数定义域的步骤
①列出使函数有意义的不等式(组)；
②化简并解出自变量的取值范围；
③确定函数的定义域．　
题型三、指数函数的图像
【例3】(1)画出函数y=lg|x-1|的图像;
(2)画出函数y=|lg(x-1)|的图像.
【答案】图像见解析.
【解析】(1)①先画出函数y=lg x的图像(描点法).
②作此图像关于y轴对称的曲线,两条曲线组成函数y=lg|x|的图像.
③将y=lg|x|的图像整体右移1个单位,得到函数y=lg|x-1|的图像(如图).
(2)①先画出函数y=lg x的图像.
②将y=lg x的图像右移1个单位得到函数y=lg(x-1)的图像.
③将y=lg(x-1)的图像中x轴下方的部分翻折到x轴上方,得到函数y=|lg(x-1)|的图像(如图).
方法总结：对数函数图像的变换方法
(1)作y＝f(|x|)的图像时，保留y＝f(x)(x≥0)图像不变，x<0时y＝f(|x|)的图像与y＝f(x)(x>0)的图像关于y轴对称．
(2)作y＝|f(x)|的图像时，保留y＝f(x)的x轴及上方图像不变，把x轴下方图像以x轴为对称轴翻折上去即可．
(3)有关对数函数平移也符合“左加右减，上加下减”的规律．
(4)y＝f(－x)与y＝f(x)关于y轴对称，y＝－f(x)与y＝f(x)关于x轴对称，y＝－f(－x)与y＝f(x)关于原点对称．
举一反三
1.下列函数是对数函数的是(  )
A．y＝ln x            B．y＝ln(x＋1)
C．y＝logxe      D．y＝logxx
【答案】A
【解析】对于B,真数x+1大于0才有意义，故B不是对数函数；
对于C，底数x没有限定条件，不符合对数函数的定义；
对于D，同理底数真数不符合题意；故选A.
log ln lg的互换公式2.若函数f(x)＝log(a＋1)x＋(a2－2a－8)是对数函数，则a＝________．

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