2023届新高三摸底联考
数学试题
log ln lg的互换公式
本试卷共4页，22题．全卷满分150分．考试用时120分钟．
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、考号等填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
3．填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交．
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合(,2]
[3,)=−∞−+∞A ，则()=Z R A （    ）
A ．{2,1,0,1,2,3}−−
B ．{2,1,0,1,2}−−
C ．{1,0,1,2,3}−
D ．{1,0,1,2}− 2．已知命题(
)
2
:[0,),ln 10∀∈+∞+≥p x x ，则⌝p 为（    ）
A ．(
)
2
(,0),ln 10∃∈−∞+<x x            B ．()2
[0,),ln 10∃∈+∞+<x x
C ．()2
(,0),ln 10∀∈−∞+<x x
D ．()2
[0,),ln 10∀∈+∞+<x x
3．已知某质点从平面直角坐标系xOy 中的初始位置点(4,0)A ，沿以O 为圆心，4为半径的圆周按逆时针方向匀速运动到B 点，设B 在x 轴上的射影为C ，则C 点的坐标为（    ）
A ．(4sin ,0)∠AO
B    B ．(4|sin |,0)∠AOB
C ．(4cos ,0)∠AOB
D ．(4|cos |,0)∠AOB  4．《周髀算经》中有这么一个问题：从冬至日起，依次有小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气，其日影长依次成等差数列，若冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺，小寒、雨水、清明日影长之和为28.5尺，则大寒、惊蛰、谷雨日影长之和为（    ） A ．25.5尺    B ．34.5尺    C ．37.5尺    D ．96尺
5．已知椭圆22
22:1(0)+=>>x y C a b a b 的左右焦点分别为12、F F ，若C 上存在无数个点P ，满足：
122
π
∠>F PF ，则b a 的取值范围为（    ）
A ．⎛ ⎝⎭
B ．⎫⎪⎝⎭
C ．,12⎛⎫ ⎪⎝⎭
D ．0,2⎛ ⎝⎭
6．在△ABG 中，已知31
,83
=
=BE BG AF AG ，AE 与BF 交于O ，则=AO （    ）
A ．
2173+AB BG    B ．43510+AB BG    C ．43714+AB BG    D ．34147
+AB BG  7．若51
sin 4,log 3,lg6,lg15
====a b c d ，则（    ）
A ．<<<b c d a
B ．<<<a d b c
C ．<<<a b c d
D ．<<<a b d c  8．一个电路如图所示，A ，B ，C ，D ，
E ，
F ，
G 为7个开关，其闭合的概率均为2
3
，且是相互独立的，则灯亮的概率是（    ）
A ．7
55
13
−
B ．71113−
C ．7233
D ．553 二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．若复数z 满足之(2i)86i +=+z z ，则（    ）
A ．z 的实部为3
B ．z 的虚部为1
C ．=zz
D ．z 在复平面上的点位于第一象限
10．若直线0−+=x y m 与圆2
2
:(1)(2)9−++=C x y 交于A ，B 两个不同的点，且2
π
∠=ACB ，则m
的值为（    ）
A ．0
B ．5
C ．6
D ．6− 11．已知0,1>=a ab ，则（    ） A ．2+≥a b    B ．lg lg 0>a b    C ．
22114+<+a b a b
D ．33
2+≥a b
12．在四棱锥−P ABCD 中，已知1===AB BD AD ，3
==BC CD ，6====PA PB PC PD ，
则（    ）
A ．四边形ABCD 内接于一个圆
B ．四棱锥−P ABCD 的体积为
36
C ．四棱锥−P ABC
D 外接球的球心在四棱锥−P ABCD 的内部
D ．四棱锥−P ABCD 外接球的半径为
712
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．2
23sin
sin 88
ππ
−的值为____________． 14．已知函数()f x 是奇函数，且最小正周期为
2
π
，则()=f x __________（写出符合的一个答案即可）． 15．“全员检测，阻断清零”的新冠防疫政策，
使得我国成为全球最安全的国家．现某处需要三组全民核酸检测人员，其中有3名医生和6名社会志愿者组成，每组人员由1名医生和2名志愿者组成．根据需要，志愿者甲与乙要分配在同一组，则这9名检测人员分组方法种数为____________．
16．已知函数()g x 的图象与函数2
()([0,))=∈+∞f x x x 的图象关于直线=y x 对称，将函数()g x 图象右移2个单位，下移2个单位得到函数()h x 的图象，若P ，Q 分别为函数(),()f x h x 图象上的两个动点，则这两点间距离的最小值为______________．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分10分）
已知数列{}n a 满足1221,3,2,3,+−⎧===⎨⎩为奇数
为偶数
n n n a n a a a a n ．
（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n a 的前2n 项的和2n S ．  18．（本小题满分12分）
随着人们生活水平的提高，国家倡导绿安全消费，菜篮子工程从数量保障型转向质量效益型．为了测试甲、乙两种不同有机肥料的使用效果，某科研单位用西红柿做了对比实验，分别在两片实验区各摘取100个，对其质量的某项指标值进行检测，质量指数值达到35及以上的为“质量优等”，由测量结果绘成如下频率分布直方图．其中质量指数值分组区间是：[20,25),[25,30),[30,35),[35,40),[40,45]．
（1）请根据题中信息完成下面的列联表，并判断是否有99.9%的把握认为“质量优等”与使用不同的肥料有关；
（2）在摘取的用乙种有机肥料的西红柿中，从“质量优等”中随机选取2个，记区间[]40,45中含有的个数为X ，求X 的分布列及数学期望，
附：2
2
()()()()()
χ−=++++n ad bc a b c d a c b d ．
19．（本小题满分12分）
在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，2cos )sin (2sin sin )cos −=−C A B A C B ． （1）求∠B 的大小；
（2）若2
2
4+=+a c △ABC 的面积为34
+△ABC 的周长．  20．（本小题满分12分）
如图，在长方体1111−ABCD A B C D 中，15,4===AB BC CC ．若平面APSB 与棱1DD ，1CC 分别交于P ，S ，且(04)=≤≤DP a a ，Q ，R 分别为棱1,BB BC 上的点，且11==B Q BR ．
（1）求证：平面1⊥PB R 平面11C D Q ；
（2）求平面APSB 与平面11C D Q 所成的夹角的余弦的最小值． 21．（本小题满分12分）
设函数()cos sin ,0,22ππ⎛⎫
⎡⎤
=−−
∈ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎣⎦
f x a x x x x ． （1）当1=−a 时，求函数()f x 的导函数()'f x 的值域；
（2）如果()0≤f x 恒成立，求实数a 的最大值． 22．（本小题满分12分）
设直线=x m 与双曲线2
2
:
(0)3
−=>y C x m m 的两条渐近线分别交于A ，B 两点，且三角形OAB 的面积
（1）求m 的值；
（2）已知直线l 与x 轴不垂直且斜率不为0，l 与C 交于两个不同的点M ，N ，M 关于x 轴的对称点为'M ，F 为C 的右焦点，若'M ，F ，N 三点共线，证明：直线L 经过x 轴上的一个定点．
2023届新高三摸底联考 数学参考答案及评分细则
一、单选题
1．D  【解析】
(
)
(2,3){1,0,1,2}=−=−Z Z R
A ．故选D ．
2．B  【解析】(
)
2
:[0,),ln 10⌝∃∈+∞+<p x x ．故选B ．
3．C  【解析】由三角函数的定义得，C 点的坐标为(4cos ,0)∠AOB ．故选C ．
4．A  【解析】设十二个节气其日影长依次成等差数列{}n a ，公差为d ，由题意可得，冬至、立春、春分日影长之和为14731.5++=a a a ，小寒、雨水、清明日影长之和为25828.5++=a a a ，大寒、惊蛰、谷雨日影长之和为369++a a a ，所以()()369258147225.5++=++−++=a a a a a a a a a ．故选A ．
5．D  【解析】设椭圆的半焦距为c ，因为C 上存在无数个点P 满足：
122
π
∠>F PF ，所以>c b ，所以22
−a b
222−>a b b
，所以02
<
<b a ．故选D ． 6．C  【解析】如图，过E 作直线∥EH BF 交AG 于H ，因为3
8
=
BE BG ，所以35==FH BE HG EG ，因为13=
AF AG ，所以设1=AF ，则2=FG ，所以33
284
=⨯=FH ，因为∥EH BF ，所以143714
===+AO AF AE AH ，所以4443()7778⎛⎫==+=+ ⎪⎝⎭AO AE AB BE AB BG 4
37
14=+AB BG ．故选C ．
7．C  【解析】因为342
π
π<<
，所以sin 40<，即0<a ，令5log (3)(1)=≥x y x x ，所以2
ln(3)ln(5)ln(3)0ln(5)ln (5)'⎛⎫−==>⎪⎭
' ⎝x x x y x x x ，所以5log (3)=x y x 在[1,)+∞上单调递增，所以5100log 3log 6<<<15log 9，所以515151
0log 3lg6log 9log 10lg15
<<<<=，所以0<<<<a b c d ．故
选C ．
8．A  【解析】电路由上到下有3个分支并联，开关A ，B 所在的分支不道的概率为225
1339
−
⨯=，开关C
，

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