２０２３年１１月上半月㊀
案例赏析
㊀
㊀㊀㊀
意外生成让高三数学复习课焕发精彩
◉安徽省宿城第一中学㊀余㊀磊
◉安徽省蚌埠第五中学㊀杨明正
㊀㊀在高三进行不等式专题复习教学的时候，因为一个学生的意外发言，打乱了笔者先前设计的教学思路，教学也因此 误入歧途 ，好在通过师生的共同努力最终 柳暗花明 ，同时收获了很多美好．这是一次难忘的经历，于是决定整理出来与大家分享．
１生成背景
复习比较大小问题时，给出了如下例题:
例题㊀(２０２０四川自贡高一期中)若x ＞０,y ＞０,
M ＝x ＋y １＋x ＋y ,N ＝x
１＋x ＋y １＋y ．则M ,N 的大小关系
(㊀㊀)．
A．M ＝N ㊀B ．M ＜N ㊀C ．M ɤN ㊀D．M ＞N
设计目的：复习比较大小的常用方法，如作差法㊁
作商法㊁单调性法和特殊值验证法．通过此题掌握解决比较大小问题的常用方法．
预设：大部分学生会采用作差法解答，考虑到小题小做，也应该会有学生取特殊值验证快速解决．(此处作差法解答过程略，运算量偏大．
)生成：笔者正要准备复习下一个问题的时候，学
生１举手说他可以提供一种新的解决办法．过程如下:
N ＝x (１＋y )＋y (１＋x )(１＋x )(１＋y )＝x ＋y ＋２x y １＋x ＋y ＋x y
＞x ＋y ＋x y １＋x ＋y ＋x y ＞x ＋y
１＋x ＋y ＝M ,
所以答案为选项B ．
２问题探源
针对学生１的解法，部分同学还是看不明白，尤
其是基础薄弱的同学对x ＋y ＋x y １＋x ＋y ＋x y ＞
x ＋y
１＋x ＋y
怎么来的比较迷惑．
学生１解释说这一步用到了 糖水不等式 的知识，以前老师在教学这个知识点的时候，他觉得 糖水不等式 非常有意思，曾经特别关注过，所以印象深刻，并且知道在课本里的具体位置．
(１
)出处人教普通高中课程标准实验教科书A 版(２０１９
年)数学必修一第４３页有这样一道课后练习题:
已知b g 糖水含有a g 糖(b ＞a ＞０)，再添加m g 糖(m ＞０
)(假设全部溶解)，糖水变甜了，请将这一事实表示为一个不等式，并证明这个不等式成立．
我们可以把上述事实表述成如下不等式：若b ＞a ＞０,m ＞０,
则有a b ＜
a ＋m
b ＋m
，称为真分数 糖水不等式 ，或有b a ＞b ＋m
a ＋m ，称为假分数 糖水不等式 ．
(２
)
证法教师：大家还知道怎么证明此不等式吗?
学生２：此不等式的证明其实也就是不等号两边比较大小的问题，作差法可以解决．
学生３：作商法也可以．
教师：其实关于此不等式的证明方法有很多种，每种方法都蕴含有丰富的数学思想方法，大家课后去研究㊁收集和整理，老师也给大家提供一些资料供参
考[１]，另择时间一起分享交流．
(３
)探究其实这个简单而平凡的不等式有着广泛的应用,
在高中数学联赛㊁高校自主招生考试及高考试题中，可以到不少它的身影，所以决定临时改变先前的复习计划，就 糖水不等式 进行重点挖掘和讲解．笔者从题库里挑选了两道题与学生一起探究:
探究１㊀(２０２０年全国卷Ⅲ,１２)已知５５＜８４
,
１３４
＜８５
．设a ＝l o g ５３,b ＝l o g ８５,c ＝l o g １３
８，则(㊀㊀)．A．a ＜b ＜c ㊀㊀㊀㊀B ．b ＜a ＜c
C ．b ＜c ＜a ㊀㊀㊀㊀D．c ＜a ＜b
学生１: 糖水不等式 是分式的形式，所以我们要把题中的a ,b ,c 通过换底公式转化成分式形式．
在学生１的思路导引下，学生先在草稿纸上尝试解答．１分钟不到还是学生１抢先举手说选A ．(接下来学生１口述，老师板书．
)学生１：先来比较a 与b 的大小．
３
２
案例赏析
２０２３年１１月上半月
㊀㊀㊀
a ＝l n ３l n ５＜l n ３＋l n ８５l n ５＋l n
８５
＝l n ２４
５l n ８＜l n ５l n ８
＝l o g ８
５＝b ．同理，再来比较b 与c 的大小:
又因为b ＝l n ５l n ８＜l n ５＋l n １３８l n ８＋l n ５＋l n
１３８
＝l n
６５
８
l n １３
＜
l n ８
l n １３
＝l o g １３
８＝c ，所以答案为选项A ．话音刚落，没想到下面的学生反对声一大片，很多同学叫嚷着说 错了错了 ,l n ６５８l n １３＜l n ８l n １３＝l n
６４
８l n １３
明显不成立．学生１既尴尬又困惑．其他学生也陷入沉思，难道此法解决不了此题?片刻之后，有三位学生举手，笔者随机请学生４来发表观点．
学生４：可以尝试比较a 与c 的大小．
因为a ＝l n ３l n ５＜l n ３＋l n １３５l n ５＋l n
１３５
＝l n ３９５l n １３＜l n
４０
５
l n １３
＝
l o g １３
８＝c ，所以答案为选项A 没错．学生４还说：比较大小不要盲目比较，要注意选
项的设置．当a ＜b 时，选项B ,C 排除，观察选项A ,D 可知关键是比较b 与c 的大小以及a 与c 的大小，前者既然走不通，就立刻考虑后者．学生４的精彩分析立刻赢得了全班热烈的掌声．看到学生１因急于求成造成失误很失落，笔者提议给学生１也来一次同样热烈的掌声，因为他给大家提供了方向．
反观以上过程，本题利用 糖水不等式 来比较大小，起到了出奇制胜的效果，甚至连题目中的已知条件都没有用到就把题目解决了．学生都觉得解法非常巧妙, 糖水不等式 很不简单，功能强大．探究２㊀证明:l o g n (n ＋１)＞l o g n ＋１(n ＋２)(n ＞１且n ɪN )．
有了探究１的经验，学生很快就有了本题的思路．学生５的证明:
l o g n (
n ＋１)＝l g
(n ＋１)l g n
＞l g (n ＋１)＋l g n ＋１
n l g n ＋l g
n ＋１n
＝l g (
n ＋１
n ＋２)
l g (n ＋１)＞l g (
n ＋２)l g
(n ＋１)＝l o g n ＋１(n ＋２)．教师：本题可以作商㊁作差再利用均值不等式放缩求证，也可以通过构造函数f (x )＝l o g x (
x ＋１)＝l n (x ＋１
)l n x 求导得证，但都没有利用 糖水不等式 求证
爽快，充分显示了 糖水不等式 事半功倍的效果．
正当准备进行课时小结和布置作业的时候，还是学生１提出：我觉得这个不等式的结构很有特点，与
糖水不等式 有相似之处，但是又说不清道不明． 糖水不等式 是分式的分子分母同时加一个正数，而这个不等式的右边相对于左边是对数的真数和底数同时加了一个数１，它们之间有点说不清楚的关联，可以称之为 对数糖水不等式 吗?
此时下课铃响起，笔者觉得学生１非常有灵感，顺着他的思路提出：如果对数的真数和底数同时加的不是１而是其他的一个正数呢?就是说不等式
l o g n (n ＋１)＞l o g n ＋k ((n ＋１＋k )(n ＞１且n ɪN ,k ＞０)是否成立?若成立，写出证明过程，并尝试推广．这也是今天的家庭作业．
３灵活运用
学生的付出肯定会有回报．有了上面的心路历程，学生对 糖水不等式 的理解更加深刻，不再是简单的记公式，很多学生已经能灵活运用了．在紧接下来的几次模拟练习和考试中，得到了很好的印证．
(１)(２０２２年河南省普通高中毕业班高考适应性
测试理科卷,１１)已知a ＝l o g ３２,b ＝l o g １１
５,c ＝l g ４．则a ,b ,c 的大小关系是(㊀㊀)．
A．a ＜b ＜c ㊀㊀㊀㊀㊀㊀B ．c ＜a ＜b
C ．c ＜b ＜a
D．a ＜c ＜b
分析:a ＝l o g ３２＝l o g ９
４＝l n ４l n ９＜l n ４＋l n
１１
９
l n ９＋l n
１１
９
＝l n
４４
９l n １１＜l o g １１
５＝b ．又因为a ＝l o g ９
log ln lg的互换公式４＝l n ４l n ９＞l n ４
l n １０＝l g ４＝c ，所以答案为选项B ．
评注：本题涉及对数的运算法则和对数函数的性
质等知识，考查了运算求解能力．比较a ,b 大小的中间量不太好，此时学生能够想起来运用 糖水不等式 解决，笔者非常欣慰．
(２)( 四省八校 ２０２２届高三第一学期期中质量
检测考试,１２
)若n ＞３且n ɪN ，则下列选项中正确的４
２
２０２３年１１月上半月㊀案例赏析
㊀
㊀㊀㊀
是(㊀㊀)．
A．l o g n (n ＋１)＜l o g n ＋１(
n ＋２)B ．
(n ＋１
n
)n
＞
(
n ＋２
n ＋１
)
n ＋１
C ．n s i n ２πn ＜(n ＋１)s i n
２π
n ＋１
D．n n
＋１n n ＋１＋１＜
n n ＋１
＋１
n n ＋２＋１
解析：由探究２，易知选项A 错误，选项B ,C 的分
析略．对于D 选项,n n ＋１n n ＋１＋１＝n n ＋１＋n n n ＋２＋n ＞
n n ＋１＋１
n n ＋２＋１，所以选项D 错误．
故答案为选项C ．
评注：本题考查了不等式证明的一些常用方法，如特殊值法㊁作差法㊁构造函数法㊁利用基本不等式放缩法等．题虽小但考查的方法很全面，如能灵活借助
糖水不等式 的相关知识，就可轻易解决．
(３)(新疆维吾尔族自治区２０２２年普通高考第二
次适应性检验理科数学,１２)实数x ,y ,
z 分别满足l o g ２１
２０x ＝２２２１,２１y ＝２２,２０z
＝２１，则x ,y ,z 的大小关系为(㊀㊀)．
A．x ＞y ＞z
B ．x ＞z ＞y
C ．z ＞x ＞y
D．y ＞x ＞
z 解析：由２１y
＝２２,２０z ＝２１，得y ＝l o g ２１２２,z ＝l o g ２０
２１，由探究２，易知z ＞y ．设f (x )＝l n x
x
,x ɪ(０,＋ɕ)，求导可得,f ᶄ(x )＝１－l n x
x ２．当x ɪ(e ,＋ɕ)时,f
ᶄ(x )＜０，所以f (x )在(e ,＋ɕ)
上单调递减．故f (２０)＞f (２１)，于是l n ２０２０＞l n ２１
２１，即２１l n ２０＞
２０l n ２１．
所以２０２１＞２１２０
，可得２０２１
２０
＞２１,
进一步可得２１２０
＞l o g ２０
２１＝z ．又因为x ＝
(２１
２０)
２２
２１
＞２１
２０
，所以x ＞z ．故答案为选项B ．
评注：本题主要考查指数式和对数式的互化㊁对数值大小的比较，并构造函数，利用函数的单调性来解决问题，结合 对数糖水不等式 提高解题效率．
(４) ２０２２届炎德英才长郡十五校联盟高三第二
次联考(全国卷)数学文科,１２ 已知a ＝l o g ３
１６,b ＝l o g ２５,c ＝l o g ５
３５，则a ,b ,c 的大小关系为(㊀㊀)．A．b ＞c ＞a
B ．a ＞c ＞b
C ．b ＞a ＞c D．a ＞b ＞c
解析：因为a ＝２l o g ３４,b ＝l o g ２５＝l o g ４
２５＝２l o g ４５，由探究２，易知l o g ３４＞l o g ４５＞l o g ５６，所以２l o g ３４＞２l o g ４５＞２l o g ５
６．所以a ＞b ＞l o g ５３
６＞c ．故答案为选项D ．评注：本题考查了对数的运算性质以及推理能力和计算能力，利用 糖水不等式 问题瞬间被秒杀．
４一点启示
不等式是高中数学的核心内容之一，同时也是难点之一．不少不等式问题处理起来比较棘手，但若能巧妙运用一些著名不等式，或许可以有效地解决关键步骤，给人一种举重若轻的感觉．平时不少教师对基本不等式㊁绝对值不等式㊁柯西不等式等比较重视，带领学生研究的比较多，而可能忽视了对一些常规不等式的价值挖掘．通过以上对近年来的高考题和质检模拟题的分析，可见 糖水不等式 的使用越来越多，尤其是２０２２年更加频繁，有愈演愈烈之势，所以笔者认为，重视 糖水不等式 深层次探究和理解应用很有必要，要引起我们一线教师的高度重视．
经过这样一次的复习课教学，一方面学生能把数学与生活进行联系，另一方面激发了学生的学习兴趣
和探究动力，这是比知识本身更重要的东西．前苏联数学教育家奥加涅相说过: 必须重视很多习题潜在着进一步扩展其数学功能㊁发展功能和教育功能的可行性． 课本的例题和习题具有很好的示范引领作用，它们或者是重要的结论，或者体现某种数学思想方法．在数学教学中，教师应努力探究教材中的例㊁习题并加以延伸或拓展，激活教材例㊁习题，构建深度教学，帮助学生巩固数学知识，提升数学能力，训练数学思维，发展学生的数学运算㊁逻辑推理等数学核心素养．当然，探究应结合教材的内容和学生的实际，并在教师的启发和指导下由学生讨论完成．
参考文献:
[１]刘彦永． 糖水不等式 的２３种证法及其应用[J ]．
数学教学通讯,２０２０(６):７３Ｇ７５．Z
５
２

版权声明：本站内容均来自互联网，仅供演示用，请勿用于商业和其他非法用途。如果侵犯了您的权益请与我们联系QQ:729038198，我们将在24小时内删除。