第2课时　对数的运算法则(2)
教材要点
要点一　常用对数与自然对数
(1)常用对数：以10为底的对数，叫作常用对数，并且把log10N记为lg N.
(2)自然对数：以e(e＝2.71828…)为底的对数，叫作自然对数，并且把loge N记为ln N.
要点二　对数换底公式
log a b＝log c b
log c a
(a＞0，且a≠1，c＞0，且c≠1，b＞0)．
特别地：log a b·log b a＝________(a＞0，且a≠1，b＞0，且b≠1)．
状元随笔　对数换底公式常见的两种变形
(1)log a b·log b a＝1，即
1
log
a
b＝log b a，此公式表示真数与底数互换，所得的对数值
与原对数值互为倒数 .
(2)log
N n M m＝
m
n
log N M，此公式表示底数变为原来的n次方，真数变为原来的m次
方，所得的对数值等于原来对数值的m
n
倍．
基础自测
1.计算：log927＝(  ) A．2B．4
C．3D．3 2
2．log63·log96＝(  )
A．1
3
B．3
C．2D．1 2
3．若lg5＝a，lg7＝b，则用a，b表示log75等于(  ) A．a＋b B．a－b
C．b
a
D．
a
b
4．计算：log59·log8125＝________．
题型1　利用换底公式直接求值
例1　计算下列各式的值．
(1)(log43＋log83)log32；
(2)log5√2×log79
log
5
1
3
×log
7
3√4.
方法归纳
(1)利用对数的换底公式可以将不同底对数的问题化为同底对数的问题．
(2)换底时要注意与题中条件结合，所取的底数要便于计算．
(3)要注意公式的逆用，如log23
log29＝log93＝1
2
.
跟踪训练1　求值：
(1)
1
log
4
6
+
1
log
9
6
(2)(log23＋log43)(log32＋log274)
题型2　利用换底公式条件求值
例2　设3x＝4y＝36，求2
x
+
1
y
的值．
方法归纳
与对数有关的条件求值，需要对已知条件和所求式子进行化简转化，原则是化为同底的对数，以便利用对数的运算性质，要整体把握对数式的结构特征，灵活运用指数式与对数式的互化．
跟踪训练2　已知2x＝3y＝a，1
x
+
1
log ln lg的互换公式y
＝2，求a的值．
　对数运算在实际问题中的应用
例3　一台机器原价20万元，由于磨损，该机器每年比上一年的价值降低8.75%，问经过多少年这台机器的价值为8万元(lg2≈0.3010，lg9.125≈0.9602)?
方法归纳
关于对数运算在实际问题中的应用
(1)在与对数相关的实际问题中，先将题目中数量关系理清，再将相关数据代入，最后利用对数运算性质、换底公式进行计算．
(2)在与指数相关的实际问题中，可将指数式利用取对数的方法，转化为对数运算，从而简化复杂的指数运算．
跟踪训练3　中国的5G技术领先世界，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：C＝W log2(1+S N)，它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速率C取决于信
道带宽W、信道内信号的平均功率S、信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中S
N
叫做信
噪比．当信噪比比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计，按照香农公式，若不改变带
宽W，而将信噪比S
N
从1000提升至5000，则C大约增加了(  )
附：lg2≈0.3010
A．20%B．23%
C．28%D．50%
课堂十分钟
1．计算log225·log52√2＝(  )
A．3B．4
C．5D．6
2．已知log212＝m，，则log312＝(  )
A．
2
m−2
B．
m
m−2
C．m−2
2
D．
m−2
m
3．若2a＝10，b＝log510，则1
a
+
1
b
＝(  )
A．1B．2
C．3D．4
4．log35log46log57log68log79＝________．
5．设α，β是方程lg2x－lg x－3＝0的两根，求logαβ＋logβα的值．
第2课时　对数的运算法则(2)
新知初探·课前预习
要点二
1
[基础自测]
1．解析：log927＝log327
log39＝log33
3
log
3
32
＝3
2
，故选D.
答案：D
2．解析：log63·log96＝log63·
1
log
6
9＝log63·
1
2log
6
3＝
1
2，故选D.
答案：D
3．解析：log75＝lg5
lg7
＝
a
b
，故选D.
答案：D
4．解析：根据换底公式，原式等价于ln9
ln5
×
ln25
ln81
＝
ln9
ln5
×
2ln5
2ln9
＝1.
答案：1

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