长 沙 理 工 大 学
数学与计算科学学院
实 验 报 告
实验项目名称 随机数及Poisson过程的模拟
所属课程名称         随机过程         
实 验 类 型            综合           
实 验 日 期                           
班    级                        
学    号                        
姓    名                        
成    绩                        
一、实验概述：
【实验目的】
  通过模拟产生随机数，进一步编程实现对possion过程样本轨道的模拟。掌握生成随机变量的方法，深入了解poisson过程的性质。
【实验原理】
1、随机变量的生成（逆函数法）：利用均匀分布并结合分布函数的逆变换，生成分布函数为F（x）的变换：若U是[0,1]区间上的均匀分布，F（x）为任一给定的分布函数，定义，则随机变量的分布函数为F（x）;
2、Poisson过程的模拟：（1）利用事件发生的间隔时间是独立同分布的随机变量序列，（2）给定事件发生次数的条件下，事件发生的时刻与该区间上对应的均匀分布的顺序统计量相同
【实验环境】
硬件环境
Windows 7 Microsoft Corporation
Inter(R)Core(TM) i5-3210 
软件环境
Matlab  7.0
二、实验内容：
【实验方案】
1、利用求逆函数的方法生成指数分布随机变量；
2、（a）利用独立同分布的指数分布序列模拟强度为1的Poisson过程；
（b）利用均匀分布的顺序统计量模拟强度为1的Poisson过程
【实验过程】（实验步骤、记录、数据、分析）
1.利用求逆函数的方法生成指数分布随机变量；
步骤一：我们知道一个指数分布的概率密度函数是：

其中λ > 0是分布的一个参数，常被称为率参数（rate parameter）。即每单位
时间发生该事件的次数。指数分布的区间是[0,∞)。 如果一个随机变量X 呈指
数分布，则可以写作：X ~ Exponential（λ）。
累积分布函数:
累积分布函数可以写成：
所以在 时该分布函数的逆变换为：
步骤二：生成均匀分布在[0,1]上的随机数
    Matlab里生成[0，1]lambda编程上的均匀随机数的语句是：rand(1,1); rand(n,m)。
步骤三：生成服从参数为 lambda 的指数分布的随机数
生成有连续分布函数随机数的一般方法是用反函数法。设G(y)=F^{-1}(y)，如果u(1)..., u(n) 是服从（0，1））上均匀分布的随机数，那么G(u(1)), ..., G(u(n))就是分布函数为F(x)的随机数。
例：生成一组参数为1的服从指数分布的随机数
lambda=1;
x=rand(1,10);
y=-(log(1-x))/lambda
结果为： y=[ 0.6863 ,2.3003 ,1.7239 ,1.0354 ,1.7036 ,1.0795 ,0.4185 ,0.3421 ,0.4173 ,0.7637]
对于如何验证这组随机量是否满足参数为1的指数分布，
2，（a）利用独立同分布的指数分布序列模拟强度为1的Poisson过程；
我们知道计数过程{N(t),t0} 是参数为的Poisson 过程，如果每次事件发生的时间间隔为 相互独立，且服从同一参数为的指数分布。

因此只需产生n个同指数分布的随机数，将其作为，即可模拟Poisson过程。
假设我们要产生20个服从参数为1的指数分布的随机数，则可用以下编程实现：
lambda=1;
n=20;
X=[0 -log(rand(1,n))./lambda];
再利用MATLAB中的cumsum函数与stairs函数，便可得出一条满足参数为1的Poisson分布的样本路径。
stairs(cumsum(X),0:n);
如图：
（b）利用均匀分布的顺序统计量模拟强度为1的Poisson过程
首先引入定理1. 设{N(t),t0}是计数过程， 为第n个事件与第n-1个事件的时间间隔，

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