第３２卷第１期大学物理实验
Ｖｏｌ.３２Ｎｏ.１２０１９年２月
ＰＨＹＳＩＣＡＬＥＸＰＥＲＩＭＥＮＴＯＦＣＯＬＬＥＧＥ
Ｆｅｂ.２０１９
收稿日期:２０１８￣０９￣０６
基金项目：江苏省现代教育技术研究课题(２０１８￣Ｒ￣６３８１４)
文章编号:１００７￣２９３４(２０１９)０１￣０１１２￣０４
用Ｍａｔｌａｂ软件模拟树叶在风中的无序运动
张㊀林
(南京林业大学ꎬ江苏南京㊀２１００３７)
摘要：使用Ｍａｔｌａｂ/Ｓｉｍｕｌｉｎｋ软件ꎬ建立了树叶在风中振动的仿真模型ꎬ得到了单片树叶无序运动
的位移㊁速度ꎬ通过对多片树叶的无序振动取统计平均ꎬ发现树叶在风中做小幅度的振动ꎬ其机械能是近似守恒的ꎮ关
键
词：定轴转动ꎻＭａｔｌａｂ/Ｓｉｍｕｌｉｎｋꎻ空气阻尼
中图分类号:Ｏ４￣３９
文献标志码:Ａ
ＤＯＩ:１０.１４１３９/ｊ.ｃｎｋｉ.ｃｎ２２￣１２２８.２０１９.０１.０２８
㊀㊀振动是自然界普遍存在的一种运动形式ꎬ它定义为物体或物体的一个部分在平衡位置附近来回往复的运动[１]ꎮ振动按照空间可分为一维的直线振动ꎬ二维的平面振动和三维的空间振动ꎮ一维最简单㊁最典型的振动是弹簧振子的简谐振动ꎬ而二维的振动主要有单摆㊁复摆㊁弹簧摆㊁串联并联耦合摆的平面摆动ꎮ振动在时间上又可分为周期振动㊁准周期振动和非周期振动(混沌)ꎬ例如文献[２￣５]提出了树叶在风中做非周期性振动的理论模型ꎬ分别使用Ｍａｙａ㊁Ｍａｔｌａｂ㊁Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａ语言得到了树叶的运动方程和能量曲线[２￣６]ꎮ
通过Ｍａｔｌａｂ/Ｓｉｍｕｌｉｎｋ仿真软件建立了叶片在空气中做无序振动的虚拟实验模型ꎬ通过改变模型中空气的阻尼系数ꎬ来研究树叶在风中的运动状态ꎬ加深学生对刚体做无序扭动的认识和理解ꎮ
１㊀树叶在空气中运动的动力学模型
考虑一片可视为刚体的树叶ꎬ其结构是由叶
柄和叶片两部分组成的ꎬ如图１所示ꎮ
图１　树叶的结构
叶片在风中可以绕叶柄方向的叶脉轴做定轴转动(扭动)ꎬ也可以随叶柄一起上下㊁左右摆动ꎮ通常情况下ꎬ叶片的扭动更为常见ꎬ而叶片的摆动只有在大风的情况下也会出现ꎬ因此我们为了简化模型ꎬ只考虑树叶沿叶脉轴的转动ꎬ其动力学方程为表示为:
Ｊｄ２θ(ｔ)ｄｔ
２
＝－ηｄθ(ｔ)
ｄｔ－γθ(ｔ)＋Ｍｒ(ｔ)(１)
其中Ｊｄ２θ(ｔ)
ｄｔ２
是树叶所受到的合外力矩ꎬ其
中Ｊ是叶片绕叶脉轴的转动惯量ꎻ右边第一项－η
ｄθ(ｔ)
ｄｔ
是空气对叶片的粘滞力矩ꎬ其大小与角速度成正比ꎻ右边第二项－γθ(ｔ)表示叶片自由转动的扭矩ꎻ最后一项Ｍｒ(ｔ)是风对叶片的随机力矩ꎮ(１)式可以进一步简化为如下的常系数微分方程:
ｄ２θ(ｔ)ｄｔ
２
＋κｄθ(ｔ)ｄｔ＋ω２
matlab软件怎么使用θ(ｔ)＝ｆ(ｔ)(２)
(２)式中的ω表示叶片振动的角频率ꎻκ是
约化的空气阻尼系数ꎻｆ(ｔ)是叶片受到的约化随机力ꎬ并假定随机力的分布满足高斯(正态)分布ꎮ
叶片在空气中转动的能量主要是转动的动能
和扭转的势能ꎬ其形式可表示为
Ｅ(ｔ)＝１２Ｊｄθ(ｔ)ｄｔæèçöø÷２＋１
２
κθ(ｔ)２
(３)
为了得到树叶振动能量的定性结论ꎬ需要将上述(３)式作约化处理ꎬ即将等式的左右两边同除去１
２
Ｊꎬ就可得到约化的能量公式:
Ｅ (ｔ)＝ｄθ(ｔ)ｄｔæèç
öø
÷２
＋ω２θ(ｔ)(４)
２㊀树叶在风中无序转动的Ｓｉｍｕｌｉｎｋ
建模与仿真
㊀㊀将使用Ｍａｔｌａｂ/Ｓｉｍｕｌｉｎｋ仿真软件ꎬ对树叶在风中作定轴转动的运动方程(２)和能量方程(４)式进行建模ꎬ得到叶片转动的角位移㊁角速度以及
平均能量ꎮ
首先ꎬ利用方程(２)建立了单片树叶在风中扭动的仿真模型ꎬ打开Ｍａｔｌａｂ/Ｓｉｍｕｌｉｎｋ仿真界面ꎬ如图２所示ꎬ建立一个随机数产生模块ꎬ作为(２)式中叶片受到的随机力ｆ(ｔ)ꎬ将其与叶片转动
的瞬时速度㊁位移相加后ꎬ积分一次ꎬ得到下一个时刻的角速度
ｄθ
ｄｔ
ꎬ然后再积分一次得到下一时刻的角位移θꎬ再将
ｄθ
ｄｔ
和θ分别乘上系数κ和ω２与下一时刻的ｆ(ｔ)相加ꎬ构成一个封闭的代数环ꎬ就能循环积分得到叶片随风运动的角位移和角速度
ꎮ
图２㊀单片树叶在风中扭动的状态和能量
根据方程(４)ꎬ还可以得到多片树叶在风中作无序振动的平均能量ꎬ只需要将单个叶片的角
位移和角速度平方后ꎬ乘上系数ω２和１ꎬ并相加就可以得到(４)式中单片树叶的约化能量Ｅ (ｔ)ꎬ并将其封装为一个子模块Ｓｕｂｓｙｓｔｅｍꎬ复制产生多个相同的子模块ꎬ只需要对其中的随机数产生器ꎬ设定不同的随机数种子ꎬ就可以模拟多个不同随机扭动的叶片ꎬ并对多个子模块的输出能量取算术平均值ꎬ就可以得到多个树叶的平均约化能量ꎬ例如：运行图３就可以得到２０片不同树叶的平均能量
ꎮ
图３㊀多片树叶在风中扭动的平均能量
在完成对树叶无序运动的Ｓｉｍｕｌｉｎｋ建模后ꎬ只需要设定相应的空气阻尼系数κ＝２Ｎｓ/ｍꎬ叶片受到的随机力ｆ(ｔ)满足高斯分布ꎬ其平均值为
０ꎬ方差为１.０ꎬ叶片振动频率分别取ω＝１.０和４.０ｒａｄ/ｓꎬ运行仿真程序ꎬ就可以得到单片树叶在不同振动频率下扭动的角度和角速度ꎬ如图４所示ꎮ
图４左边上图和下图分别是振动频率ω＝１.０ｒａｄ/ｓ时ꎬ树叶转动的角度和角速度ꎬ从图中可以看出树叶在平衡位置θ＝０附近做角度不大的无序转动ꎬ其转角忽大忽小ꎬ但最大转角小于０.６ｒａｄʈ３５ʎꎬ另外从角速度来看ꎬ单片树叶的扭动基本上保持了时间上的周期性ꎬ其角速度的变化也在０附近来回变化ꎮ图４右边上下图分别是振动频率ω＝４.０ｒａｄ/ｓ时ꎬ树叶转动的角度和角速度ꎬ与左图相比较ꎬ可以看出叶片随时间的振动显著变快ꎬ但其转角的幅度却减小了ꎬ角速度没有明显的变化ꎮ
３
１１用Ｍａｔｌａｂ软件模拟树叶在风中的无序运动
图４㊀空气阻尼系数κ＝２Ｎｓ/ｍꎬ振动频率ω＝１.０和４.０ｒａｄ/ｓ时ꎬ树叶扭动的角度和角速度
图５是空气阻尼系数κ＝２Ｎｓ/ｍꎬ振动频率ω＝１.０时ꎬ１００片树叶在风中扭动的平均能量
ꎮ
图５㊀空气阻尼系数κ＝２Ｎｓ/ｍꎬ振动频率ω＝１.０时ꎬ１００片树叶在风中扭动的平均能量
㊀㊀从图５中可以看出在取了大量树叶的无序运动作为统计平均后ꎬ树叶的机械能近似趋向于一
４
１１用Ｍａｔｌａｂ软件模拟树叶在风中的无序运动
个常数<Ｅ (ｔ)>＝０.０５Ｊꎬ数据点的小幅涨落是由于取样的叶片数量不是无穷多ꎬ这也就说明了树叶在风中的无序转动ꎬ其机械能是近似守恒的ꎮ
３㊀结㊀论
通过使用Ｍａｔｌａｂ/Ｓｉｍｕｌｉｎｋ软件构建树叶在风中作无序转动的虚拟实验模型ꎬ得到了单片树叶在风中做定轴转动的角度㊁角速度ꎬ并对多片树叶无序运动的能量取统计平均ꎬ得到树叶在风中做小角度转动ꎬ其机械能是近似守恒的ꎬ这个结论与现实相符合ꎬ从而加深了学生对刚体无序转动问题的认识和理解ꎮ
参考文献:
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ｉｎｔｈｅＷｉｎｄｗｉｔｈＭａｔｌａｂＳｏｆｔｗａｒｅ
ＺＨＡＮＧＬｉｎ
(ＮａｎｊｉｎｇＦｏｒｅｓｔｒｙＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙꎬＪｉａｎｇｓｕＮａｎｊｉｎｇ２１００３７)
Ａｂｓｔｒａｃｔ:ＵｓｉｎｇＭａｔｌａｂ/Ｓｉｍｕｌｉｎｋｓｏｆｔｗａｒｅꎬｔｈｅｓｉｍｕｌａｔｉｏｎｍｏｄｅｌｏｆｌｅａｆｖｉｂｒａｔｉｏｎｉｎｔｈｅｗｉｎｄｉｓｅｓｔａｂｌｉｓｈｅｄꎬａｎｄｔｈｅｄｉｓｐｌａｃｅｍｅｎｔꎬｖｅｌｏｃｉｔｙｏｆｔｈｅｄｉｓｏｒｄｅｒｅｄｍｏｔｉｏｎｏｆｔｈｅｌｅａｆａｒｅｏｂｔａｉｎｅｄ.Ｂｙｔａｋｉｎｇｔｈｅｓｔａｔｉｓｔｉｃａｌａｖｅｒａｇｅｏｆｔｈｅｄｉｓｏｒｄｅｒｅｄｖｉｂｒａｔｉｏｎｏｆｍｕｌｔｉｐｌｅｌｅａｖｅｓꎬｗｅｆｉｎｄｔｈａｔｔｈｅｌｅａｖｅｓｔａｋｅａｓｍａｌｌａｍｐｌｉｔｕｄｅｏｆｖｉｂｒａｔｉｏｎꎬａｎｄ
ｔｈｅｍｅｃｈａｎｉｃａｌｅｎｅｒｇｙｉｓａｐｐｒｏｘｉｍａｔｅｌｙｃｏｎｓｅｒｖｅｄ.
Ｋｅｙｗｏｒｄｓ:ｆｉｘｅｄａｘｉｓｒｏｔａｔｉｏｎꎻＭａｔｌａｂ/Ｓｉｍｕｌｉｎｋꎻａｉｒｄａｍｐｉｎｇ
５
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