微分⼏何笔记（2）——曲线的参数化
第⼆周讲完了Klingenberg的第⼀章Curves，做⼀点微⼩的笔记。
分成三个部分，本篇讲曲线的弧长参数；下⼀篇讲⼀般的Frenet标架及⽅程组；再下⼀篇讲⼆维三维空间曲线的curvature。GTM51对⼊门者会难⼀些，因为直接从最⼀般的维情况⼊⼿，再回头看⼆三维空间中的曲线，相⽐之下 Calculus and Analysis in Euclidean Space  这本UTM的Chapter 8 Parametrized Curves 算是相当新⼿友好的⼊门内容，由⼆三维曲线推⼴到⼀般情况。
借⽤宋⽼师的话，微分⼏何的本质是⼏何，主要通过微积分的⼿段，⽤数和函数来刻画⼏何图形的性质。可能在学习的时候会觉得明明很直观，⼏何画出来就是这样的，但是要⽤规范的严格语⾔说出来很困难。所以说也是⼀个打基础的课程，先学会怎样严格的表述，在这基础之上才能正确的使⽤微积分这个⼯具。
2.1 参数曲线(Parametrized Curves)
Definition 2.1.1  参数曲线 是指⼀个光滑映射(smooth mapping)：
这⾥,  且⾮空。
更进⼀步，如果 ，称这样的曲线是正则的(regular).
也就是说我们平时说的“曲线”，其实是⼀个映射，平时说“点在曲线上”，是指这⼀点，如在这个映射的像集中。
我们⼀般都要求曲线是正则的，因为是光滑映射，所以导数不等于零导数的范数不等于零，直观理解是这样的曲线是不会停下的，也因此我们可以⽤隐函数定理，反函数定理等。
如果是不是开区间，定义的意思是，存在⼀个包含的开区间，使得在上是⼀个光滑映射，并且，这样就解决了端点⽆定义的问题。
这⾥我们说的参数曲线都是“光滑”的，这个要求也太⾼了，不过现在考虑的都是很显然，⼀眼能够看明⽩的曲线，以后会逐步放宽。
Definition 2.1.2
i)切空间(Tangent Space):
对，切空间是指所有以为起点的维向量所构成的空间，记作.
ii)沿着曲线的向量场(Vector field along ):
指⼀个可微映射，，.
n c :I →R n
n ≥1I ⊆R n ∀t ∈I ,c (t )=′ 0c (t )⇔I I I ∗c ∗I ∗c ∣I =∗c x ∈0R n x 0n T R x 0n c c :I →R n X :I →R n ∀t ∈I X (t )∈T R c (t )n
iii)切向量场(Tangent vector field of ):
指⼀个沿着的向量场，其中在处的向量由切向量给出。
这⾥主要是规定向量的起点位于什么地⽅。
切空间是相当于把当成原点所建⽴的空间，所有中向量起于.
沿着曲线的向量场是指在曲线的每⼀点上都"⽣长"着⼀些向量，⽐如下图中所⽰那样：
图1：⽣长在曲线上的向量场
接下来⼀节讲讲弧长参数曲线(parametrization by arc length)，⽤曲线的弧长做参数，这样做可以简化计算过程。
2.2 弧长参数曲线(Parametrization by Arc Length)
Definition 2.2.1 如果⼀个映射是光滑的，⽽且其逆映射也是光滑的，称映射是微分同胚(Diffeomorphism)
Definition 2.2.2(Equivalence of Curves) 两条曲线  和  之间如果存在⼀个微分同胚 ，使得 ，则称是⼀个参数变换(parameter transformation).并且如果 ，称这样的参数变换是保持定向的(orientation preserving) .
由参数变换所得的曲线构成⼀个所有 中曲线的等价类（满⾜⾃反性(reflexive)，对称性(symmetric)和传递性(transitive)），给这个等价类起个名字叫做 ⾮参数化曲线(unparametrized curve).
其实我们可以把看成是关于时间的集合，把看成⼀个空间中随时间运动的轨迹，这样就是速度，⽽则是速率。通过不同的参数变换，改变了质点沿曲线运动⼀定长度所需要的时间（区间的长度），从⽽改变了质点运动的速率。我们特别关注的，是其中以单位速度运动的参数曲线，也就是 的曲线。
Definition 2.2.3 (Arc length of a curve) 光滑曲线上两点之间的弧长为：
.
事实上，这个积分对于及更好的曲线都是well-define的，但是对连续的曲线不⼀定对，因为存在在闭区间上长度⽆穷的连续曲线。⽐如  在  附近⾮道路连通；
⽐如把映射到的⽪亚诺曲线；
把有限弧长的连续曲线，称为可求长曲线(rectifiable curve)
Definition 2.2.4 (Parametrization by arc length) 曲线称为弧长参数化的，如果，等价的说，.
c :I →R n c c (t )t ↦c (t )′x 0R n x ∈0R n x 0ϕ:I →I ′ϕ:−1I →′I ϕc :I →R n :c
~→I ~
R n ϕ=c ~c ∘ϕϕϕ>′0R n I c (t )c (t )′∣c (t )∣′I ∣c (s )∣=′1c :I →R n t ,t ∈0I ,t <0t L (t ,t )=0∣c (τ)∣dτ
∫t 0t ′C 1y =sin x 1x =0[0,1][0,1]×[0,1c (s )L (s ,s )=0s −s 0∣c (s )∣=′1,∀s ∈I
试想，现在我们通过改变曲线的参数，使得之前需要通过复杂的含绝对值积分才能得到的弧长，现在只需要做差就能够得到。通过这种⽅式，让计算变得如此简单，如果对后⾯计算曲率的过程有了解，就能感觉到这是⼀件⾮常令⼈振奋的事情，⽽且要是能把任意曲线都弧长参数化，那这事已经好的不能再好了。
直觉上来说这事肯定是对的，因为弧长参数化的直观理解就是以单位速度沿着曲线运动，这只要曲线本⾝的光滑程度够就⾏。
那既然是以单位速度沿着曲线运动，我只要以弧长为参数不就好了吗？这样⽤原来给定参数曲线的弧长来做参数，经过⼀个单位时间，等于经过⼀个单位弧长，等于沿弧长以单位速度运动。太妙了。
接下来是本篇笔记铺垫到现在，为了阐述的主要命题：
Proposition 2.2.5 每⼀个正则曲线(Regular Curve)都等价于⼀个弧长参数化曲线。
Proof  .存在性：假设为⼀光滑曲线，我们想⼀个，满⾜和的像集是⼀模⼀样的。为此我们需要⼀个映射. 之前我们考虑过，以的弧长，来作为的参数，也就是，写成交换图的形
式：因为 (c is regular), 由反函数定理知道反函数存在且可导。这样，我们把交换图上边以为参数的映射，转化成了下边
以为参数的映射，接下来只需要验证，由隐函数求导法则以及变上限函数的导数：两边同时取绝对值，就得到了结论，存在性得证，并且知道.唯⼀性是显然的，假设有两条参数曲线都满⾜条件导数为1，因为是正则曲线，所以其导数可以去掉绝对值，同时积分。这样可以看出，参数起始于同⼀点的弧长参数化曲线是唯⼀的，证毕。
2.3 ⼀般参数曲线化成弧长参数曲线的例⼦
怎么把⼀般参数曲线化成弧长参数曲线，其实在上⾯命题的证明中已经构造出来了。
数学证明很多时候是构造性的，怎么证明，就怎么使⽤；⽽有的证明只是⽤严格话的语⾔论述，说明条件满⾜某些定义，这种证明算是在教我们该怎么“说话”。⼆者都是需要的，但是对于推动数学进展来说，更重要的是前者，因为启发性更强，毕竟，好的证明使我们更加聪明。
这⾥求可能会是很困难的⼀步，因为本来是个积分函数，且变量在积分上限，这就意味着很多时候，我们只能在形式上表⽰出来，并不能真正求出（which mathematicians always say.）
举两个能求出来弧长参数化曲线的例⼦：
Example 2.3.1 , given by .
这个形式⼀看就跟圆脱不了关系，只是问题在于他不是以单位速度沿圆周运动的，那么将他弧长参数化之后，应该会变成标准圆的参数⽅程才对。
Solution:
先确定⾃变量的范围，这⾥,
c :I →R ,t ↦n c (t ):c ~→I ~R ,s ↦n (s )c
~c (t )(s )c ~ℓ:I →I ~c c
~s =ℓ(t )=∣c (τ)∣dτ∫t 0t
′ℓ(t )=′∣c (t )∣>′0t s ∣(s )∣=c ~′1c (t )=′(ℓ(t ))=c ~′(s )ℓ(t )=c ~′′(s )∣c (t )∣c ~′′(s )=c
~c ∘ℓ(s )−1ℓ−1ℓℓ−1c :R →R 2c (t )=(cos e ,sin e )t t t ∈(−∞,∞)s =ℓ(t )=∣c (τ)∣dτ=∫−∞t ′e dτ=∫−∞t
τe ,s ∈t (0,∞)
所以.
最终的弧长参数化曲线为：这也印证了我们的想法。
Example 2.3.2 , given by .
这⾥的曲线称为摆线(cycloid)，且
取的是其中间的⼀段：Solution:
因为在上函数导数恒不为0，反函数存在，所以最终：我要知道结果会是这样，⼀开始我就不愿意求了。所以接下来的问题是有没有对⼀般⾮弧长参数适⽤的公式呢，这个问题将会在第四次笔记中讲到。
⾄此，曲线的参数化就讲完了，下⼀篇就初⼊微分⼏何的正题——Frenet标架。
t =ℓ(s )=−1ln s ,s ∈(0,∞)(s )=c
~c ∘ℓ(s )=−1(cos s ,sin s ).c :[,]→2π23π
R 2c (t )=(t −sin t ,1−cos t )θs =ℓ(t )=∣c (τ)∣dτ
=∫2πt ′dτ=∫2πt (1−cos τ)−sin τ222sin dτ∫2πt 2τ⇒s =−4cos +2t 2,s ∈2[0,4],
s parameter2∈2t [,]4π43π
cos (s )=c
~c ∘ℓ(s )=−1(t −sin t ,1−cos t )⇒(s )=c ~(2arccos −42−s 2,2−82−s 2(2+s )−2s 2222()).
42−s 22

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