python加权随机_加权随机采样
（WeightedRandomSampling）
⼀个集合⾥有 n 个元素，每个元素有不同的权重，现在要不放回地随机抽取 m 个元素，每个元素被抽中的概率为元素的权重占总权重的⽐例。要怎么做呢？
现在考虑只抽取⼀个元素，假设权重之和为 1 。我们可以从 [0, 1] 中随机得到⼀个权重，假设为 0.71 ，⽽后从第⼀个元素开始，不断累加它们的权重，直到有⼀个元素的累加权重包含 0.71 ，则选取该元素。下⾯是个⽰意图：
要选取 m 个元素，则可以按上⾯的⽅法先选取⼀个，将该元素从集合中去除，再反复按上⾯的⽅法抽取剩余的元素。这种⽅法的复杂度是O(mn) ，并且将元素从集合中删除其实不太⽅便实现。
当然，最重要的是这个算法需要多次遍历数据，不适合⽤在流处理的场景中。
Algorithm A 是论⽂ Weighted Random Sampling 中提出的，步骤如下：
对于集合 $V$ 中的元素 $v_i \in V$，选取均匀分布的随机数 $u_i = rand(0, 1)$ ，计算元素的特征 $k_i = u_i^{(1/w_i)}$
将集合按 $k_i$ 排序，选取前 $m$ ⼤的元素。
算法的正确性在作者 2006 年的论⽂ Weighted random sampling with a reservoir ⾥给了详细的证明。论⽂中给出了算法的两个变种A-Res 与 A-ExpJ，它们都能在⼀次扫描中得到 m 个样本。⾮常适合在流处理的场合中。
A-Res(Algorithm A With a Reservoir) 是 Algorithm 的“蓄⽔池”版本，即维护含有 m 个元素的结果集，对每个新元素尝试去替换结果集中权重最⼩的元素。步骤如下：
将集合 $V$ 的前 $m$ 个元素放⼊结果集合 $R$。
对于结果集⾥的每个元素，计算特征值 $k_i = u_i^{(1/w_i)}$，其中 $u_i = rand(0, 1)$
对 $i = m+1, m+2, \dots, n$ 重复步骤 4 ~ 6
将结果集中最⼩的特征 $k$ 作为当前的阈值 $T$
对于元素 $v_i$，计算特征 $k_i = u_i^{(1/w_i)}$，其中 $u_i = rand(0, 1)$
如果 $k_i > T$ 则将 $R$ 中拥有最⼩ $k$ 值的元素替换成 $v_i$。
论⽂证明了如果权重 $w_i$ 是⼀般连续分布上的随机变量，则上⾯的算法中插⼊ $R$ 的次数为 $O(m \log(\frac{n}{m}))$。该算法⽤Python 实现如下：
import heapq
import random
def a_res(samples, m):
"""
:samples: [(item, weight), ...]
:k: number of selected items
:returns: [(item, weight), ...]
"""
heap = [] # [(new_weight, item), ...]
for sample in samples:
wi = sample[1]
ui = random.uniform(0, 1)
ki = ui ** (1/wi)
if len(heap) < m:
heapq.heappush(heap, (ki, sample))
elif ki > heap[0][0]:
heapq.heappush(heap, (ki, sample))
if len(heap) > m:
heapq.heappop(heap)
return [item[1] for item in heap]
A-Res 需要对每个元素产⽣⼀个随机数，⽽⽣成⾼质量的随机数有可能会有较⼤的性能开销，，所以
论⽂中给出了 A-ExpJ 算法，能将随机数的⽣成量从 $O(n)$ 减少到 $O(m\log(\frac{n}{m})))$。从步骤上看，很像我们最开始提出的简单版本，设定⼀个阈值并跳过⼀些元素。具体步骤如下：
将集合 $V$ 的前 $m$ 个元素放⼊结果集合 $R$。
对于结果集⾥的每个元素，计算特征值 $k_i = u_i^{(1/w_i)}$，其中 $u_i = rand(0, 1)$
将 $R$ 中⼩最的特征值记为阈值 $T_w$
对剩下的元素重复步骤 5 ~ 10
令 $r = rand(0, 1)$ 且 $X_w = \log( r )/\log(T_w)$
从当前元素 $v_c$ 开始跳过元素，直到遇到元素 $v_i$，满⾜
$w_c + w_{c+1} + \dots + w_{i-1} \lt X_w \le w_c + w_{c+1} + \dots + w_{i-1} + w_{i}$
使⽤ $v_i$ 替换 $R$ 中特征值最⼩的元素。
令 $t_w = T_w^{w_i}$, $r2 = rand(t_w, 1)$, $v_i$ 的特征 $k_i = r_2^{(1/w_i)}$
令新的阈值 $T_w$ 为此时 $R$ 中的最⼩特征值。
Python 实现如下：
def a_expj(samples, m):
"""
:samples: [(item, weight), ...]
:k: number of selected items
:returns: [(item, weight), ...]
"""
heap = [] # [(new_weight, item), ...]
Xw = None
Tw = 0
w_acc = 0
for sample in samples:
if len(heap) < m:
wi = sample[1]
ui = random.uniform(0, 1)
ki = ui ** (1/wi)
heapq.heappush(heap, (ki, sample))
continue
if w_acc == 0:
Tw = heap[0][0]
r = random.uniform(0, 1)
Xw = math.log(r)/math.log(Tw)
wi = sample[1]
if w_acc + wi < Xw:
w_acc += wi
continue
else:
w_acc = 0
tw = Tw ** wi
r2 = random.uniform(tw, 1)
ki = r2 ** (1/wi)
heapq.heappop(heap)
heapq.heappush(heap, (ki, sample))
return [item[1] for item in heap]
我们⽤多次采样的⽅式来尝试验证算法的正确性。下⾯代码中为 a 、 b 、 c 等元素赋予了不同的权重，采样 10 万次后计算被采样的次数与元素 a 被采样次数的⽐值。
overall = [('a', 10), ('b', 20), ('c', 50), ('d', 100), ('e', 200)]
def test_weighted_sampling(func, k):
stat = {}
for i in range(100000):
sampled = func(overall, k)
for item in sampled:
if item[0] not in stat:
stat[item[0]] = 0
stat[item[0]] += 1
total = stat['a']
for a in stat:
stat[a] = float(stat[a])/float(total)
print(stat)
⾸先验证 A-Res 算法：
test_weighted_sampling(a_res, 1)
test_weighted_sampling(a_res, 2)
test_weighted_sampling(a_res, 3)
test_weighted_sampling(a_res, 4)
test_weighted_sampling(a_res, 5)
# output
{'e': 19.54951600893522, 'd': 9.864110201042442, 'c': 4.842889054355919, 'a': 1.0, 'b': 1.973566641846612}
{'b': 2.0223285486443383, 'e': 12.17949833260838, 'd': 8.95287806292591, 'c': 4.843410178338408, 'a': 1.0}
{'a': 1.0, 'e': 6.166443722530097, 'd': 5.597171794381808, 'b': 1.9579591056755208, 'c': 4.387922797630423}
{'b': 1.8358898492044953, 'e': 2.5878688779880092, 'c': 2.4081341327311896, 'd': 2.549897479820395, 'a': 1.0}
{'a': 1.0, 'd': 1.0, 'c': 1.0, 'b': 1.0, 'e': 1.0}
看到，在采样⼀个元素时， b 被采样到的次数约为 a 的 2 倍，⽽ e 则约为 20 倍，与 overall 数组中指定的权重⼀致。⽽采样 5 个元素时，所有元素都会被选中。
同理验证 A-ExpJ 算法：
test_weighted_sampling(a_expj, 1)
random python
test_weighted_sampling(a_expj, 2)
test_weighted_sampling(a_expj, 3)
test_weighted_sampling(a_expj, 4)
test_weighted_sampling(a_expj, 5)
# output
{'e': 19.78311444652908, 'c': 4.915572232645403, 'd': 9.840900562851782, 'a': 1.0, 'b': 1.9838649155722325}
{'e': 11.831543244771057, 'c': 4.709157716223856, 'b': 1.9720180893159978, 'd': 8.75183719615602, 'a': 1.0}
{'d': 5.496249062265567, 'c': 4.280007501875469, 'e': 6.046324081020255, 'b': 1.9321080270067517, 'a': 1.0}
{'a': 1.0, 'd': 2.5883654175335105, 'c': 2.440760540383957, 'e': 2.62591841571643, 'b': 1.8787559581808126}
{'a': 1.0, 'd': 1.0, 'c': 1.0, 'b': 1.0, 'e': 1.0}
与 A-Res 的结果类似。
⽂章中介绍了 A-Res 与 A-ExpJ 两种算法，按照步骤⽤ Python 实现了⼀个简单的版本，最后⽤采样的⽅式验证了算法的正确性。
加权随机采样本⾝不难，但如果需要在⼀次扫描中完成就不容易了。难以想像上⾯的算法直到 2006 年才提出。算法本⾝如此之简单，也让不感叹数学与概率的精妙。

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